摘 要：预防性维修需要一定数量备件库存。若库存备件数少于预防性维修周期内所需备件数，那么在缺失备件到货前，待修系统将经历非必要停机，生产遭受非必要损失。另外，若库存备件数量大于预防性维修周期内所需备件数量，会导致非必要的备件库存费用。理想状态是库存备件数量恰等于预防性维修周期内所需备件数。然而，故障（维修）次数是一个随机变量，使得确定备件确切数量变得困难。本文在前辈所建模型的基础上，利用更新函数以及数学分析手段，讨论如何确定预防维修周期初始，最优库存备件数量，继而使得整个周期内总费用最小；并对基于最小停产损失的预防性维护体系优化模型进行研究。
关键词：预防性维护；备件管理；联合优化；可靠性优化
Abstract： Preventive maintenance needs a certain amount of spare parts inventory. If the spare parts inventory less than the preventive maintenance cycle required， so before the unavailable items arrival， the system will undergo unnecessary downtime， bring unnecessary production losses. In addition， if the spare parts inventory is greater than the preventive maintenance cycle required， will lead to unnecessary spare parts inventory costs. Spare parts inventory quantity equaling to the required amount of spare parts in the preventive maintenance cycle is ideal. However， fault （maintenance） is a random variable； make it difficult to determine the exact amount of spare parts. In this paper， on the basis of predecessors and the existing model， using the update function and mathematical analysis method， study how to determine the optimal amount of spare parts inventory at the start of preventive maintenance period， then get the whole cycle minimum total cost. And research the optimization model of the minimum loss preventive maintenance system.
Key Words： Preventive Maintenance， Spare-parts Management， Joint Optimization， Reliability Optimization
1 引言
库存管理作为一项重要研究内容，把它和维护策略相联合研究已经受到国际维护领域极大关注，单从21世纪初的五年中，接连有十余篇国际著名期刊（例如 IEEE Transactions，IIE Transactions等）报道学者们的研究成果。联合研究首先可以得到全局最优，而不像局部最优。另外，研究表明，联合研究往往会较大地节约成本，减少费用。
2003年，Brezavscek & Hudoklin[1]建立了库存备件和设备零件批量更换联合优化策略之解析形式数学模型，其中决策变量为成批更换周期和最大库存量。该模型将订货提前期固定，对周期维护和库存备件联合优化问题进行了深入研究，给出了联合模型的解析形式，提供了一个解决维护联合优化问题的新途径，并将研究成果成功应用于欧洲电气火车部件维护和库存联合管理上。
流程型生产系统的可靠度在颇大程度上受其结构、材料质量及其构成零部件的可靠度影响，但系统之可用度除受以上因素影响外，在某些程度上还与有效的预防性维修和检测密不可分[2，3]。以可靠性理论为基础进行预防性维修策略优化模型研究，在故障时间分布基础上也许存在一个最优的PM，或者基于维修成本最最优、或者基于综合成本最优，或称最小停机时间模型。预防性维修是在提前确定的时间间隔内进行，这些时间间隔是基于历史数据、系统故障时间分布、经济模型或可用度模型来估计的。本文在数学模型基础上，研究如何确定最优的PM时间间隔，使得停机时间最小，继而停机损失最小。
2 预防性维修与备品备件数量优化模型研究
2.1 数学基础[4，5]
单位时间内总费用表达式：
式中和分别是预防性更换的费用和故障更换的费用。为更新函数，可以通过积分更新方程与故障时间分布F（t）求得。
基本更新方程：
更新密度 是的导数：
即：
或：
式中是时间段 内发生一次更新的概率。对于泊松过程来说更新密度就是泊松比λ。
2.2 优化模型研究
