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均值不等式归纳法证明 均值不等式的证明数学归纳法篇一
3、(abc)(1119) abbcca24、设a,br，且ab1，求证：(a)(b)
5、若ab1，求证：asinxbcosx
16、已知ab1，求证：ab
7、a,b,c,dr求证：1＜441a21b225 2221 8abcd+++＜2 abdbcacdbdac11118、求证2222＜2 123n
1111＜1
9、求证：2n1n22n10、求下列函数的最值
（1）已知x＞0，求y2x
（2）已知x＞2，求yx4的最大值（-2）x1的最小值（4）x
2111（3）已知0＜x＜，求yx(12x)的最大值（）221611、若正数a,b满足ab(ab)1则ab的最小值是（）
（22333）
12、已知正数a,b求使不等式(ab)k(ab)成立的最小k值为（）（4）
13、求函数y
14、二次函数f(x)xaxxa的两根x1,x2满足0＜x1＜x2＜ 1，求a的取值范围（）（0，15、关于x的方程x2m(x3)2m140有两个实数根，且一个大于1，一个小于1，则m的取值范围是（）（m＜-
22221）
416、关于x的方程mx2x10至少有一个负根，则m的取值范围是（m1）
17、关于x的方程2kx2x3k20有两个实数根，一个小于1，另一个大于1，求实数k的取值范围（k＞0或k＜-4）
218、为使方程x22px10的两根在（-2,2）内，求p的取值范围（-＜p＜
19、函数f(x)ax2x1有零点，则a的取值范围是（a
20、判断函数f(x)x-
21、已知方程x22343）41）411的零点的个数（一个）x395xk在1,1上有实数根，求实数k的取值范围（,）2162
22、已知方程7x2(m13)xm2m20有两个实数根，且一根在（0,1），一根在（1,2）上，求m的取值范围（(2,1)(3,4)）
23、关于的方程2axx10在（0,1）内恰有一解，求实数a的取值范围(1,)
24、若关于的方程lg(x
x2x220x)lg(8x6a3)0有唯一实根，求a的取值范围
均值不等式归纳法证明 均值不等式的证明数学归纳法篇二
常用均值不等式及证明证明
这四种平均数满足hngn
anqn
、ana1、a2、r，当且仅当a1a2
an时取“=”号
仅是上述不等式的特殊情形，即d(-1)≤d(0)≤d(1)≤d(2)由以上简化，有一个简单结论，中学常用
均值不等式的变形：
(1)对实数a,b，有a
2b22ab(当且仅当a=b时取“=”号)，a,b02ab
(4)对实数a,b，有
aa-bba-b
a2b2
2ab0
(5)对非负实数a,b，有
(8)对实数a,b,c，有
a2
b2c2abbcac
abcabc(10)对实数a,b,c，有
均值不等式的证明：
方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序
不等式法、柯西不等式法等等
用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。
引理：设a≥0，b≥0，则abannan-1b
n
注：引理的正确性较明显，条件a≥0，b≥0可以弱化为a≥0，a+b≥0(用数学归纳法)。
当n=2时易证；
假设当n=k时命题成立，即
那么当n=k+1时，不妨设ak1是则设
a1,a2,,ak1中最大者，kak1a1a2ak1 sa1a2ak
用归纳假设
下面介绍个好理解的方法琴生不等式法
琴生不等式：上凸函数fx,x1,x2,,xn是函数fx在区间(a,b)内的任意n个点，设fxlnx，f
x为上凸增函数所以，在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦）
均值不等式归纳法证明 均值不等式的证明数学归纳法篇三
均值不等式证明
一、已知x,y为正实数，且x+y=1求证
xy+1/xy≥17/
41=x+y≥2√(xy)
得xy≤1/4
而xy+1/xy≥
2当且仅当xy=1/xy时取等
也就是xy=1时
画出xy+1/xy图像得
01时，单调增
而xy≤1/4
∴xy+1/xy≥(1/4)+1/(1/4)=4+1/4=17/4
得证
继续追问：
拜托，用单调性谁不会，让你用均值定理来证
补充回答：
我真不明白我上面的方法为什么不是用均值不等式证的法二：
证xy+1/xy≥17/4
即证4(xy)²-17xy+4≥0
即证(4xy-1)(xy-4)≥0
即证xy≥4，xy≤1/4
而x,y∈r+，x+y=
1显然xy≥4不可能成立
∵1=x+y≥2√(xy)
∴xy≤1/4，得证
法三：
∵同理0
xy+1/xy-17/4
=(4x²y²-4-17xy)/4xy
=(1-4xy)(4-xy)/4xy
≥0
∴xy+1/xy≥17/4
试问怎样叫“利用均值不等式证明”，是说只能用均值不等式不能穿插别的途径?!
