" 【摘要】数学研究性学习是学生在数学及相关学科教师的群体性指导下，运用类似于数学研究的思想与方法去获取和应用数学知识的一种学习方式。在这一学习活动中，教师作为学生的群体性“指导者”、潜能的“挖掘者”、研究的“合作伙伴”的新型师生关系，现代科学技术手段所构建起的人脑加电脑的新型学习机制，以及以数学建模和数学实验过程所架设起的联系数学理论与实际生活的“桥梁”，将使数学研究性学习既实现再现数学知识产生、发现与发展的历史轨迹，又从理论上与实践上真正切入到 2 1世纪的发展轨道。
【关键词】数学研究性学习；数学研究；师生关系；学习内容
“研究性学习”已经逐步成为学校教育中科学、系统地培养学生创造力而实施的一种崭新的教学模式，引起了教育界和全社会的广泛关注，成为当前基础教育改革的热点。“研究性学习”教育模式的核心教育观念就在于“要让学生感受、理解知识产生和发展的过程”，以达到培养学生的科学精神和创新思维习惯，培养学生收集处理信息的能力，获取新知识的能力，分析和解决问题的能力，语言文字表达能力以及团结协作和社会活动能力的目的。近年来的基础教育改革实践表明，“研究性学习”已促使课堂教学在落实科学精神和创新能力培养方面取得了重要进展，这对于推进我国基础教育的改革深化，全面实施素质教育，有着十分重要的理论和实践意义。
1 数学研究性学习的内涵
数学研究性学习是指学生在数学教师或相关学科教师的指导下，从某些数学问题以及其它学科或实践生活中出现的问题中选择并确定研究性课题，运用类似于数学学科的科学研究方法去获取和应用数学知识，从而在掌握数学知识的同时，体验、理解、掌握和应用数学学科的研究方法，培养科学精神，发展科研能力的一种学习方式。可见，数学研究性学习是一种以学生为主体的积极学习活动过程，是学生在数学教学活动中去自主选择研究学习课题，亲身去发现、提出、探究和解决数学问题的探索性学习方式。
“运用类似于数学学科的科学研究方法并获取和应用数学知识”表明了数学研究性学习的基本形式。在学习过程中，学生将模拟数学家或数学爱好者的数学研究方法，“再现”数学研究及应用的过程，其实质就是学生对数学学科科学研究的思维方式和研究方法的学习与运用，通过这样一种基本形式和手段，培养学生科学的创造精神、求实精神、革新精神、自由精神、审美精神以及利用科学造福于人类的精神。在这种类似于数学学科的科学研究方法和研究过程的“模仿”、“运用”和“再现”中，学生不仅看到了客观世界中的数学神奇和实际生活中的数学美丽，更为重要的是学生的能力、毅力、科学精神、协作意识等综合素质得到了培养，在实践中找到了自己，在探索中塑造了人格，在创新中发现了自我。这种在学习活动过程中对数学学科科学研究的“模仿”、“运用”和“再现”，正是数学研究性学习所具有的最基本的本质性特征。
“学生在数学教师或相关学科教师的指导下”表明了学习活动中师生间的相互基本关系，说明了数学研究性学习是在学校教育与班级教学的整体环境中进行的。在学习过程中，学生需要来自于教师的“指导”和“帮助”。教师的主要职责是创设一种有利于数学研究性学习的情景和途径。教师的权威不再建立在学生的被动与无知的基础上，而是建立在教师借助学生的积极参与以促进其充分发展的能力之上。数学研究性学习将促使学生摆脱被动、封闭的学习环境的禁锢，主动积极地去探索、尝试并谋求个体创造潜能的充分发挥。在整个学习过程中，教师只需适度参与，重点是在组织、评价和总体指导等环节上发挥主导作用。教师的指导要面向每一位学生的主动性和探索性的数学研究性活动，所创设的数学学习情景和所提供的背景素材要能够引起不同层面的全体学生的主动思考，激发学生之间、师生之间的积极交流。这种在学习活动中，由学生的主动性和自主性以及教师参与的适度性和指导性所形成的师生关系，促成了学生自由奔放和新颖想象力的展开，营造了一种“无拘无束的氛围”和“自由呼吸”的空间，使学生的创造潜能得以充分释放。
