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高三数学解析几何的训练试题答案篇一
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知圆x2＋y2＋dx＋ey＝0的圆心在直线x＋y＝1上，则d与e的关系是()
a．d＋e＝2b．d＋e＝1
c．d＋e＝－1d．d＋e＝－2[
解析d依题意得，圆心－d2，－e2在直线x＋y＝1上，因此有－d2－e2＝1，即d＋e＝－2.
2．以线段ab：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为()
a．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2b．(x－1)2＋(y－1)2＝2
c．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8d．(x－1)2＋(y－1)2＝8
解析b直径的两端点为(0,2)，(2,0)，∴圆心为(1,1)，半径为2，圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
3．已知f1、f2是椭圆x24＋y2＝1的两个焦点，p为椭圆上一动点，则使|pf1||pf2|取最大值的点p为()
a．(－2,0)b．(0,1)c．(2,0)d．(0,1)和(0，－1)
解析d由椭圆定义，|pf1|＋|pf2|＝2a＝4，∴|pf1||pf2|≤|pf1|＋|pf2|22＝4，
当且仅当|pf1|＝|pf2|，即p(0，－1)或(0,1)时，取“＝”．
4．已知椭圆x216＋y225＝1的焦点分别是f1、f2，p是椭圆上一点，若连接f1、f2、p三点恰好能构成直角三角形，则点p到y轴的距离是()
a.165b．3c.163d.253
解析a椭圆x216＋y225＝1的焦点分别为f1(0，－3)、f2(0,3)，易得∠f1pf2<π2，∴∠pf1f2＝π2或∠pf2f1＝π2，点p到y轴的距离d＝|xp|，又|yp|＝3，x2p16＋y2p25＝1，解得|xp|＝165，故选a.
5．若曲线y＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为()
a．4x＋y＋4＝0b．x－4y－4＝0
c．4x－y－12＝0d．4x－y－4＝0
解析d设切点为(x0，y0)，则y′|x＝x0＝2x0，∴2x0＝4，即x0＝2，
∴切点为(2,4)，方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
6．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的()
a．充分不必要条件b．必要不充分条件
c．充要条件d．既不充分也不必要条件
解析c方程可化为x21m＋y21n＝1，若焦点在y轴上，则1n>1m>0，即m>n>0.
7．设双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为()
a.54b．5c.52d.5
解析d双曲线的渐近线为y＝±bax，由对称性，只要与一条渐近线有一个公共点
即可由y＝x2＋1，y＝bax，得x2－bax＋1＝0.
∴δ＝b2a2－4＝0，即b2＝4a2，∴e＝5.
8．p为椭圆x24＋y23＝1上一点，f1、f2为该椭圆的两个焦点，若∠f1pf2＝60°，则pf1→pf2→＝()
a．3b.3
c．23d．2
解析d∵s△pf1f2＝b2tan60°2＝3×tan30°＝3＝12|pf1→||pf2→|sin60°，∴|pf1→||pf2→|＝4，∴pf1→pf2→＝4×12＝2.
9．设椭圆x2m2＋y2n2＝1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为()
a.x212＋y216＝1b.x216＋y212＝1
c.x248＋y264＝1d.x264＋y248＝1
解析b抛物线的焦点为(2,0)，∴由题意得c＝2，cm＝12，
∴m＝4，n2＝12，∴方程为x216＋y212＝1.
10．设直线l过双曲线c的一个焦点，且与c的一条对称轴垂直，l与c交于a，b两点，|ab|为c的实轴长的2倍，则c的离心率为()
a.2b.3
c．2d．3
解析b设双曲线c的方程为x2a2－y2b2＝1，焦点f(－c，0)，将x＝－c代入x2a2－y2b2＝
1可得y2＝b4a2，∴|ab|＝2×b2a＝2×2a，∴b2＝2a2，c2＝a2＋b2＝3a2，∴e＝ca＝3.
11．已知抛物线y2＝4x的准线过双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左顶点，且此双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，则双曲线的焦距为()
a.5b．25
c.3d．23
解析b∵抛物线y2＝4x的准线x＝－1过双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左顶点，∴a＝1，∴双曲线的渐近线方程为y＝±bax＝±bx.∵双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，∴b＝2，∴c＝a2＋b2＝5，∴双曲线的焦距为25.