二、已知a>b>c，求证：1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0
a-c=(a-b)+(b-c)≥2√(a-b)*(b-c)
于是c-a≤-2√(a-b)*(b-c)<0
即：1/(c-a)≥-1/【2√(a-b)*(b-c)】
那么
1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)
≥1/(a-b)+1/(b-c)-1/【2√(a-b)*(b-c)】
≥2/【√(a-b)*(b-c)】-1/【2√(a-b)*(b-c)】=(3/2)/【2√(a-b)*(b-c)】>0
三、1、调和平均数：hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)
2、几何平均数：gn=(a1a2...an)^(1/n)
3、算术平均数：an=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均数：qn=√(a1^2+a2^2+...+an^2)/n这四种平均数满足hn≤gn≤an≤qn的式子即为均值不等式。
概念：
1、调和平均数：hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)
2、几何平均数：gn=(a1a2...an)^(1/n)
3、算术平均数：an=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均数：qn=√
这四种平均数满足hn≤gn≤an≤qn
a1、a2、…、an∈r+，当且仅当a1=a2=…=an时劝=”号
均值不等式的一般形式：设函数d(r)=^(1/r)(当r不等于0时);
(a1a2...an)^(1/n)(当r=0时)(即d(0)=(a1a2...an)^(1/n))
则有：当r注意到hn≤gn≤an≤qn仅是上述不等式的特殊情形，即d(-1)≤d(0)≤d(1)≤d(2)
由以上简化，有一个简单结论，中学常用2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√
方法很多，数学归纳法(第一或反向归纳)、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等
用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。
引理：设a≥0，b≥0，则(a+b)^n≥a^n+na^(n-1)b。
注：引理的正确性较明显，条件a≥0，b≥0可以弱化为a≥0，a+b≥0,有兴趣的同学可以想想如何证明(用数学归纳法)。
原题等价于：((a1+a2+…+an)/n)^n≥a1a2…an。
当n=2时易证;
假设当n=k时命题成立，即
((a1+a2+…+ak)/k)^k≥a1a2…ak。那么当n=k+1时，不妨设a(k+1)是a1，a2，…，a(k+1)中最大者，则
ka(k+1)≥a1+a2+…+ak。
设s=a1+a2+…+ak，{/(k+1)}^(k+1)
={s/k+/}^(k+1)
≥(s/k)^(k+1)+(k+1)(s/k)^k/k(k+1)用引理
=(s/k)^k*a(k+1)
≥a1a2…a(k+1)。用归纳假设
下面介绍个好理解的方法
琴生不等式法
琴生不等式：上凸函数f(x)，x1,x2,...xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点，则有：f≥1/n*
设f(x)=lnx，f(x)为上凸增函数
所以，ln≥1/n*=ln
即(x1+x2+...+xn)/n≥(x1*x2*...*xn)^(1/n)
在圆中用射影定理证明(半径不小于半弦)。
均值不等式归纳法证明 均值不等式的证明数学归纳法篇四均值不等式的证明
设a1,a2,a3...an是n个正实数，求证(a1+a2+a3+...+an)/n≥n次√(a1*a2*a3*...*an).要简单的详细过程，谢谢！！
你会用到均值不等式推广的证明，估计是搞竞赛的把
对n做反向数学归纳法
首先
归纳n=2^k的情况
k=1。。
k成立k+1。。
这些都很简单的用a+b>=√(ab)可以证明得到
关键是下面的反向数学归纳法
如果n成立对n-1，你令an=(n-1)次√(a1a2...a(n-1)
然后代到已经成立的n的式子里，整理下就可以得到n-1也成立。
所以得证
n=2^k中k是什么范围
k是正整数
第一步先去归纳2，4，8，16，32...这种2的k次方的数
一般的数学归纳法是知道n成立时，去证明比n大的时候也成立。
而反向数学归纳法是在知道n成立的前提下，对比n小的数进行归纳，指“平方平均”大于“算术平均”大于“几何平均”大于“调和平均”
我记得好像有两种几何证法，一种三角证法，一种代数证法。
请赐教!
