[摘 要] 近几十年来，数学模型在国际贸易中的运用日益增多。本文以中部地区对外贸易的发展为例，来探讨聚类分析方法、因果检验分析方法和多变量回归分析方法在国际贸易中的运用。
通过这三个数学模型的分析可以看出，数学模型在国际贸易学中的运用能较为精确的揭示国际贸易的规律，从而为国际贸易的教学和科研提供有益的借鉴。 【论文关键词】 数学模型 国际贸易 中部地区 近几十年来，随着社会的不断进步和科学技术的迅速发展，数学模型的应用范围在不断地扩大，早已突破了传统的物理、力学、工程技术范围，已经扩展到包括生物、化学、生态、经济、管理等极其广泛的领域。
因此，数学建模的基本知识已成为经济管理人员所必备的基础知识，而专业的应用数学工作者和经济理论研究者更需要具有熟练的数学技巧和丰富的想象力，加快引进和吸收国外先进的数学方法，努力做到学以致用。近年来，数学模型在国际贸易领域的应用迅速发展，主要包括回归模型、时间序列模型、多元统计模型等等。
本文以中部地区对外贸易的发展为例，来探讨聚类分析方法、因果检验分析方法和多变量回归模型在国际贸易学中的运用，期望能对国际贸易领域的教师在数学模型方法的运用方面提供有益的借鉴。
一、相关数学模型说明 1.聚类分析方法 聚类分析是根据研究对象的特征对其进行分类的多元分析技术的总称。聚类分析方法的思想是通过定量测算各样本之间的相似程度和亲疏关系，将性质比较相似、综合差异比较小的样本分别聚合成类，而将性质相似性比较小、综合差异比较大的样本区分为不同的类，从而将整个研究对象聚合成若干类。
聚类分析法可以通过以下四个步骤完成：第一步选择恰当的变量。本文根据变量必须和目标密切相关、反映分类对象特征、变量之间不应高度相关的原则选择了对我国对外贸易水平影响最大的5个指标：国内生产总值、商品贸易出口总额、商品贸易进口总额、国际旅游贸易总额和承包工程及劳务合作总额。
第二步是对原始数据进行标准化处理，即数据的量纲标准化的处理。第三步距离测度。
本文以欧式距离的最短距离法来进行测度我国对外贸易发展水平。第四步，对样本进行分类与分析。
2.协整检验和因果分析方法 协整检验是指如果两个（或两个以上）的时间序列变量是非平稳的，但它们的某种线性组合却表现出平稳性，则这些变量之间存在长期稳定的关系，即协整关系。因此它有助于分析变量之间的长期均衡关系的。
由于协整分析从分析时间序列的非平稳性入手，探求非平稳变量间蕴含的长期均衡关系，既避免了传统的线性回归对非平稳的经济时间序列进行简单回归时产生的“伪回归”现象，又解决了对非平稳进行差分，往往使数据中包含的长期调整信息丢失的问题，把时间序列分析中的短期动态模型和长期均衡模型的优点结合起来，为非平稳时间序列的建模型提供了良好的解决方法。 Granger因果检验是检验经济变量之间因果关系的一种常用方法。
因果检验认为，如果X是Y的Granger原因，但Y并不是X的Granger原因，则X的过去值应该能够帮助预测Y的未来值，但Y的过去值不应该能够帮助预测X的未来值。因此，Granger因果性检验一个变量在多大程度上可由一个变量自身的过去值来解释以及加入其它解释变量的过去值，能否增加解释力度。
3.多变量回归模型 多元回归模型一般是指当有多个解释变量对被解释变量起作用时，可以通过建立多元回归模型来测量各个解释变量对被解释变量的方向和影响程度。本文以中部地区对外贸易的影响因素为例，选择3个外部间接影响因素和4个自身直接影响因素为解释变量，以对外贸易为被解释变量，并为消除变量的不平稳性，对变量取对数，建立如下模型： LnTR=a0+a1LnWEI+a2LnEER+a3LnTOT+a4LnGDP+a5LnFDI+a6LnIN+a7LnHC+u 其中a0为截距，u随机扰动项。
二、数学模型分析结果 1.基于聚类分析方法的中部地区对外贸易现状在全国的地位比较分析 中部地区的对外贸易发展滞后，在全国处于相对落后的地位。从1996年～2006年，中部地区对外贸易年均所占全国的比重仅为3.2%。
