摘 要:本文就数学概念、数学命题等教学过程中如何渗透数学史问题进行了研究。

关键词:数学教学论;数学史;教学

“数学教学论”是高等师范院校数学教育专业的一门重要必修课。在“数学教学论”教学过程中,如何有效调动学生学习和研究的积极性,使教学的内容、方式和方法贴近基础数学教学改革,历来是数学教育研究的热点问题。从目前基础数学教育改革的趋势来看,重视科学精神和人文精神的塑造已成为基础数学教育改革的方向。数学发展史中积淀的深厚传统文化和丰富数学思想方法是深化数学课堂教学改革的重要方面,“数学教学论”课程要充分反映基础数学教育改革的现实,其有效途径之一是在教学中加强与数学史相关内容的结合,广泛吸收国际国内数学史与数学教育结合(简称HPM)研究的最新成果,恰当运用数学史案例来充分展示数学知识思维过程和方法,提高学生有效将数学知识的科学形态转化为教育形态的能力。因此,在“数学教学论”教学中,恰当运用数学史料进行教学具有重要的现实意义与实践价值。本文就数学概念、数学命题和数学人文等教学与数学史结合的理论与实践进行探讨。

一、揭示数学概念认知过程与历史发展过程的相似性,使学生把握概念教学的心理特征。

概念教学是“数学教学论”研究的重要内容。心理学研究表明,学生获得概念的方式主要是概念形成或概念同化。由于中学生的认知结构处于发展过程之中,数学认知结构中的数学知识相对简单而具体,在学习新知识时,作为固着点的已有知识往往很少或者不具备,这时只能借助生活经验及日常概念接纳概念,采取概念形成方式来学习。我们知道,每一数学概念在形成发展过程中都充满了直观的方法和大量辨证的思维,深刻揭示了某一类客观对象或事物的共同本质和特征,是人们从感性到理性认识事物的真实写照,给学生用概念形成方式接纳概念提供了丰富的资源,概念教学中运用数学史上概念发展的案例,既可以顺应人类知识的形成过程又能适应学生的认知规律。高师学生在开始接触概念教学时,由于对概念教学知之甚少,对概念的来龙去脉难以理清。因此在“数学教学论”关于概念教学研究中首先要让学生认知数学概念的历史发生原理,即通过一些概念的历史形成使学生认识到,个体对数学概念的认知发展过程与该概念的历史发展过程相似的规律。譬如说,学习代数的主要障碍在于理解和使用数学符号的意义,而数学符号缓慢的演变过程又告诉我们,数学符号的形成过程与人们的认知过程是相似的。因此,代数课程在有关数学符号的教学环节上应着重解析数学符号的历史发展过程。再如,J.M.Keiser在对六年级学生对角概念的理解与角概念的历史对比研究中,得到了“学生对角概念的理解与角概念的历史是相似的”结论。从历史上看,古希腊人从两边之间的关系、质(形状和特征)和量(角的大小)三方面之一来定义角,但无论哪一种定义都未能完善地刻画这个概念。J.M. Keiser通过对两个六年级班级几何(教材内容为“形状与图案”)课堂的观察,发现学生对角的理解也分成3种情形:

(1)强调“质”的方面:一些学生认为,随着正多边形边数的增加,“角”越来越小;即形状越“尖”的“角”越小

(2)强调“量”的方面:一些学生认为,边越长或者边所界区域越大,角越大:

(3)强调“关系”方面:一些学生认为角是将一条边(终边)旋转后与始边之间的一种“关系”。

又如F.Cajori根据负数的历史得出结论:“在教代数的时候,给出负数的图形是十分重要的。如果我们不用线段、温度等来说明负数,那么现在的中学生就会与早期的代数学家一样认为他们是荒谬的东西”;J.P.Ponte通过对函数历史的考察获得启示:在中学阶段,将函数概念定义为数集之间的对应关系是合适的;在中学数学中必须强调具有函数式的例子,将函数等同于解析式,不应被看作是一个大错误!在引入数学概念时以恰当的方式介绍其发展历史,有助于中学生从整体上把握数学概念的发展脉络,认识到概念演变修正过程与个体认知过程的相似性,对数学概念形成完整、恰当的认识,领悟数学思想的本质。并在领略数学家们为概念的日臻成熟所付出的艰辛与努力,以及所经受的困难与挫折的过程中体验人性化的数学。还有引入“对数”概念时可介绍J.Napier发明“对数”的动人历史,使对数成为富有人性化的、而非枯燥无味的概念。因此,“数学教学论”关于概念教学的研究让学生从历史的角度深入认识数学概念的形成与发展的心理过程,将有助于今后在教学中针对中学生认知的心理特点设计最佳教学方案,提高概念教学的质量和效益。