sqrt{}≥(a1+a2+..an)/n≥n次根号(a1a2a3..an)≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an)
证明：
(((a1)^2+(a2)^2+..(an)^2)/n)≥(a1+a2+..an)/n
两边平方,即证((a1)^2+(a2)^2+..(an)^2)≥(a1+a2+..an)^2/n
(1)如果你知道柯西不等式的一个变式，直接代入就可以了：
柯西不等式变式：
a1^2/b1+a2^2/b2+...an^2/bn≥(a1+a2+...an)^2/(b1+b2...+bn)
当且仅当a1/b1=a2/b2=...=an/bn是等号成立
只要令b1=b2=...=bn=1，代入即可
(2)柯西不等式
(a1^2+a2^2+...an^2)*(b1+b2...+bn)≥(a1b1+a2b2+...anbn)^2
2.(a1+a2+..an)/n≥n次根号(a1a2a3..an)
(1)琴生不等式:若f(x)在定义域内是凸函数，则nf((x1+x2+...xn)/n)≥f(x1)+f(x2)+...f(xn)
令f(x)=lgx显然，lgx在定义域内是凸函数
nf((x1+x2+...xn)/n)=nlg≥
f(x1)+f(x2)+...f(xn)=lga1+lga2+lga3...lgan=lga1*a2..an
也即lg≥1/n(lga1a2a3...an)=lg(a1a2a...an)^(1/n)=lgn次根号(a1a2..an)
f(x)在定义域内单调递增，所以(a1+a2+..an)/n≥n次根号(a1a2..an)
(2)原不等式即证：a1^n+a2^n+...an^n≥na1a2a3...an
先证明a^n+b^n≥a^(n-1)b+b^(n-1)a做差(a-b)(a^(n-1)-b^(n-1))≥0
2*(a1^n+a2^n+...an^n)≥a1^(n-1)a2+a2^(n-1)a1+a2^(n-1)a3+a3^(n-1)a2...an^(n-1)a1+a1^a(n-1)an
=a2(a1^(n-1)+a3^(n-1))+a3(a2^(n-1)+a4^(n-1))...≥a2a1^(n-2)a3+a2a3^(n-2)a1+...≥...≥2na1a2...an
即a1^n+a2^n+...an^n≥na1a2a3...an
(3)数学归纳法:但要用到(1+x)^n>1+nx这个不等式，不予介绍
3.n次根号(a1a2a3..an)≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an)
原不等式即证：n次根号(a1a2a3..an)*(1/a1+1/a2+..+1/an)≥n
左边=n次根号+n次根号++n次根号+...n次根号
由2得和≥n*n次根号(它们的积)所以左边≥n*n次根号(1)=n
所以(a1a2a3..an)≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an)
证毕
特例：sqrt(a^2+b^2/2)≥(a+b)/2≥sqrt(ab)≥2/1/a+1/b
证明：
(a^2+b^2/2)≥(a+b)/2两边平方a^2+b^2≥(a+b)^2/4即证(a/2-b/2)^2≥0显然成立
2.(a+b)/2≥sqrt(ab)移项即证(sqrt(a)-sqrt(b))≥0显然成立
此不等式中a+b可以表示一条直径的两部分，(a+b)/2=rsqrt(ab)就是垂直于直径的弦，而r≥弦的一半
