0 引言
航空发动机叶片是发动机的核心部件之一，其叶盆叶背型面是典型的自由曲面，电解加工作为特种加工方法是这类复杂三维型面加工的重要手段，逐渐成为发动机生产领域重要的生产工艺之一。
在电解加工的过程中，由于电场的作用，形成了从工件阳极流向工具阴极的电流，从而构成了电流场。而对于电解加工的研究，一般认为电解加工的过程已经进入平衡状态，即此时的电场属于稳衡电流场。Marius Purcar提出应用边界元法仿真电解加工过程中的阳极工件变化，利用解算网格单元节点沿电流密度方向的移动速率获得阳极的形状变化。随后，基于有限元法开发了与SolidWorks软件集成并能接受STEP，AutoCad，IGES等格式的电解加工过程仿真工具，以此实现了3D环境下的电解加工过程仿真。J.Kozak提出了稳态条件下电解加工的电场数学模型，指出平衡状态下阴阳极间隙与电势差、电导率、电解指数之间的经验关系。并基于经验公式研究了加工过程仿真和反求阴极工具形状。朱荻院士团队也提出了在三维环境下基于有限元法的阴极设计方法，并将方法应用于涡轮机叶片加工的阴极设计中，但应用有限元法降低了优化效率和计算精度。
综上所述，传统数值分析方法都以有限元法、有限差分法和边界元法作为基础方法，这类方法存在一些不足： 1）因为几何建模与数值分析模型采用不同数学描述方法，两者之间需要相互转换，转换常出现模型质量不好的现象。2）传统有限元法采用多项式基函数的网格单元逼近表示边界，从原理上不能精确表达求解区域边界处的形状，不适于叶片电解加工这类对边界敏感问题的求解。
本文针对以上问题以航空发动机涡轮叶片电解加工的加工间隙电场分布为研究对象，建立了三维加工间隙参数化模型，并基于等几何法数值求解加工间隙的电场分布。
1 叶片电解加工间隙的参数化建模
1.1 等几何分析方法的基本思想
现有叶片的电解加工数值解法中，叶片工件与阴极工具之间的间隙模型一般采用商用的CAD软件建立，模型中采用的非均匀有理B样条（Non-Uniform Rational BSplines，NURBS）基函数来表示复杂的几何模型；而常用的有限元数值解法采用多项式基函数来逼近复杂边界。这种逼近方法从原理上不能精确表达求解区域边界处的约束，不适于对边界敏感问题的求解；并且由于几何建模与数值分析采用不同的数学模型，两者之间的转换必将带来时间上的消耗以及精度上的损失。
等几何法的基本思想是采用相同的NURBS基函数统一表达几何模型和数值分析模型，研究基于NURBS基函数的电解加工间隙的参数化方法以及非插值特性边界条件的施加方法，建立几何模型与物理模型统一的表达形式，从而避免了几何与分析模型之间的数学模型转化。
2 电解加工等几何法解法实例
根据上述的解算过程，按照等几何的计算方法，对加工间隙空间区域内的电势分布进行计算。设定工件阳极的电压为12V，电解平衡加工间隙为0.3mm，电解液为25℃、浓度10%的硝酸钠溶液。具体步骤如下：
1）在NX中首先建立一个航空发动机叶背曲面，利用Cos求解出工具阴极型面，然后建立电解加工间隙体。
2）在加工间隙的外表面取采样点，反求采样面的控制顶点，得到六个面单元的控制点网格，如图4(b)，并且利用超限插值方法求解出加工间隙体的控制顶点，得到加工间隙体的控制顶点网格，从而参数化表达出电解加工间隙体。
3）通过配点法计算出加工间隙体内电势值的边界条件，并将其施加，由于等几何分析的几何模型网格与分析模型网格重合，故将边界条件直接施加到如图5(a)的控制顶点上，得到等几何方法求解的电势分布。
5 结束语
由于经典有限元在单元边界处是0C 连续，而样条函数可以获得p rC(r为节点重复次数)连续，所以从理论上分析等几何方法在求解上具有更高的精度，但将等几何求解结果与传统有限元法求解的结果（如图5(d)所示）对比，可以看出在电势分布上几乎没有太大区别，这说明只要不断细分FEM的网格数（如图5(c)所示），等几何法与FEM都可以求解出较为准确结果。但是在相同网格自由度的情况下，等几何法比FEM具有更快的收敛速度，如图6所示。另外，由于叶片电解加工间隙采用了统一的基函数表达几何模型与分析模型，所以不需要进行几何模型与分析模型之间的转换。在阴极的迭代优化设计中，可以减少模型转化的时间，增加优化在设计中所占的比例。