设代表在周期内因故障引起的更换次数，则每个预防性维护周期需要的备件数量为。假设初始备件库存为L 个，当时，当预防性维护周期结束时，库存费用恰为零；否则会产生备件储存或备件缺乏费用（库存中没有需要的备件造成的损失）。定义为随偏离0逐渐递增之惩罚函数（Penalty Function）[6]。据Taguchi、Elsayed， Hsiang给出的损失函数及Murthy函数[7]，且设每个多余备件的存储费用=每个备件的短缺费用（实际情况可能不同），可将判决函数g写为： 因为 是一个随机变量，所以，判决函数的预计值：
即
式中pn是的概率。总费用是两部分的和：单位时间系统平均费用及与备件数量相关之惩罚费用（Penalty Cost）。所以，总费用表达式为：
其中a是一个比例因子，当a=0时，无惩罚费用，a值越大，就意味着因备件短缺和过剩引起的惩罚费用越高。明显，最优预防维护周期tp是a的函数，最优值和可以通过对tp和L求解TC最小值求得。
可写为：
式中 且 是的方差。所以，
预防维修周期开始时，其最优备件数量可以通过令求得。
即：
由此表明在预防性维修周期内，最优备件数量须等于预计维修（故障）数。
同理，对于给定的a，最优预防维修周期长度可以通过令求解。
式中 ，求解上式可得最优值 。
2.3 应用举例引入优化模型
在制药及食品行业中，对卫生等级要求非常高，一些公用设施例如纯水机组、无油压缩机组等都地非常关键的设备，因为此类公用设施停机会导致大面积甚至全厂停产，生产损失会造成很高费用。高速压缩机的异形双旋齿叶轮会产生疲劳裂纹。叶轮疲劳寿命可以通过振动疲劳实验中振幅与频率的乘积（AF值）来评估。若一个叶轮表现出非常低的AF值，那么应当更换叶轮以避免裂纹扩展。因为周期性开展疲劳实验费用昂贵，所以维修人员通常根据预防性维修计划中的时间更换叶轮。当预防性维修周期结束时更换叶轮的费用是$250，而在期中更换的费用是$1000。相邻故障之间隔时间用参数λ=0.005的二阶Erlang分布来表达。设a=0.8，使得总费用最小之最优备件数量及预防性维修周期。利用模型来求解：
二阶Erlang分布的概率密度函数如下：
预防维修周期tp中的预计故障数：
∴
将以上两式代入
可得
代入数值得
求得： （h）
对应预防维修周期内之预计故障数是0.163。所以，最优备件数量为1.163，这个数值代表每个运行单元的备件数量。
3 基于最小停产损失的预防性维护体系优化模型研究
对于流水线生产系统，某些企业因为停机导致产量损失，相比较维修费用而言产量损失更加重要，通常采用周期性检测与预防性维修相结合的维护方法，检测能够及时地给决策部门提供准确的信息。此类情况下，检测是周期性地进行的。当检测到部件故障时，对其进行即时维修或安排预防性更换。假如在检测期间没有检测到部件故障，那么检测期间的停机将导致产量损失费用（相比产量损失检测费用可忽略）。显然，频繁检测可以减少故障损失费用但会增加非故障停机损失，继而影响总费用。因此需要一个检测计划，使得检测到故障时其预计费用最小，并且，假设检测到故障时要更换部件，也应使费用最少。
3.1 优化模型研究
试考虑一系统，通过周期性检测来判断是否需要进行维修或更换，同时在必要之情况下对其进行预防性维修。假设在检测后，组件和检测前比寿命相同之概率为p，和新组件寿命相同之概率为q（Nakagawa，1984）[9]。需要估计该部件的故障前工作时间及故障前预计检测次数，需要估计总预计费用及检测到故障时的单位时间内预计费用，还需要求解使预计费用最小之最优检测次数。
式中，式中第一项表示至系统故障时第次与第j次之间的平均时间，第二项表示系统第j次检查后进行更新之平均时间，在此之后系统便故障。通过对上式求解可得：
假如，则在每次检测后，系统都如新，且有
相反，如果，则在每次检测后，系统寿命不变，则：
由此，故障前之预计检测次数可以通过下式获得
当时，
当时，
将和代入上式可得：
即
从上式可以看出，，表明其存在一有限的最优值使得总预计费用最小。Nakagawa（1984）给出：
因此
当检测到故障时，使单位时间内预计费用最小之最优检测时间间隔。此种情况下，由可得：
即
的极限为且。结合上式及一个给定的T值，对递增型故障率来说单位时间内预计费用是p的增函数。∴
3.2 优化模型应用举例
在制药及食品行业中，对卫生等级要求非常高，一些公用设施例如纯水机组、无油压缩机组等都地非常关键的设备，因为此类公用设施停机会导致大面积甚至全厂停产，生产损失人造成很高费用，所以需要对机组进行深度检测；具体地说，以AtlasCopco压缩机为例将检测异形双旋齿高速轮轴的潜在裂纹。轮轴的故障时间服从故障率为0.0005/h的指数分布。每次检测费用为$120，未检测到故障所造成损失为$80，利用模型进行求解：
因为故障时间服从指数分布，则，对于p的任何值，可简化为：
可简化为：
使检测到故障时，总预计费用最小之最优检测时间间隔，是使最小的值，即
求得 。
利用可求得使检测到故障时候，单位时间内预计费用最小的最优检测时间间隔为
可求得 。
因此，应该以固定的77 h为周期，定期对双旋齿轮轴进行检测。
4 小结
本文主要针对设备维护与备件库存整合优化策略和模型中关键问题展开研究，通过研究，丰富并发展了设备维护优化的内涵和外延。备件库存和传统维护策略的集成优化研究，其中维护涉及到定期维护（成批更换维护策略）和事后维护（故障后更换策略）。分析了订货提前期确定的Brezavscek联合维护策略和模型，以一个制药企业空压设备双旋齿叶轮失效实例说明模型应用，最后基于最小停产损失的预防性维护体系优化模型研究，并实例说明模型应用。
