小数教材体系包括两条主线:其一数学知识;其二,数学思想。教者只要看教材,就能明确前者;后者有掌握小学数学思想方法,才能明确为什么要这样写,才能从整体上、本质去理解教材,也才能科学地、灵活地设计教学方法,提高课堂教学效率。基于《义务教育数学课程标准(2011年版)》,提出“四基”的理念,基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。什么是基本思想?有哪些基本思想?小学数学每册教材每一课时,都有渗透哪些基本思想?我们努力作一些梳理,便于今后每位数学教师都能有参照。因为使学生获得数学的基本思想是数学课程的重要目标。
数学抽象的思想:抽象是对同类事物抽取其共同的本质属性或特征,舍去其非本质的属性或特征的思维过程。人们在思维中,抽象过程是通过一系列的比较和区分、舍弃和收括的思维操作实现的。人们在思维中对对象的抽象是从对对象的比较和区分开始的。所谓比较,就是在思维中确定对象之间的相同点和不同点;而所谓区分,则是把比较得到的相同点和不同点在思维中固定下业,利用它们把对象分为不同的类。然后再进行舍弃与收括,舍弃是指在思维中不考虑对象的某些性质,收括则是指把对象的我们所需要的性质固定下来,并用词表达出来。这就形成了抽象的概念,同时也就形成了表示这个概念的词,于是完成了一个抽象过程。
数学推理的思想:推理是从一个或几个已有的判断得出另一个新判断的思维形式。推理所根据的判断叫前提,根据前提所得到的判断叫结论。推理分为两种形式:演绎推理和合情推理。演绎推理是根据一般性的真命题(或逻辑规则)推出特殊性命题的推理。演绎推理的特征是:当前提为真时,结论必然为真。演绎推理的常用形式有:三段论、选言推理、假言推理、关系推理等。合情推理是从已有的事实出发,凭借经验和直觉,通过归纳和类比等推测某些结果。合情推理的常用形式有:归纳推理和类比推理。当前提为真时,合情推理所得的结论可能为真也可能为假。
数学建模的思想:数学建模就是指用数学的语言描述实际现象,通过设计数学方法,最终解决实际问题的整个过程。在现实中为了要解决实际问题,在实际问题与数学之间架设一座方便之桥。并用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。通过数学的计算、分析、找到解决问题的有效途径。数学模型的主要表现形式是数学符号表达式和图表,因而它与符号化思想有很多相通之处,同样具有普遍的意义。不过,也有很多数学家对数学模型的理解似乎更注重数学的应用性,即把数学模型描述为特定的事物系统的数学关系结构。
数学模型是运用数学的语言和工具,对现实世界的一些信息进行适当的简化,经过推理和运算,对相应的数据进行分析、预测、决策和控制,并且要经过实践的检验。如果检验的结果是正确的,便可以指导我们的实践。
基于上述数学基本思想又可以演变、派生、发展出一些思想,主要体现如下:
一、由“数学抽象的思想”派生出来的有:分类的思想、集合的思想、数学形结合的思想,变中不变的思想、符号表示的思想、对称的思想、对应的思想、有限与无限的思想等。
二、由“数学推理的思想”派生出来的有:归纳的思想、演绎的思想、公理化思想、转换化归的思想、联想类比的思想、逐步逼近的思想、代换的思想、特殊与一般的思想等。
三、由“数学建模的思想”派生出来的有:简化的思想、量化的思想、函数的思想、方程的思想、优化的思想、随机的思想、抽样统计的思想等。
对各个数学思想的内涵界定
1、分类的思想:所谓分类,就是根据对象的某一属性特征把它们不重复不遗漏地划分为若干类别。分类的思想是根据数学本质属性的相同点和不同点,将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。分类以比较为基础,比较是分类的前提,分类是比较的结果。
所谓数学分类讨论方法,就是将数学对象分成几类,分别进行讨论来解决问题的一种数学方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性, 能训练人的思维条理性和概括性。分类思想可不象一般的数学知识那样,通过几节课的教学就可让学生掌握应用。而是要根据学生的年龄特征,学生在学习的各阶段的认知水平,逐步渗透,螺旋上升,不断的丰富自身的内涵,从而达到利用数学分类讨论方法来解决问题的目的。