12．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点m(1，m)(m>0)到其焦点的`距离为5，双曲线x2a－y2＝1的左顶点为a，若双曲线的一条渐近线与直线am平行，则实数a的值为()
a.19b.14
c.13d.12
解析a由于m(1，m)在抛物线上，∴m2＝2p，而m到抛物线的焦点的距离为5，根据抛物线的定义知点m到抛物线的准线x＝－p2的距离也为5，∴1＋p2＝5，∴p＝8，由此可以求得m＝4，双曲线的左顶点为a(－a，0)，∴kam＝41＋a，而双曲线的渐近线方程为y＝±xa，根据题意得，41＋a＝1a，∴a＝19.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知直线l1：ax－y＋2a＋1＝0和l2：2x－(a－1)y＋2＝0(a∈r)，则l1⊥l2的充要条件是a＝________.
解析l1⊥l2a2a－1＝－1，解得a＝13.
【答案】13
14．直线l：y＝k(x＋3)与圆o：x2＋y2＝4交于a，b两点，|ab|＝22，则实数k＝________.
解析∵|ab|＝22，圆o半径为2，∴o到l的距离d＝22－2＝2.即|3k|k2＋1＝2，解得k＝±147.
【答案】±147
15．过原点o作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为p、q，则线段pq的长为________．
解析如图，圆的方程可化为
(x－3)2＋(y－4)2＝5，
∴|om|＝5，|oq|＝25－5＝25.
在△oqm中，
12|qa||om|＝12|oq||qm|，
∴|aq|＝25×55＝2，∴|pq|＝4.
【答案】4
16．在△abc中，|bc→|＝4，△abc的内切圆切bc于d点，且|bd→|－|cd→|＝22，则顶点a的轨迹方程为________．
解析以bc的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，e、f分别为两个切点．
则|be|＝|bd|，|cd|＝|cf|，
|ae|＝|af|.∴|ab|－|ac|＝22，
∴点a的轨迹为以b，c为焦点的双曲线的右支(y≠0)，且a＝2，c＝2，∴b＝2，∴方程为x22－y22＝1(x>2)．
【答案】x22－y22＝1(x>2)
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)在平面直角坐标系中，已知圆心在直线y＝x＋4上，半径为22的圆c经过原点o.
(1)求圆c的方程；
(2)求经过点(0,2)且被圆c所截得弦长为4的直线方程．
解析(1)设圆心为(a，b)，
则b＝a＋4，a2＋b2＝22，解得a＝－2，b＝2，
故圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.
(2)当斜率不存在时，x＝0，与圆的两个交点为(0,4)，(0,0)，则弦长为4，符合题意；
当斜率存在时，设直线为y－2＝kx，
则由题意得，8＝4＋－2k1＋k22，无解．
综上，直线方程为x＝0.
18．(12分)(2011合肥一模)椭圆的两个焦点坐标分别为f1(－3，0)和f2(3，0)，且椭圆过点1，－32.
(1)求椭圆方程；
(2)过点－65，0作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于m，n两点，a为椭圆的左顶点．试判断∠man的大小是否为定值，并说明理由．
解析(1)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，
由c＝3，椭圆过点1，－32可得a2－b2＝3，1a2＋34b2＝1，
解得a2＝4，b2＝1，所以可得椭圆方程为x24＋y2＝1.
(2)由题意可设直线mn的方程为：x＝ky－65，
联立直线mn和椭圆的方程：x＝ky－65，x24＋y2＝1，化简得(k2＋4)y2－125ky－6425＝0.
设m(x1，y1)，n(x2，y2)，
则y1y2＝－6425k2＋4，y1＋y2＝12k5k2＋4，
又a(－2,0)，则am→an→＝(x1＋2，y1)(x2＋2，y2)＝(k2＋1)y1y2＋45k(y1＋y2)＋1625＝0，所以∠man＝π2.
19．(12分)已知椭圆c的中心为直角坐标系xoy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别为7和1.
(1)求椭圆c的方程；
(2)若p为椭圆c上的动点，m为过p且垂直于x轴的直线上的点，|op||om|＝e(e为椭圆离心率)，求点m的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
解析(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a，c，
由已知，得a－c＝1，a＋c＝7，解得a＝4，c＝3.
