1．个案1—由失败中获取有用的信息
例1 若ａ、ｂ、ｃ为互不相等的实数，且ｘ／（ａ－ｂ）＝ｙ／（ｂ－ｃ）＝ｚ／（ｃ－ａ），求ｘ＋ｙ＋ｚ．
解：由等比定理得
但是，②式的分母为零
我们的解题努力失败了．
评析：这是一个失败的解题案例，文［3］谈到了调整解题方向后的一些处理，其实都用到③式．所以，失败的过程恰好显化了题目的一个隐含条件，这是一个积极的收获，当我们将不成功的②式去掉，把目光同时注视①式与③式时，①式使我们看到了两条直线重合：
而③式又使我们看到了直线⑤通过点
作一步推理，直线④也通过点（1，1），于是
与文［3］相比，这是一个不无新意的解法，其诞生有赖于两点：
第1，从失败的解题中获取一条有用的信息，即③式．
第2，对①式、③式都作“着眼点的转移”，从解析几何的角度去看它们．
有了这两步，剩下来的工作充其量在30秒以内就可以完成．
2．个案2—尚未成功不等于失败
设ｆ（ｎ）为关于ｎ的正项递增数列，Ｍ为大于ｆ
（1）的正常数，当用数学归纳法来证不等式
时，其第2步会出现这样的情况：假设ｆ（ｋ）＜Ｍ，则
无法推出ｆ（ｋ＋1）＜Ｍ．
据此，许多人建议，用加强命题的办法来处理，还有人得出这样的命题（见文［4］Ｐ．32及文［5］Ｐ．12）：
命题 设｛ｆ（ｎ）｝为关于ｎ的正项递增数列，Ｍ为正常数，则不等式ｆ（ｎ）＜Ｍ（ｎ∈Ｎ）不能直接用数学归纳法证明．
评析：不等式①没能用递推式②证出来，有两种可能，其一是数学归纳法的功力不足，其二是数学归纳法的使用不当．把“不会用”当作“不能用”，其损失是无法弥补的．
我们分析上述处理的“尚未成功”，关键在于递推式②，这促使我们思考：ｆ（ｋ＋1）与ｆ（ｋ）之间难道只有一种递推关系吗？ 例2 用数学归纳法证明
讲解：当ｎ＝1时，命题显然成立．
现假设ｆ（ｋ）＜2，则由于2＋（1／2ｋ）恒大于2，所以数学归纳法证题尚未成功．
然而，这仅是“方法使用不当”．换一种递推方式，证明并不困难． 下面一个反例直接取自文［4］的例2． 证明：当ｎ＝1时，命题显然成立．
假设ｎ＝ｋ时命题成立，则 ＝1＋（1／2）＋（1／3）·（1／2！）＋…＋（1／ｋ）·［1／（ｋ－1）！］＋［1／（ｋ＋1）］·（1／ｋ！）＜1＋（1／2）｛1＋（1／2！）＋…＋［1／（ｋ－1）！］＋（1／ｋ！）｝＜1＋（1／2）×2＝2．
这表明ｎ＝ｋ＋1时命题成立．
由数学归纳法知，不等式已获证．
3．个案3—对尚未成功的环节继续反思
文［7］有很好的立意也有很好的标题，叫做“反思通解·引出简解·创造巧解”，它赞成反思“失败”并显示了下面一道二次函数题目的调控过程：
例4 二次函数ｆ（ｘ）＝ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ的图象经过点（－1，0），是否存在常数ａ、ｂ、ｃ使不等式
对一切实数ｘ都成立？若存在，求出ａ、ｂ、ｃ；若不存在，说明理由．
讲解：作者从解两个二次不等式
对一切实数ｘ都成立，猜想
我们不知道命题人的原始意图是否只考虑“存在性”，按惯例，“若存在，求出ａ、ｂ、ｃ”应该理解为“若存在，求出一切ａ、ｂ、ｃ”．从这一意义上来看上述巧解，那就存在一个明显的疑点：诚然，③式是满足①的一个解，但是在ｘ与（ｘ2＋1）／2之间的二次函数很多，如 ｆ2（ｘ）＝（1／3）ｘ＋（2／3）（ｘ2＋1）／2， ……
这当中有的经过点（－1，0），有的不经过点（－1，0），巧解已经验证了ｆ1（ｘ）经过点（－1，0）从而为所求，我们的疑问是：怎见得其余的无穷个二次函数就都不过点（－1，0）呢？
一般情况下λ应是ｘ的正值函数（文［8］默认λ为常数是不完善的；同样，2000年高考理科第20题
（2），对ｃｎ＝ａｎ＋ｂｎ设
②式与④式的不同，反映了特殊与一般之间的区别，反映了“验证”与“论证”之间的区别．其实，原［解法1］出来之后，立即就可以得出②式，与是否应用“基本不等式”无关．同样，原［解法1］中作者思考过的“推理是否严密”在“巧解”中依然是个问题．这种种情况说明，我们不仅要对解题活动进行反思，而且要对“反思”进行再反思．下面一个解法请读者思考错在哪里？
解：已知条件等价于存在ｋ＜0，使 把ｘ＝－1时，ｆ（ｘ）＝0代入得 ｋ＝－1， 即 ｆ2（ｘ）－［（ｘ＋1）2／2］ｆ（ｘ）＋（ｘ3＋ｘ＋2）／2＝0．
由此解出的ｆ（ｘ）为无理函数，不是二次函数，所以本题无解． ｆ（ｘ）＝ａ（ｘ1－ｘ）（ｘ2－ｘ）＋ｘ
＝λｘ1＋（1－λ）ｘ，
据定比分点的性质有ｘ＜ｆ（ｘ）＜ｘ1．
1 罗增儒．解题分析—解题教学还缺少什么环节？中学数学教学参考，1998，1～2
2 罗增儒．解题分析—再谈自己的解题愚蠢．中学数学教学参考，1998，4
3 罗增儒．解题分析—人人都能做解法的改进．中学数学教学参考，1998．7
4 李宗奇．调控函数及其应用．中学数学杂志（高中），2000，3
5 王俊英．一类数学归纳法能否使用问题的判定．中学数学，1987，9
6 罗增儒．数学解题学引论．西安：陕西师范大学出版社，1997，6
7 曹 军．反思通解·引出简解·创造巧解．中学数学，2000，6
8 陈雪芬．刘新春．定比分点公式在代数中的应用．数学教学通讯，2000，6
9 罗增儒．解题分析——分析解题过程的两个步骤．中学数学教学参考，1998，5