“在掌握数学知识的同时，体验、理解和应用数学学科的研究方法”表明了学习的基本内容。从认知心理学的角度来看，数学学习可以分为三个层次：一是数学概念的学习，以了解数学对象的本质属性；二是数学命题的学习，以明确数学概念与数学概念之间的逻辑联系；三是数学问题解决的学习，即运用数学概念和数学命题解决数学问题。数学研究性学习主要是第三层意义上的学习，其目的就在于发展学生运用数学知识去发现数学问题和解决数学问题的能力，这正是数学研究性学习与一般的数学知识与技能学习的根本区别。数学研究性学习所采用的是问题解决的形式，让学生经历在不同的实际背景中去发现数学问题，寻找解决数学问题的策略，实施对数学问题的求解以及检验、论证与交流自己所获得的研究结论，推广数学问题的解等主动性活动。“数学问题”是数学研究性学习的主要载体，其知识来源是多方面的、多渠道的，这些问题的背景材料可以是老师提供的，也可以完全是学生自己选择和确定的；可以是数学教学内容的拓展延伸，也可是对各种自然和社会现象的探究；可以是纯思辩性的教学素材，也可以是实践性操作类的；可以是已经证明了的数学结论，也可以是未知的知识领域。数学研究性学习将彻底打破以问题为起点，以结论为终点，即“问题—解答—结论”的封闭式数学教学模式，构建起“问题—探究—解答—结论—问题—探究……”的开放式的数学教学模式，打破囿于学校、囿于教室的教育空间概念，促进课堂向实践延伸，向社会延伸，向大自然延伸。在数学研究性学习的过程中，学生会面临各种实际背景材料、涉及多方面的知识，这些知识的选择、积累和运用完全以数学问题为中心，呈现横向的相互交叉状态。数学研究性学习正是以“数学实践”与“数学创造”为指向的学习形式，是获取“知识”与培育“智慧”的辩证过程。
2 数学研究性学习的实质
Ｇ·波利亚在他的数学名著《数学与猜想》中指出：“对于正积极搞研究的数学家来说，数学也许往往像是猜想游戏：在你证明一个数学定理之前，你必须猜想到这个定理，在你搞清楚证明细节之前，你必须先猜想出证明的主导思想。”他还说：“数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明，但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的。只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话，那么就应当让猜测、合情推理占有适当的位置。”由此可见，数学研究就是一个以合情推理为手段的猜想过程。难怪Ｇ·波利亚要“向教授所有班级的数学教师们呼吁：让我们教猜想吧 !”尽管上述这些观点是从数学理论的角度来解释的，但同样也适宜于其它学科或实践生活中产生的数学问题的研究，适宜于数学应用的研究。从科学教育标准的角度来说，以合情推理为前提的数学猜想活动过程中的“研究是多层面的活动，包括观察；提出问题；通过游览书籍和其它信息资源发现什么是已经知道的结论，制定调查研究计划；根据实验数据证明对已有的结论作出评价；用工具收集、分析、解释数据；提出解答、解释和预测以及交流结果。研究要求确定假设，进行批判的和逻辑的思考，并且考虑其它可以替代的解释。”简言之，数学研究就是以观察和实验为直观依据，以合情推理为猜想手段，以提出数学问题和解决数学问题为目标的心智活动过程。