2、集合的思想:把指定的具有某种性质的事物看作一个整体,就是一个集合(简称集),其中每个事物叫做该集合的元素(简称元)。给定的集合,它的元素必须是确定的,即任何一个事物是否属于这个集合,是明确的。如“学习成绩好的同学”不能构成一个集合,因为构成它的元素是不确定的;而“语文和数学的平均成绩在90分及以上的同学”就是一个集合。一个给定集合中的元素是互不相同的,即集合中的元素不重复出现。只要两个集合的元素完全相同,就说这两个集合相等。
集合的表示法一般用列举法和描述法。列举法就是把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法。描述法就是在花括号内写出规定这个集合元素的特定性质来表示集合的方法。列举法的局限性在于当集合的元素过多或者有无限多个时,很难把所有的元素一一列举出来,这时描述法便体现出了优越性。此外,有时也可以用封闭的曲线(文恩图)来直观地表示集合及集合间的关系,曲线的内部表示集合的所有元素。
3、数学形结合:数形结合思想就是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学,数和形之间是既对立又统一的关系,在一定的条件下可以相互转化。这里的数是指数、代数式、方程、函数、数量关系式等,这里的形是指几何图形和函数图象。
数形结合思想可以使抽象的数学问题直观化、使繁难的数学问题简捷化,使得原本需要通过抽象思维解决的问题,有时借助形象思维就能够解决,有利于抽象思维和形象思维的协调发展和优化解决问题的方法。数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直觉,形少数时难入微。”这句话深刻地揭示了数形之间的辩证关系以及数形结合的重要性。
4、变中不变的思想:变与不变,是具有辩证关系的范畴。当指事物及其相关联的因素,在不断地变化着,但这些变化的趋势和因素中,又同时存在不变的状况,或者现象变,本质不变;局部变,整体不变;暂时变,最终不变,等等。有些思考和思想对象,往往是千变万化,令人眼花缭乱的,但如果抓住其本质,就可以不变应万变,以静制动,最终有效解决问题。显然,变中抓不变的思想方法,有利于解决错综复杂的问题,能透过现象看本质,根据局部把握全局等等。这是一个很有哲学意义的方法。
5、符号表示的思想:“符号”,一般说来就是某种事物的代号,它的意义是采用对应的方式,把一个复杂的事物用简便的形式表现出来。数学符号是进行空间形式和数量关系表示、计算、推理的工具,是人们对于客观事物运动规律的最直观、最简明的表达方式,是交流与传播数学思想的媒介。
所谓符号化思想就是用一种符号代替原物,不用原物而用符号进行表示、交流、运算等活动的思想。数学符号是数学的语言,数学世界是一个符号化的世界,数学作为人们进行表示、计算、推理和解决问题的工具,符号起到了非常重要的作用;因为数学有了符号,才使得数学具有简明、抽象、清晰、准确等特点,同时也促进了数学的普及和发展;国际通用的数学符号的使用,使数学成为国际化的语言。符号化思想是一般化的思想方法,具有普遍的意义。
对称,顾名思义,就是两个事物(或同一事物的两个方面)相对而又相称.如果A、B是具有对称性的两个事物(或同一事物的两个方 面), 那么把A、B交换顺序,其结果不变,这就是对称原理.在数学问题中,经常出现在某种意义下对称的形或式,如几何中的平行四边形、正柱体、正锥体、圆锥曲线;代数中的一些不等式、方程;函数f(x)与其反函数f-1(x)及它们的图象等等。充分利用好对称原理,可使我们在解决这类问题时多一条有效的通道, 而且常能起到化繁为简,出奇制胜的效果。
7、对应的思想:对应,比喻在一个系统中的某一项在性质、作用或数量上等情况中,同另一系统中的某一项相当。对应思想,是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法,就是利用数量间的对应关系来思考数学问题。集合、函数、坐标等问题都以这一思想为基础。寻找数量之间的对应关系,也是解答应用题的一种重要的思维方式。对应思想主要分类有:数形对应、量率对应、量与量的对应、函数对应。
