摘 要:创设开放的问题情境,从学生的“最近发展区”出发,为学生精心设置“跳一跳摸得到”的问题,引导学生经历发现、探究数学的真实过程,让学生在探究中发现一个个新结论,在发现中享受成功的快乐,在快乐中中激发创造的潜能,迸发出创新的火花。
关键词:开放;情境;探究;创新
中国分类号:G424 文献标识码:A文章编号:1992-7711(2010)4-004 -02
如何改革数学教学,培养学生创新能力,是对每一位数学教师的挑战.我以为,创设开放的课堂,打破传统课堂教学的“封闭性”应该是一个重要的途径。“开放性”课堂教学要求教师在课堂中要从尊重学生的学习个性出发,运用教育机智,巧妙引导,让学生在开放的课堂教学中,自觉主动地提出问题,多途径地解决问题,科学客观地总结规律,进而培养学生敢想、敢问、敢说、敢做的学习个性和新、异、奇的创新意识。因此,构建“开放性”数学教学情境,有利于培养学生的创新能力。那么,在新课程标准下的数学课堂中,如何做到教学的“开放”,从而起到培养学生的创新能力的作用?
苏教版高中数学选修2-1第47页习题2.4有这样一道题:已知直线l:y=x-2与抛物线C:y2=2x相交于A、B两点,求证:OA⊥OB.
【环节一】让学生自主解答.教师适当点拨.
S1:联立方程组,解方程组得出A、B坐标,求直线OA、OB斜率,证kOAkOB=-1;
S2:联立方程组,解方程组得出A、B坐标,求向量OA[X→-*4],OB[X→-*4]坐标,证OA[X→-*4]OB[X→-*4]=0;
S3:联立方程组,解方程组得出A、B坐标,求AB、OA、OB长度,依据勾股定理的逆定理证垂直.
:一定要求A、B的坐标吗?(学生思考)
S4:联立方程组,消元,转化为一元二次方程,依据韦达定理,得出x1+x2,x1x2,再证kOAkOB=-1或OA[X→-*4]OB[X→-*4]=0
小结:关于直线与圆锥曲线相交的问题,通常构建方程组,借助韦达定理整体代换.
【环节二】变换部分条件,提出新问题,催生新发现.
:能否改变直线l的位置,仍满足OA⊥OB?(学生一时没有思路,过了一会儿,终于有学生举手)
S5:若直线l的方程是x=2,也可以保证:OA⊥OB.(经过验证,大家认可S5的说法)
:你何以发现此直线的?
S5:由于抛物线是关于x轴的轴对称图形,因此只要自原点引两条直线OA、OB使其倾斜角分别为45°和135°,就可以保证OA⊥OB,而此时的直线AB的方程是x=2.
:你的想法真有创意(又有学生举手).
S6:按照S5这种思路,我也可以找到一条直线l,令OA的倾斜角是60°,OB的倾斜角是150°,
可以得到直线AB的方程是:y=32x+3
S7:令OA的倾斜角是30°,OB的倾斜角是120°,不正好和S6的直线是对称的吗,很显然此时直线AB的方程是:y=
:也就是说,只要给出OA、OB的适当的倾斜角使OA⊥OB,就能找到这样一条直线l,观察上述的几条直线,能有什么发现吗?(有的学生在尝试画图,有的在窃窃私语,不一会儿有人举手)
S8:所有的满足OA⊥OB的直线l都相交于x轴上一点(2,0).
:能不能推广到一般情况?
S9:直线l与抛物线y2=2px相交于A、B两点,若满足OA⊥OB,则直线l必过定点(2p,0).
【环节三】引导证明,体验数学的严谨,培养推理论证能力.
:能给出一般性的证明吗?(学生经过思考给出了很多的证明的方法,下面给出其中的两种思路)
S10:设OA方程为y=kx,与y2=2px联立方程组,得A(2pk2,2pk),同理,得B(2pk2,-2pk),从而得到AB的方程为:y+2pk=k1-k2(x-2pk2).易证直线AB过点(2p,0).
:反思:若直线l过点(2p,0),且与抛物线y2=2px交于A、B两点,则能推出OA⊥OB吗?(让学生验证,进一步强化对直线与圆锥曲线相交问题的处理策略的训练,然后投影展示学生S11的解答过程.)
S11:(1)若直线l垂直于x轴,易得A(2p,2p),B(2p,-2p),显然OA⊥OB;
(2)若直线l不垂直于x轴,不妨设A(x1,y1)、B(x2,y2),直线l的方程为y=k(x-2p),与y2=2px联立,并消元,得k2x2-(4pk2+2p)x+4k2p2=0,于是OA[X→-*4]OB[X→-*4]=
x1x2+y1y2
=x1x2+k2(x1-2p)(x2-2p)
=(1+k2)x1x2-2pk2(x1+x2)+4p2k2
=4(k2+1)p2-2pk2+4p2k2
=0
所有OA⊥OB.
【环节四】引导类比,合情推理,将结论向一般化推演.
:是否可以猜想:将条件“OA⊥OB”进一步一般化,改为∠AOB=60°,也能得到直线l过定点?(学生尝试探究,探究的过程中,明显地感受到运算的复杂.)
S12:如果过定点,可否尝试用特殊化的方法先找到定点?
:如何实施?
S12:若让OA、OB的倾斜角分别是30°和150°,则不难得出AB的方程为x=6p.根据对称性,若直线AB过定点,则不妨再取两组,则它们的交点应该在点(6p,0),比如:直线0A的倾斜角是15°,直线OB的倾斜角是135°,……经过计算,发现它们并不交于一点.(因为没有经过具体尝试,学生对S12的说法有点将信将疑.)
为了验证S12的说法,.我用投影展示了S12的演算过程,发现确实不过定点,同时我又通过几何画板进行了演示,证明此时直线l确实不过定点.到此,问题的研究似乎可以告一段落了,但是我感到学生的脸上明显地流露出疑惑,于是我就进一步抛出了疑问手.
:∠AOB=45°呢?(经过演示,发现也不过定点.)
【环节五】进一步探究深层次原因,得出一般性结论.
:为什么∠AOB=90°时直线l过定点,而改变了∠AOB大小,就不过定点了呢?其根本的原因在什么地方呢?(教师引导:过定点的背后,一定隐藏这定量的条件,只不过定量的条件是何种表现形式,我们还不清楚.)
:如果将∠AOB=90°改变一种表达形式,如何表述呢?
S13:∠AOB=90°等价于OA[X→-*4]OB[X→-*4]=0,假如把OA[X→-*4]OB[X→-*4]=0改成OA[X→-*4]OB[X→-*4]=-1,不知道是否能保证直线l过定点.
:很好的视角,大家不妨试一试.(学生很满意S13的回答,纷纷演算起来,很快有学生得出了结论.下面是某学生的演算过程)
S14:(1)若直线l垂直与x轴,可设直线l的方程是:x=m,则A(m,2pm),B(m,-2pm),于是OA[X→-*4]OB[X→-*4]=m2-2pm=-1,得m=p±p2-1
(2)若直线l不垂直于x轴,可设A(x1,y1)、B(x2,y2),直线l的方程为y=kx+b与抛物线联立方程组,并消元,得k2x2+(2kb-2p)x+b2=0,于是