摘 要：线性方程组求解计算涉及到航空航天、计算机计算程序、环境科学、会计统计计算、隐身器件设计等国民经济与国防建设等方面，其中往往需要求解一个或一系列大型线性系统。反问题就是所谓的已知有一组复数，之后要求构造一个矩阵A，使其具有某种性质，并且求得的矩阵A的特征值也恰好是我们之前知道的那组复数。而且，随着问题规模所需的计算量增加，相应线性系统的未知数个数也在增加，有的上百万或千万，更有甚者竟达到上亿。在本文中，我们通过与线性方程组的反问题相关的两组例题，了解了每到例题的解题方法，以及该问题涉及到的对于线性方程组反问题在经济中的应用，还有一些相关的推论定理证明以及应用。
关键词：线性方程组；求解反问题；r-循环矩阵式
会计在统计大型数据时，求解整个问题的关键和基础是这些线性方程组的求解问题所在，计算过程大部分的时间和空间都浪费在计算量上，更有甚者计算量竟然占计算过程的80%以上。线性方程组反问题求解研究是现代科学计算的焦点和重要课题之一，有效的、简单的统计方法研究既有理论意义又有实际意义，线性方程组的反问题在代数中，是最简单但也是最重要的一类方程组求解问题，线性方程组求解的反问题在会计进行数据统计时常用的一种方法。许多难解的问题，解法中的式子最后都能化成线性方程组，所以线性方程组对于计算数学是及其重要的。
自动回归滤波器领域的许多问题，如计算机时间序列分析等，都涉及到周期性，这导致了一种特殊的矩阵r-循环矩阵式的研究―。针对r-循环矩阵式，研究基于ILUTP（p，）的预处理技术，结合最小度排序的思想，在主要元件的选择加入柱非零权重参数，矩阵的分解过程中减少填充元的重新排序，从而降低存储的复杂性，减少计算量，提高运行效率，同时确保矩阵稀疏分解过程中不被摧毁。因此，对它的研究引起了人们的极大关注。特别是，更强调快速算法的r-循环矩阵。近年来，由于实际问题的需要，反问题的研究线性方程组已成为一个非常火的研究课题。
利用行列式，把线性方程组的解以公式解的形式表示出来。而当线性方程组的数与未知数的个数相同时，则只能求解该规则，而方程系数的行列式不等于问题的解。如果方程的数目不与未知量的个数相同，或该方程组的系数行列式等于更一般的线性方程组，克莱姆法则不能用于求解方程。
在科学研究和生产实践中，许多实际问题往往涉及到解线性方程组及其反问题。因此，对线性方程组的研究具有十分重要的意义，所谓线性方程组反问题的解，是相对于对应线性方程组的“正问题”而言的。那么，线性方程组的反问题是什么样的呢？以及该问题中涉及到的关于线性方程组反问题的应用，还有一些相关的定理和推论的证明以及应用。
结束语：线性方程组求解计算涉及到航空航天、计算机计算程序、环境科学、会计统计计算、隐身器件设计等国民经济与国防建设等方面，其中往往需要求解一个或一系列大型线性系统。而且，随着问题规模的大大提高，相应线性系统的未知数个数也在明显增加，有的上百万、千万，更有甚者上亿。本文利用多项式最大公因式，给出了线性方程组的反问题在r-循环矩阵类和对称r-循环矩阵类中有唯一解的充要条件，进而得到线性方程组在r循环矩阵类和对称r-循环矩阵类中的反问题求唯一解的算法。最后给出了应用该算法的数值例子，所谓反问题，是指已知有一组复数，之后要求构造一个矩阵A，使其具有某种性质，并且求得的矩阵A的特征值也恰好是我们之前知道的那组复数。或者是在已知b和x的情况下，比如该矩阵是对称正定矩阵，并且可以满足：b=A*x。
参考文献：
[1] 利用矩阵方程研究两类线性方程反问题C张宝善，蒋永泉C《Journal of Mathematical Research with Applications》-1997；
[2] 论非齐次线性方程组的又一类反问题C刘建国C《葛洲坝水电工程学院学报》-1996；
[3] 一类线性方程反问题的显示通解及其应用C张君敏C《河南师范大学学报：自然科学版》-2000；