中部六省在全国排名总体上偏后，但部分省份排名也较前。以2006年为例，中部地区安徽、江西、湖北、河南、湖南和山西在全国的排名分别是第
1
2、
2
2、
1
3、
1
5、18和20位。那么，中部地区各省对外贸易发展在全国的综合地位究竟如何？聚类分析将使我们得出更为直观的结论。
本文以2006年全国31个地区的国内生产总值、商品贸易出口总额、进口总额、国际旅游总额和承包工程及劳务总额为指标，运用SAS软件进行聚类分析得到的我国各地区对外贸易地区分类（如表1所示）。我国31个地区依据对外贸易发展水平分可以为分三类:第一类是发达地区;第二类较发达地区;第三类是欠发达地区。
资料来源：原始数据来自于《中国统计年鉴》（2007）。 从表1可以看出，我国各地区对外贸易很不平衡，东部地区的对外贸易发展水平处于全国领先地位，而中西部地区的对外贸易发展水平相对落后。
在全国31个地区中，真正能够进入前二类的地区只有10个（分别是广东、上海、北京、江苏、浙江、天津、福建、辽宁、山东和河北），所占比重不到全国的三分之一，剩余的三分之二都是属于第三类欠发达地区，可见我国对外贸易发展水平极不平衡，大部分地区的对外贸易还有待进一步发展。而且经过仔细观察发现，进入前二类的10个地区除辽宁外全部为东部沿海地区（东部地区只有海南没有进入前二类地区），中西部地区和辽宁以外的东北地区全部属于第三类，对外贸易发展极为落后，大大低于全国平均水平。
2.基于协整检验与因果检验方法的中部地区对外贸易与经济增长关系分析 本文利用1986年～2006年的时间序列数据，采用协整检验来考察中部地区对外贸易与经济增长之间的长期和短期均衡关系，并通过因果检验方法来验证它们之间的因果关系。当然，在此之前，为保证变量的平稳性，要进行单位根检验。
本文使用最常用的扩充迪基-富勒检验即ADF检验方法来进行平稳性检验，结果认为原始序列变量国内生产总值（LnGDP）、出口（LnEX）和进口（LnIM）均为I
（1）的，即一阶单整的，而只有其1阶差分序列变量才是I（0）的，故不能用简单的回归方程来分析它们之间的关系，而要使用协整理论来进行定量分析。
(1)协整（co-integration）检验。由协整检验结果表2可知，由于在5%和1%的显著水平下，30.33分别大于24.
3
1、29.75，7.35分别小于12.
5
3、16.31，2.04分别小于3.
8
4、6.51，因此变量LnGDP、LnEX、LnIM之间存在唯一的协整关系，估计出的协整方程如下： LnGDP=2.4060+0.9317LnEX+0.5409LnIM t值：(40.82
4
9) (10.00
1
4) (13.92
6
4) ad-R2=0.99151 F=193.95 协整方程表明，从长期来看，中部地区国内生产总值与出口、进口之间存在长期稳定的均衡关系，出口和进口都对GDP产生积极的影响。其中，出口对GDP的作用要大于进口对GDP的作用。
出口的产出弹性为0.93，表明出口平均每增加1个百分点，GDP将增加0.93个百分点；进口的产出弹性为0.54，表明进口平均每增加1个百分点，GDP将增加0.54个百分点，其对GDP的作用要小于出口的作用。 资料来源：《中国统计年鉴》（1986年～2006年）；表中r代表协整向量个数，检验的滞后期为3期。
(2)格兰杰因果检验（Granger Test）。协整检验结果告诉我们中部地区对外贸易与经济增长之间存在长期的均衡关系，但是这种均衡关系是否是因果关系，还需要进行因果关系检验。
由于进行格兰杰因果检验的前提是序列必须是平稳的，因此我们用三个变量的平稳序列即一阶差分序列通过Granger因果关系检验法来进行检验。 资料来源：《中国统计年鉴》（1986年～2006年）。
