标准及非标准无穷大数 假数集 推翻百年自然数公理和集论 极限论 级数论 变量的变域
可数集的各元都必可有自然数“配偶”这一特点使自识正整数5千年来一直“深埋地下”的最大自然数及无穷多无穷大自然数一下子“破土而出”推翻百年“标准实数完备”论，显示已知实数全体仅为实数宇宙中的一颗星球！从而揭示中、小学课本有一系列重大错误：搞错变量的变域而将部分误为全部（继而推出病态的“部分可=全部”）；误以为“有首项的无穷数列必无末项”使级数论有常识性与概念性错误而使小学课本违反起码数学常识地断定0.99...=1；...。
一、极限论极难学的真因：常人拒绝思想混乱的理论 有超常直觉的莱布尼茨运用<任何有穷正数的无穷小正数，建立了微积分。但缺乏超常直觉的后来者错误地认为使用无穷数是非法的，须以极限法来取代w法。然而[2]指出极限论有百年糊涂话。最关键要弄清j式0＜ρ=1/n＜任意给定的正数ε中的ε是在哪一范围内任意给定的数？能否在所有正数中任意给定？不能说清此一不通则百不通的最关键问题，就表明极限论是含混不清的——这是其诲涩难懂、极难学难教严重拖了学生学习物理等相关学科后腿的真正原因——因正常人都有天生拒绝接受思想混乱的“高深”学说的本能。“真理都是很朴实的。”当然，应试会使人不正常。常人都能明白极限论断定{1/n}中有正数项1/n<ε，明白：
j式表达ρ所取各正数ρ均 <ε，“可从某时刻起以后所取各正数ρ均 <ε的ρ>0称为正无穷小”点明没<ε的正数就没正无穷小变量，然而极限论又说无正数＜ε：“任何非0数都不能是无穷小”非常隐蔽地变相否定有正数＜ε而使常人百年不察极限论的自相矛盾性而一直未能真懂极限论。鲜明对比的是“莱布尼茨的无穷小概念，即所谓≠0却<任意一个给定值的数。”（[1]书145页）表明莱大师敏锐地不否定有正数＜ε而不搞自相矛盾。“伟大人物的直觉比凡人的推演论证更可靠。”（[1]书166页） 1）=D——表示ε可是D的任何一个数。许品芳等《高等数学（上）》5页：“对于任何正数ε”“ε代表着任何一个正数”（兵器出版社，1992.7）。无正数＜ε=只有非正数及可取非正数的变数才可＜ε。于是j式是一目了然的百年糊涂话：①说ρ>0可取0。于是又有“ρ是变量而不是数”，但至少可取两数的ρ是变量而不可取数的“鬼魂”ρ不是变量，数与数之间才有大小关系而非数ρ竟也>0——越辩解就越混乱啊！②代表正数的ρ可比任何一个正数都小——采数集A～自然数集N（表示A所有元能与所有自然数一一配对）有一使数学爆发革命的的特点T：不论如何分配都必能保证A的每一元都能配到一自然数“配偶”。例如N={0，1，2，3，…}～N={100，7，3，1，50，…}～N={0，2，4，6，…}∪{1，3，5，...}～N=…。 N的偶数y=2n+2>n=0，1，2，…（所有n组成V）也一目了然地表达y必可>数列V的一切数而取V外数。
极显然：在N的非奇数2n都有配偶n∈V时,N的奇数都无配偶n∈V，除非拆散已配对的全部“夫妻”——充分说明V不可～N（否认此事实者连“一一配对”这一常识性概念都还未弄懂）从而更≠N!故课本将不可～N的似是N而非N的假N：V，误为N，是将N的部分误为全部的重大错误。
[5]证明了h定理1：对等的两无穷集F～G的任一集增（减）元后就再也不能～另一集了。
定义域为D=（0，1）的y=10x的值域Z真的=（0，10）=D+[1，10）=K吗？D各元均由x>0变换为y=10x就得以y为元的Z～D。据h定理1,Z～D不可～D的真扩集KÉD,从而更≠K! 故中学的“Z=K”是将K的一部分：Z误为K的重大根本错误！关键是Z各元y=10x的对应数x的全体组成的集是D而不能是KÉD！Z～Z不能说明Z～K，因两者的组成成员不同：Z的元是10x,而K的元却是x。
数列W的所有数的倒数组成各项都是无穷小正数的无穷数列。记1/∞1=p，p的n>1次方pn是关于p的n级无穷小正数，一级无穷小数p无穷大倍于pn。长为1/∞1的线段放大∞1倍就成为长为1的有穷短线段。物质的无限可分性决定了有长≠0但又短至不能与任何有穷数相对应的无穷短直线段。“微分三角形”的各边都是无穷短线段。
0＜△x＜任何有穷正数ε（凡有穷正数都可由其代表）中的△x是正无穷小变数＜ε，其所取的数△x都是无穷小正数＜ε。注！去掉“有穷”二字就是采见任何级数不是有偶数个项就是有奇数个项。不识此真相使课本有常识性错误。 级数w是否=0完全壬见级数论否定h是数，是违反最起码科学常识C的常识性错误。常识C表明丢掉无穷数与丢掉无理数一样都使数学自相矛盾。
六、结语
真正的教师都不能对书本的重大错误不闻不问而只负责照本宣科当传声筒，不能惟书、惟上、不惟实；否则就会以讹传讹误人子弟。“时间就是金钱，…”百年集论百年来浪费了多少亿人的多少时间与精力啊！造成多少亿元的损失？更要命的是它的重大误导作用！
深入才能浅出，浅入就只能深出。对数的认识的惊人浅薄必使人化简为繁、化清为浊。“大道至简至易。”自相矛盾的小道至繁至难，使人花大量时间与精力还是不知其所云，严重阻碍了科技人员迅速掌握数学这一极有力的工具。光是砍掉一个集论与为无穷数平反，相关学生的学习负担就能一下子大大减轻。革命更能使数学是朴实的科学真理从而能缩短学制，大大节省学费和时间。
文献 [2]黄小宁，再论极限论总难学难教的真正原因：有自相矛盾的百年糊涂话[J]，科技信息，2008
（1）：29。
[3]北京大学数学力学系高等数学教材编写组，常微分方程与无穷级数[M]，北京：人民教育出版社，1978。 [7][8][9]黄小宁，百年集论确是"疾病"之理由——试议著名数学家庞加莱百年前的预见[J]，科学人，2009
（4）；驱5千年迷雾现统治数学的集论百年病魔原形——破解2500年芝诺著名运动世界难题[J]，今日科苑,2009
（16）:267；再论小学生察觉出小学数学中的常识性错误[J]，教育前沿，2007
（12）：110。 [12]黄小宁，教科书有一系列不堪一击的极重大致命错误——书上各取正数的无穷大均相比下≈定量0，见：中国学校教育研究•数学•机卷[C]，北京：中国民主法制出版社，2004.3:8。