8、有限与无限的思想:有限与无限的思想就是将无限的问题化为有限来求解,将有限的问题化为无限来解决,利用已经掌握的无限问题的结论来解决新的无限问题。
9、归纳的思想:归纳法是通过对一些个别的、特殊的情况加以观察、分析,进而导出一个一般性结论的推理方法。归纳法是一种从特殊到一般的推理方法。归纳法的本质特征是从已知到未知,从特殊性到一般,从个性到共性,从经验事实到事物内在规律的飞跃的过程。
10、演绎的思想:所谓演绎推理,就是从一般性的前提出发,通过推导即“演绎”,得出具体陈述或个别结论的过程。
11、公理化思想:简单地说,公理就是大家公认的、不证自明的道理,它是人们研究问题和交流观点的共同基础。所谓公理化,就是指在建构一门学科理论体系时,从尽可能少的原始概念(不加定义的概念)和一组公理出发,遵循逻辑规则,定义其他概念,演绎和推理其他命题,从而把门理论建成演绎系统的方法。
在一个数学理论体系中,我们尽可能少地选取原始概念和不加证明的一组公理,以此为出发点,利用纯逻辑推理的规则,把该理论体系建立成一个演绎系统,这样一种构建理论体系的思想就是公理化思想。
12、转换化归的思想:人们在面对数学问题,如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时,往往将需要解决的问题不断转化形式,把它归结为能够解决或比较容易解决的问题,最终使原问题得到解决,把这种思想方法称为化归(转化)思想。
从小学到中学,数学知识呈现一个由易到难、从简到繁的过程;然而,人们在学习数学、理解和掌握数学的过程中,却经常通过把陌生的知识转化为熟悉的知识、把繁难的知识转化为简单的知识,从而逐步学会解决各种复杂的数学问题。因此,化归既是一般化的数学思想方法,具有普遍的意义;同时,化归思想也是攻克各种复杂问题的法宝之一,具有重要的意义和作用。
13、联想类比的思想:联想是在学习的过程中由此及彼地沟通新旧知识的内在联系拓宽研究问题的思路。类比是通过比较来发现新旧知识的异同点,从而有效地实现知识迁移、因而联想、类比好似一对孪生兄弟,往往同时作用于某一数学对象,是一种很重要的数学思想方法。
14、逐步逼近的思想:根据问题的条件确定解决问题的大致范围,然后通过不断改进方法或者排除不可能的情形,逐步缩小问题的解的存在范围,从而最终获得问题的结果。这种思想称之为逐步逼近思想。
15、代换的思想:等量代换的定义:用一种量(或一种量的一部分)来代替和它相等的另一种量(或另一种量的一部分)。“等量代换”是指一个量用与它相等的量去代替,它是数学中一种基本的思想方法,也是代数思想方法的基础,狭义的等量代换思想用等式的性质来体现就是等式的传递性:如果a=b,b=c,那么 a=c。真正使用到的等量代换为:8704;f(a=b∧f(a)→f(b)),其中f是合式公式广义的等量代换举例来说就是:“如果李四是张三的同义词,张三是人,那么李四是人”。这个数学思想方法不仅有着广泛的应用,而且是今后进一步学习数学的基础,是一个非常重要的知识点,甚至到了大学都会使用。
16、特殊与一般的思想:所谓特殊与一般的思想包括两个方面:通过对某些个体的认识与研究,逐渐积累对这类事物的了解,再逐渐形成对这类事物的总体认识, 发现特点,掌握规律,形成公式,由浅入深,由现象到本质,由局部到整体,从实践到理论,这种认识事物的过程就是由特殊到一般的认识过程;在理论指导下,用已有的规律解决这类事物中的新问题,这种认识事物的过程就是由一般到特殊的认识过程。由特殊到一般再由一般到特殊反复认识的过程,就是人们认识世界的基本过程,这一过程在数学的认识活动中有着重要的应用。
17、简化的思想:简化是一定范围内缩减对象(事物)的类型数目,使之在一定时间内足以满足一般需要的标准化形式。简化一般是在事后进行的,是在不改变对象质的规定性,不降低对象功能的前提下,减少对象的多样性、复杂性。
18、量化的思想:量化思想方法在数与代数领域的运用成果是“数”(字母和“式”是数的代表),而在几何、统计、概率中的运用成果是“量”——几何量与统计量。量化就是数学的一个基本思想方法,数学不管研究哪个领域,都会贯彻这个战略;而在不同领域,贯彻的具体策略又会有所差别。