二、引导学生进行基于数学史的数学命题、公式等数学结论教学案例设计,学会在教学中通过展示数学知识的

历史原创暴露数学思维过程的方法教学。

从某种意义上来说,数学理论的研究过程就是数学命题的证明(或证伪)以及以适当的方式将这些被证明的命题组织成理论体系。从数学活动角度来说,这种过程一般是需要多次反复的,要经历一个不断抽象、层层深人的过程。因此,数学教学既要教“结论”,更要教“过程”。既要重视数学内容的形式化,又要重视数学发现过程的经验性。而现行中学数学教材中许多内容都简化了概念和定理的提出过程,省略了发展、探索的过程,而这些概念、定理是如何被发现的,解决问题的方法又是如何构想的,对中学生来说有一种说不出来的神秘感和疑惑感.所以在数学教学论的教学中必须教育学生在未来的教学中应精心设计、模拟知识形成的原始思维,为学生创设问题情景,交给学生发现、创造的方法. 数学历史上定理的发现探索过程可以启迪学生掌握正确的学习方法,将逻辑推理还原为合情推理,将逻辑演绎追溯到归纳演绎;可以激励学生去发现规律,总结定理,从而极大地满足学生发现与发明的成就感,传统数学教材中缺少对数学定理形成过程的阐述与剖析,呈现的是一些完美的结论和严谨的推证过程,这将直接导致学生对学习数学失去主动性与创造性。因此,在数学教学论关于定理、公式、法则等内容的教学中,应适当介绍其历史上的发现探索历程及不同的证明方法,使学生学会在今后的教学中将数学家们发现数学结论的历史过程变成学生进行实验发现的过程,从而激发中学生的学习主动性与创造性。譬如;从古希腊数学家阿基米德使用“平衡法”推导球体积公式与我国古代数学家刘徽和祖冲之父子得到球体积的过程;欧拉解决哥尼斯堡七桥问题思路;牛顿、莱布尼兹等人发明微积分的过程的介绍中,都可以将数学家创造数学真理的思维过程活生生的展现在中学生面前,改变那种从公式到公式、从定理到定理的教学程式。还有古希腊、中国、印度、欧洲数学家等中外数学家在勾股定理的发现与证明中的几百种证明方法都深刻反映了数学结论发现的火热过程,充分暴露了数学家们发现数学结论的思维过程。在“数学教学论”的教学中教给学生恰当地设计基于数学史的教学案例,将案例程式化为实验、操作、发现结论等过程不仅将现行教材中数学结论的冰冷美丽还原为火热的思考,特别将数学实验引入数学课堂,使中学生学生通过“猜想——实验——再猜想——再实验——得出正确的结论——证明”过程体验,真正完成一个完整的知识建构过程。将是数学教学论课程教学实现的一个重要目标。

三、引导学生探讨数学史与数学教育结合的内涵,认识数学历史问题培养中学生人文精神的重要作用。

“体现数学的文化价值”是高中数学新课程的一个基本理念,新课程标准强调“数学文化应尽可能有机地结合高中数学课程内容,选择介绍一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物,反映数学在人类社会进步、人类文明发展中的作用”。“数学教学论”充分体现新课程的这一理念,对于高师学生在未来的教学中培养中学生用文化的视野来看数学,用数学的眼光来看文化的意识或观念有着深刻的意义。

数学是几千年来全人类孜孜探索共同取得的宝贵财富,是各国数学家相互交流、学习、共同探索的智慧结晶.不同国度与民族的思维特点、价值观念使数学呈现出不同的特点.因此“数学教学论”在结合数学史进行数学人文教育中应遵循时空多元原则,突破时空局限来选择数学史内容,力求反映不同时期、不同国度、不同民族和不同文化背景的数学历史.譬如,中国古代数学长于计算与构造,诸如“孙子定理”“百鸡问题”“盈不足术”等内容具有中华民族传统文化特色且在国外有一定影响;古希腊数学长于演绎推理与论证,其公理化思想与方法在数学发展史上具有极其重要的地位与作用.选材时应打破封闭格局,将中外数学历史纳人视野.旨在引导学生尊重、理解、分享、欣赏多元文化下的数学,拓宽学生的视野,培养学生全方位的认知能力、思考的弹性与开放的心灵.

“数学教学论”与数学史结合的教学中还应使学生认识到,配合数学内容与要求所选取的数学史内容应既能被中学生理解,又能引起他们的兴趣.深奥难懂的数学史料自然达不到教育的目的,枯燥乏味的数学史料也同样起不到教育的作用.所选史料的内容与形式应不拘一格、灵活多样、题材典型、情节生动、发展曲折、引人人胜.就内容而言,可以是数学概念。数学符号、数学思想方法、历史著名问题甚至理论体系的发展历史;也可以是数学家的创新意识、献身精神、奋斗历程与独特个性;就形式而论,除文字表述史料外,更应突出图形、图表与图象史料.如数学家(如 Archimedes、I.Newton、L.Euler、C.F.Gauss、祖冲之、华罗庚、陈省身、苏步青、吴文俊等)的头像、数学图案(如勾股定理、L.Eler公式、C.F.Gauss复平面、黄金矩形、雪花曲线)、数学家的墓志铭(如 Diophantus的年龄问题)和墓碑图案(如Archimedes的圆柱球、J.Bernoulli的对数螺线、C.F.Gauss墓前塑像座上的正十七边形).旨在帮助中学生学习数学,激发其学习热情,展现科学与人文精神。在数学问题配置与求解中可选择历史上不同时期、不同文化的一些著名数学问题,这此问题及其求解提供了相应数学内容的现实背景,揭示了实质性的数学思想方法,蕴涵了数学家为之奋斗的曲折历程与苦乐体验,展现了广阔而生动的人文背景。譬如,可选择几何《原本》、《九章算术》等经典名著中的问题;介绍我国赵爽、印度人、阿拉伯人和F.vieta在求方程的根这一问题上的成就;在求解幂和问题时可介绍C.F.Causs的方法、源于S.Pythagoras的形数方法和杨辉的“垛积术”与“补差术”方法.在问题求解中应侧重对历史上所用各种数学思想方法进行比较分析,使学生了解不同文化背景中的数学思考方式,启发其数学思维,提升其数学欣赏能力,在社会历史文化与数学思维的双重熏陶下,获得数学认知活动的文化意义,在数学教育中实践多元文化关怀的理想。

四、结语

数学史融入数学教育的有效性归根到底要经过课堂实践。高师“数学教学论”渗透数学史进行教学一方面可以促进数学教学论课堂内容和教学方式、方法的改革,另一方面可以增强高师学生进行中学数学教学与研究的能力,从而提高学生的从师素质。