∴椭圆方程为x216＋y27＝1.
(2)设m(x，y)，p(x，y1)，其中x∈[－4,4]，
由已知得x2＋y21x2＋y2＝e2，而e＝34，
故16(x2＋y21)＝9(x2＋y2)，①
由点p在椭圆c上，得y21＝112－7x216，
代入①式并化简，得9y2＝112.
∴点m的轨迹方程为y＝±473(－4≤x≤4)，
∴轨迹是两条平行于x轴的线段．
20．(12分)给定抛物线y2＝2x，设a(a,0)，a>0，p是抛物线上的一点，且|pa|＝d，试求d的最小值．
解析设p(x0，y0)(x0≥0)，则y20＝2x0，
∴d＝|pa|＝x0－a2＋y20＝x0－a2＋2x0＝[x0＋1－a]2＋2a－1.
∵a>0，x0≥0，
∴(1)当0<a<1时，1－a>0，
此时有x0＝0时，dmin＝1－a2＋2a－1＝a；
(2)当a≥1时，1－a≤0，
此时有x0＝a－1时，dmin＝2a－1.
21．(12分)已知双曲线的中心在原点，焦点f1，f2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)，点m(3，m)在双曲线上．
(1)求双曲线方程；
(2)求证：点m在以f1f2为直径的圆上；
(3)求△f1mf2的面积．
解析(1)∵双曲线离心率e＝2，
∴设所求双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，
则由点(4，－10)在双曲线上，
知λ＝42－(－10)2＝6，
∴双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)若点m(3，m)在双曲线上，则32－m2＝6，∴m2＝3，由双曲线x2－y2＝6知f1(23，0)，f2(－23，0)，
∴mf1→mf2→＝(23－3，－m)(－23－3，－m)＝m2－3＝0，
∴mf1→⊥mf2→，故点m在以f1f2为直径的圆上．
(3)s△f1mf2＝12|f1f2||m|＝23×3＝6.
22．(12分)已知实数m>1，定点a(－m,0)，b(m,0)，s为一动点，点s与a，b两点连线斜率之积为－1m2.
(1)求动点s的轨迹c的方程，并指出它是哪一种曲线；
(2)当m＝2时，问t取何值时，直线l：2x－y＋t＝0(t>0)与曲线c有且只有一个交点？
(3)在(2)的条件下，证明：直线l上横坐标小于2的点p到点(1,0)的距离与到直线x＝2的距离之比的最小值等于曲线c的离心率．
解析(1)设s(x，y)，则ksa＝y－0x＋m，ksb＝y－0x－m.
由题意，得y2x2－m2＝－1m2，即x2m2＋y2＝1(x≠±m)．
∵m>1，
∴轨迹c是中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆(除去x轴上的两顶点)，其中长轴长为2m，短轴长为2.
(2)当m＝2时，曲线c的方程为x22＋y2＝1(x≠±2)．
由2x－y＋t＝0，x22＋y2＝1，消去y，得9x2＋8tx＋2t2－2＝0.
令δ＝64t2－36×2(t2－1)＝0，得t＝±3.
∵t>0，∴t＝3.
此时直线l与曲线c有且只有一个公共点．
(3)由(2)知直线l的方程为2x－y＋3＝0，
设点p(a,2a＋3)(a<2)，d1表示p到点(1,0)的距离，d2表示p到直线x＝2的距离，则
d1＝a－12＋2a＋32＝5a2＋10a＋10，
d2＝2－a，
∴d1d2＝5a2＋10a＋102－a＝5×a2＋2a＋2a－22.
令f(a)＝a2＋2a＋2a－22，
则f′(a)＝2a＋2a－22－2a2＋2a＋2a－2a－24
＝－6a＋8a－23.
令f′(a)＝0，得a＝－43.
∵当a<－43时，f′(a)<0；
当－43<a<2时，f′(a)>0.
∴f(a)在a＝－43时取得最小值，即d1d2取得最小值，
∴d1d2min＝5f－43＝22，
又椭圆的离心率为22，
∴d1d2的最小值等于椭圆的离心率．
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