(ab)≥2/1/a+1/b两边同时乘上1/a+1/b即证sqrt(ab)*(1/a+1/b)≥2
而sqrt(ab)*(1/a+1/b)=sqrt(a/b)+sqrt(b/a)≥2。
均值不等式归纳法证明 均值不等式的证明数学归纳法篇五
用均值不等式证明不等式
【摘要】：不等式的证明在竞赛数学中占有重要地位．本文介绍了用均值不等式证明几个不等式，我们在证明不等式时，常用到均值不等式。要求我们要认真分析题目，本文通过几个国内外竞赛数学的试题，介绍用均值不等式证明初等不等式的基本方法及技巧。
【关键词】：均值不等式；不等式；方法；技巧
均值不等式
设 a1、a2、、an 是 n 个 正数，则不等式h(a)g(a)a(a)q(a)称为均值不等式[1]．其中
h(a)
n
1a
11a
2
1an，g(a)
a1a2a1aan，a(n)
a1a2an
n
22，2
q(n)
a1a2an
n
、an 的调和不等式，几何平均值，算术平均值，均方根平均分别称为 a1、a2、值．
例1设a1、a2、…、an均为正，记
(n)n（a1a2an
n
a1a2an)
试证：(n)(n1)，并求等号成立的条件．
证明由所设条件，得
(n)(n1)
=n（a1a2an
n
n
a1a2an)(n1)（a1a2an
1n1
n1
a1a2an1)
=a1a2annna1a2an(a1a2an1)(n1)n1a1a2an1
=an(n1)(a1a2an1)n1n(a1a2an)n，n1
(a1a2an1)n1，有 将g(a)a(a)应用于n个正数：an，（a1a2an1）
n1个
an(n1)(a1a2an1)n1
n
(a1a2an)n，即
an(n1)(a1a2an1)n1n(a1a2an)n．
所以(n)(n1)，当且仅当an(a1a2an1)立．
n1，即ann1a1a2an时等号成1
此题不只是公式的直接应用．代表了均值不等式中需要挖掘信
、an 的一类题． 息找a1、a2、例2设xyz0，求证：6(x3y3z3)2(x2y2z2)3． 证明当xyz0时不等式显然成立．
除此情况外，x、y、z中至少有一正一负．不妨设xy0，因为
z(xy)，所以
i6(xyz)6[xy(xy)]6[3xy(xy)]54xyz
．
若由此直接用g(a)a(a)(n3)，只能得到较粗糙的不等式
i54xyz54（xyz
2)2(xyz)，3222
3如果改用下面的方法，用g(a)a(a)，便得
i54xyz
222
216
xy2
xy2
z
xyxy2z
(2z22xy)3，2163
再注意到x2y2(xy)22xyz22xy，因而2z22xyx2y2z2，于是即得欲证的不等式．
此题解题的关键在于构造a1、a2、、an通常需要拓宽思路多次尝试，此类也属均值不等式的常考类题． 例3设x0，证明：2
x
2
x
22
x
．(第16届全苏数学竞赛试题[2])
证明此不等式的外形有点像均值不等式． 由g(a)a(a)，得
x2
x
x
2
x
22
x
2
x
22，又
x2
x
1111
(x12x4)2x6，即得要证的不等式．
结语
有些不等式则可以利用某个已经证明成立的不等式来证明(因此多熟悉几个比较常见的不等式是有好处的)；有些不等式还要用数学归纳法来证明等等．而且在一个题目的证明过程中，也往往不止应用一种方法，而需要灵活运用各种方法．因此，要培养和提高自己的证题能力。
参考文献
[1]陈传理等编．数学竞赛教程 [m]．北京：高等教育出版设，1996，(10)：
133-134．
[2]常庚哲等编．高中数学竞赛辅导讲座[m]．上海：上海科学技术出版社，1987．38-49