例如:运用量化思想方法得出几何量“面积”。
首次研究面积是三年级下册第九单元《长方形和正方形的面积》,教材是按如下顺序展开的。
第一步提出研究动因,74页该单元第一句话:“看看黑板的表面和课本的封面,说说哪一个面比较大,哪一个面比较小”——要研究和比较这一点,需要给“这一点”即这个几何属性取个名字。
第二步“取名字”即命名一个几何量,故紧接着说:“黑板表面的大小是黑板的面积”,即物体表面的大小叫面积。
第三步给这个几何量赋值即使每个图形表面的“面积”数值化。在量化程序中赋值是奠基的、最关键的一步,所以教材不吝用5页篇幅来细致展开:
74-78页比较多组图形的面积大小,“黑板和课本”、“桌面和椅子面”、“手掌和树叶”、“正方形和长方形”、“四个省在地图上的图形”、“四个不规则多边形”等等,各组比较标准不一、只管本组谁大谁小。
但这些活动中暗藏一大转折——力图确定一个统一、公用的比较标准:75页例题,比较等宽的正方形和长方形面积用了两个方法,一是“我用重叠的方法”,二是 “我用同一张纸分别去量”——这“二”就是转折;76页《想想做做》第3题,四个不规则多边形比较大小,因为都画在方格纸上,于是算算它们分别占了多少格就行了——“格”这个小正方形就成了统一、公用的比较标准。
转折的成果是规定面积单位,作为比较任何物体表面面积大小的共同标准,即78页中间那句话:“为了准确测量或计算面积的大小,要用同样大小的正方形的面积作为面积单位。边长是1厘米的正方形,面积是1平方厘米”,以及第79页一句话“边长是1米的正方形,面积是1平方米”。
用面积单位给“面积”这个几何量作了赋值,就能计算任何物体表面的面积,于是得出83页“长方形的面积=长×宽”和“正方形的面积=边长×边长”。
第四步规定面积这个几何量本身的加法计算:“面积”可加,“面积+面积=面积”。教材第82页探究长方形面积公式时已经未加证明地应用了这个可加性,在以后计量多面体表面积时也予以了应用。
第五步探究面积本身的其他运算——这一步看不到,为什么?因为“面”可分割即面积可减,很显然故不用啰嗦;面积的乘、除则不允许,因为面积与面积的积或商没有几何意义(长度不同,其和、差仍是长度——如折线长与多边形周长,积则是面积)。
量化程序的第六步导出算律无必要,因为计算时处理好单位之后只剩下纯数值计算,故“数与代数”领域已得出的五条算律都可应用。
19、函数的思想:函数思想的核心是事物的变量之间有一种依存关系,因变量随着自变量的变化而变化,通过对这种变化的探究找出变量之间的对应法则,从而构建函数模型。函数思想体现了运动变化的、普遍联系的观点。
20、方程的思想:方程思想的核心是将问题中的未知量用数字以外的数学符号(常用χ、y等字母)表示,根据相关数量之间的相等关系构建方程模型。方程思想体现了已知与未知的对立统一。
21、优化的思想:优化思想就是在有限种或无限种可行方案(决策)中挑选最优的方案(决策)的思想,是一个很重要的数学思想。它不仅在实际应用中有明显的价值,而且在小学数学教材要渗透的思想方法中所占比例相对较大。
优化思想”在小学数学人教版实验教材中处处可见渗透痕迹,如计算教学中的“算法优化”、解决问题教学中的“策略优化”以及统计教学中的“统计方法优化”等等。
22、随机的思想:随机思想是认识随机现象和统计规律的重要思想。在自然界和现实生活中,一些事物是相互联系和不断发展的。在它们彼此间的联系和发展中, 根据它们是否有必然的因果联系,可以分成截然不同的两大类:一类是确定性的现象,另一类是不确定性的现象。随机现象从表面上看,似乎是杂乱无章的、没有什么规律的现象。但实践证明,如果同类的随机现象大量重复出现,它的总体就呈现出一定的规律性。大量同类随机现象所呈现的这种规律性,随着我们观察的次数的增多而愈加明显。比如掷硬币,每一次投掷很难判断是哪一面朝上,但是如果多次重复的掷这枚硬币,就会越来越清楚的发现它们朝上的次数大体相同。
23、抽样统计的思想:统计思想主要体现在把握数据的能力,养成会用数据“说事”,收集数据,整理数据,分析数据,从数据中提取信息,并利用这些信息说明问题,在这个过程中,形成对数据的敏感,养成会用数据“说事”的习惯。
