【摘 要】定积分是微积分学教学中的重点与难点，它的求解方法与技巧有很多，本文主要以实例分析的形式谈谈定积分求解的一个注记。
【关键词】换元法；区间再现；分部积分法
中图分类号：O177.6 文献标识码： A 文章编号： 2095-2457（2018）08-0069-001
A Note on Solving Definite Integral
LI Qing-juan
（Dalian University of Finance and Economics，Dalian Liaoning 116622，China）
【Abstract】Definite integral is a key and difficult point in the calculus teaching.There are many methods and techniques for solving it. This article mainly discusses a definite integral solution in the form of case analysis.
【Key words】Substitution method； Interval reproduction； Fractional integration method
定积分是积分学的一个重要组成部分，它在自然科学与生产实践中有着非常广泛的应用，因此定积分的计算与应用都是积分学教学中的重c。定积分的计算方法与技巧非常之多，除了常用的方法如换元法、分部积分法、递推公式法、有理函数的积分法等等，有时还可以利用函数的奇偶性，周期性、对称性等求解相应的定积分。其中，定积分的换元法主要有凑微分（第一换元法）、三角代换、根式代换，倒代换等。在利用换元法计算定积分时，我们发现有一类题目可在换元的过程中采用区间重现的方法求解，我们可将此方法进行推广。
例1：计算I= dx
解：从被积函数的形式来看，采用换元法，为了在换元的过程中，积分区间不变，故
令x=π-t，x=0，t=π；x=π，t=0.
I=- dt= dt=- dx=-I所以I= .
例2：计算I= dx
解：此题与例1相同，采用换元法，并保证上下限的数值不变，只需做如下变量代换
令x=-t，x=-2，t=2；x=2，t=-2.
I=- dt= dt= dt= dx=I1，
又I+I1= x2dx= ，所以I= .
例3：计算I= dx
解：令x= -t，x=0，t= ；x= ，t=0.
I= d -t，
= dt= dx=I
又I+I1= dx= ，所以I= .
注：此题也可以采用三角有理分式的积分计算方法.
例4：计算I= ln（1+tanx）dx
解法1：观察特点，直接代换，令
x= -t，x=0，t= ；x= ，t=0
I= ln（1+tanx）dx= ln1+tan（ -t）d（-t）
= ln1+ dt= ln dt
= ln2dt- ln（1+tanx）dx
所以，2I= ln2，即I= ln2.
解法2：先变形再代换
I= ln（1+tanx）dx= ln dx
= ln dx
= ln dx+ lnsin +xdx- lncosxdx
令x= -t，x=0，t= ；x= ，t=0
lnsin +xdx=- lncostdt= lncosxdx
所以I= ln dx= ln2
例5：证明：若函数f（x）在闭区间[0，1]上连续，则 xf（sinx）dx= f（sinx）dx
证明：令x=π-t，x=0，t=π；x=π，t=0
xf（sinx）dx
=- （π-t）f（sin（π-t））dt
= （π-t）f（sint）dt
=π f（sinx）dx- xf（sinx）dx
所以2 xf（sinx）dx=π f（sinx）dx，即 xf（sinx）dx= f（sinx）dx
通过上述例子，可以看出利用换元法，使得原来的定积分的积分区间再现，从而将积分求解出来，这种方法在处理一类问题时很好用，它是定积分换元计算的一个典型方法，做这种题目时，首先要进行分析，然后采用相应的变量代换，重点是要保证在代换过程中积分的上下限的两个数值重复出现，即区间重现，从而进一步的求解与证明。值得一提的是，在学习定积分的计算方法时，要善于总结归纳，只有熟练掌握了各种计算方法与技巧，碰到任何情况，才能得心应手。
【参考文献】
[1]潘福臣，李庆娟，等.高等数学[M].吉林大学出版社.
[2]吴传生.微积分[M].高等教育出版社.
[3]刘坤林，谭泽光.微积分[上][M].清华大学出版社.
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