在计算机产生以前，数学研究模式可以简单地概括为“一支笔，一堆纸”，而数学的应用主要是通过间接方式，数学是作为自然科学的基本语言和基本工具，来" 表达和推理技术原理的。计算机的诞生使数学直接应用于人们改造物质世界的活动中去。数学的应用正迅速地向一切领域渗透，或者说各行各业日益依赖于数学，2 1世纪的世界正是日益数字化的世界，数学的应用更加广泛和直接。数学的应用直接活跃于生产力的第一线，促进着技术和经济的发展，改善着人们对数学学科的传统认识。计算机的产生和发展给数学研究带来了无限生机，“一支笔，一堆纸”式的数学研究模式已经逐步成为历史的过去，代之而来的是数学学科和计算机技术相结合的现代化的可视性数学研究。因此，从这层意义上来说，现代意义上的数学研究可以简略地理解为从所考察的研究对象出发，运算计算机技术进行观察和实验，以所得到的可视性数据为直观依据，以合情推理为猜想手段，以提出数学问题和解决数学问题为追求目标的心智活动过程。数学研究性学习的实质就是要体现这种人脑加电脑的心智活动过程，突出学习者对数学学科的思维方式和研究方法的学习和运用。计算机技术手段应该成为数学研究性学习活动的重要基本研究形式，通过这样一种基本形式和手段，要让学生
感受，理解数学知识产生、发展和应用的过程，以培养学生的创新能力和实践精神。当然，从研究过程来说，中小学生的研究大多数并不具备严格意义上的数学研究的严谨性和规范性，也并不一定完全再现历史发现的真实过程，但从研究结果来看，一般是数学学科已有研究成果的一种“再发现”。在这种“再发现”的数学研究性学习过程中，学生不仅要模拟传统的数学研究方法和研究过程，而且应更多地体现出计算机科学与技术在数学研究中脑力延伸的价值，加速完成数学知识“再发现”的过程，促进学生迅速掌握现代化技术手段，构建起人脑加电脑式的研究性学习机制，以适应 2 1世纪创新人才培养的需要。
3 数学研究性学习的师生关系
应该看到，在科学技术飞速发展的 2 1世纪，作为整个科学技术基础的数学，已在突破传统的范围而向人类的一切知识领域渗透。数学正在各个学科领域中发挥越来越重要的作用，日益数学化的趋势已经显示出数学创新的巨大魅力。正因为如此，数学研究性学习不再仅仅是数学教师的个体性指导，而更多的是相关学科教师相互协作的群体性指导，学生可以地理老师讨论居住环境，与生物老师讨论生态平衡，等等，灵活地应用数学理论知识去揭示大自然的奥秘，揭示人类社会发展的规律。教师群体性指导与学生群体性探索构成了一个具有实践性、应用性、体验性、综合性、多元性、自主性、协作性、动态性、开放性、过程性等特征的数学研究性学习系统。在这个学习系统中，所倡导的主要学习方式为“学生的自主性与协作性活动”，不是简单的模仿，更不是单纯的推理和演算，而是以学生的“自由选题、自主探究和自发创造”为宗旨。在研究现象、发现问题、解决问题的过程中，学生始终处于主体地位。他们通过切身的体验和实践，突破原有的数学学科的封闭状态，挖掘校园以外的学习资源，以及与教师和同学间的交流等活动去从事有关数学知识的学习，提出有思考价值的数学问题，在较为复杂的情景中应用数学知识去解决实际问题，并从中获取新知。
在数学研究性学习活动中，教师不仅是指导者，还应是学生潜在智力的挖掘者。对于同一个研究性背景材料，由于每一个学生所考察的侧重点、简化问题的过程，运用的数学知识不尽相同，会得到不同的研究结果和处理方法。教师要善于从中去发现学生瞬间的点滴顿悟或灵感，那怕是很不成熟的认识，甚至是有悖于常理的看法，都要给予他们以充分的肯定和赞扬。教师要在赞扬每一个学生瞬间的思想火花中进行深入的指导，使他们在有朝一日能在光芒四射的瞬间去创造未来。面对一个个新颖的实际课题，不仅是学生要学习，要探究、要思考，教师也会面临新问题。因此，在更多的时候，教师往往是学生研究性学习的合作伙伴。教师和学生处于同一起跑线上，共同去进行方案设计、模拟实验操作、社会调查，互相学习，取长补短，取得高质量的研究成果。在数学研究性学习活动中，教师作为群体性的“指导者”、“挖掘者”、“合作伙伴”确定了一种新型的师生关系，无疑是信息时代对学校教育要求的体现，这种师生关系增强了学生的自信心和尊严感，充分调动了学生的学习积极性，使他们从中体验从事科学研究的艰辛，去品尝成功的喜悦。