根据检验结果表3所示，dLnGDP与dLnEX之间不存在格兰杰因果关系，说明尽管中部地区出口贸易能促进国内生产总值增长，但还不是其主要原因，同样，中部地区的出口贸易主要还是体现劳动力优势，国内生产总值不是其出口扩大的主要原因。d LnGDP与dLnIM之间只存在单方面的因果关系：dLnGDP在10%的显著水平上是dLnIM的原因，而dLnIM不是dLnGDP的原因。
说明中部地区国内需求的扩大导致了较大的进口需求，而进口贸易不是国内生产总值的主要原因。 3.基于多变量回归模型的中部地区对外贸易影响因素分析 我们利用中部地区1986年～2006年的相关数据通过构建多变量回归模型对中部地区对外贸易影响因素进行分析。
通过回归分析，发现大部分变量不显著，因此逐步删除不显著变量LnGDP、LnEER和LnWEI，得到相对来说较为理想的回归方程： LnTR=-15.8965+3.7091LnTOT-0.1867LnFDI+0.4517LnIN- 0.3067LnHC t值：（40.82
4
9) (2.380
2) (-1.60
4
6) (1.94
9
8) (-1.57
2
6) ad-R2=0.9551 F=59.6174 回归方程的可决系数较高，达到0.9551，说明模型的回归拟合优度很好，F检验值为59.6174，F>F0.01，说明方程总体线性关系在99%水平下显著成立；同时D.W值为1.9607，说明这个序列排除了自相关的干扰。具体考察各解释变量的统计显著性，发现有2个变量显著性水平比较高，通过了10%的显著水平检验，有2个变量通过了15%的显著水平检验，有3个变量没有通过显著性检验。
对各解释变量的分析如下：
（1）贸易条件和全社会固定资产投资对中部地区对外贸易有较大的推动作用。贸易条件系数和全社会固定资产投资系数分别为3.7091和0.4517，这2个变量都通过了5%的显著性检验，且与对外贸易贸易呈正相关关系，这与我们一般结论相符。
（2）外商直接投资和人力资本对中部地区对外贸易贸易作用非常微弱。这2个变量的系数分别为-0.1867和-0.3067，而且它们只通过了15%的显著性检验，因此我们可以说中部地区外商直接投资和人力资的作用没有得到充分的发挥，这与一般的研究结论不符。
（3）全球经济指数、汇率和国内生产总值与中部地区的对外贸易贸易没有直接关系。这3个变量被剔除在模型之外，对中部地区对外贸易没有产生影响，这与一般的理论看法有些不同。
三、结论与启示 通过以上数学模型对中部地区对外贸易发展现状、与经济增长的关系、影响因素及其发展环境的分析，本文得出如下结论：
（1）聚类分析表明，中部地区各省的对外贸易发展在全国相对还比较落后，在三大类地区中，中部地区六省均处于第三类欠发达地区。
（2）协整检验和因果分析显示，中部地区对外贸易与经济增长之间存在着长期稳定的均衡关系，对外贸易促进了经济的增长，而经济增长对进口有作用。同时，因果检验显示，尽管出口贸易能促进经济增长，但它们之间没有因果关系；进口贸易同样不是经济增长的重要原因，不过经济增长却是进口贸易的格兰杰原因。
（3）多变量回归结果告诉我们，中部地区影响因素主要是贸易条件和全社会固定资产投资，而外商直接投资和人力资本对外贸的作用较小，全球经济指数、汇率和国内生产总值与中部地区的对外贸易没有直接关系。 从以上分析我们可以看出，数学模型可以广泛运用于国际贸易领域的各个方面，较为精确的数学模型有利于我们得到更为直观而准确的结论。
当然，除了上述三种数学模型外，大多数的经济计量模型都可以运用到国际贸易领域，包括因子分析、差分方程、脉冲反应模型、向量自回归模型、预测误差方差分解法等等。因此，要使这些数学模型到国际贸易领域得到充分利用，还需要我们的教师和学者不懈地努力和探讨。
参考文献： 余 斌:经济研究中的数学应用问题[J].当代经济研究，2007
(1
1)，28～32 徐冬林:经济学中的数学思维及其教学启示[J].统计与决策，2006
(4)，130～132 张瑞兰:经济学数学化的理性思考[J].生产力研究，2006
(4)，14～15 张 真:经济学研究数学化趋势的哲学思考[J].统计与决策，2006
(8)，28～31