4 数学研究性学习题材的选取
数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学，它具有严谨的逻辑性、高度的抽象性和应用的广泛性，因此有人称，数学处于人类智能的中心领域。要在数学研究性学习活动中充分发挥数学的智能中心作用，发展学生的智力，培养学生的能力，数学研究性背景素材的选取也是至关重要的。从基础教育培养目标的界定及其教育规律来看，一方面，并非传统意义上的内容都能够选作数学研究性学习内容的背景素材；另一方面，也并非校园以外的实践性资源都可以作为数学研究性学习的探究对象。
首先，数学研究性学习的背景素材的选取要有利于数学基础知识、基本技能的掌握和基本能力的提高。要充分地注意到，基础教育是中小学生一生长知识，打基础的重要阶段，数学知识与技能训练是他们成长所必须的。在数学研究性学习中，“研究”不是目的，只是完成基础教育的一种手段。开展数学研究性学习并不是要取代已有的学习方式，而是一种学习的补充。同时，数学研究性学习依赖于数学以及其它各学科的教学质量，数学及各个学科的教学是开展数学研究性学习的基础。不具备一定的数学基础知识、基本技能和基本能力，开展数学研究性学习也就无从谈起。没有知识基础的“创造才能”是无源之水、无本之木。要在数学研究性学习中有所发现，就必须从基础知识入手，从学习科学更新知识入手。在其他条件相同的情况下，知识基础越丰厚牢固，科学创新的可能性就越大，独创的见解就更深刻。当然，获取数学知识的目的是为了应用，为了创新，学会实际动手操作更是数学研究性学习的重要内容，也是与一般数学知识学习的基本区别。在数学研究性学习活动中，积累知识也不能光靠书本，教师要善于诱导学生去“阅读”大自然和人类社会这两部永恒的、没有页码的大百科全书，促使他们努力在知识的博、深、精、活上下功夫。
其次，数学研究性学习的背景素材的选取要有利于引起学生探究的兴趣和欲望。数学研究性学习是建立在学生自主与主动活动的基础之上，所倡导的主要学习方式为学生的自主性与合作性活动，其教学目标的实现完全取决于学生是否都能主动地投入到数学探究性活动中去，而这一点在很大程度上依赖于数学研究性学习的背景素材是否能引起学生的探究兴趣和欲望。在研究各种背景素材解决数学问题的过程中，兴趣是最好的老师，浓厚的学习兴趣与探究问题的欲望是学生深入调查研究、艰辛探索寻觅、顽强拼搏创新的动力。在强烈的兴趣与探究欲望的驱动下，学生通过展现自我认知风格，表现自身价值的多样性学习活动中，逐渐学会思考、交流、理解与应用数学，经历困惑与挫折，体验“愤”与“悱”，品尝失败与成功的苦与甜。可见，数学研究性学习的教育价值决不在于让学生学会解决几个数学问题，而在于以兴趣感和欲望感去塑造学生的个性品质，培养学生的创新能力，促进学生认知结构的全面发展。
第三，数学研究性学习的背景素材的选择要有利于数学知识体系内部及其与各学科间的联系以及数学模型的构建。作为数学研究性学习的背景素材，考察和研究它的基础是建立在学生已具备的数学知识和认知水平上的。同时，这一学习过程也并不是相应数学知识和方法的简单再现，而是学生获取新知，认知结构重新构建" 的活动过程。因此，数学研究性学习的背景素材就必须潜在地包含数学学科和各学科的丰富知识以及其间的广泛联系。作为数学学科的研究和应用，理想的背景素材还应当有利于数学建模，并给计算机科学与技术的应用留下足够的空间，以适应现代化建设的发展需要。因为 2 1世纪培养的高质量、高层次人才不仅需要传统意义上的逻辑思维能力、推理演算能力，更需要具备对所涉及的专业问题建立数学模型、进行数学实验、利用先进的计算工具、数学软件进行数值求解，作出定量分析的能力。这也正是数学研究性学习的长远教育目标。
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