2023年分式教案(四篇)

作为一名默默奉献的教育工作者，通常需要用到教案来辅助教学，借助教案可以让教学工作更科学化。教案书写有哪些要求呢？我们怎样才能写好一篇教案呢？那么下面我就给大家讲一讲教案怎么写才比较好，我们一起来看一看吧。

分式教案篇一

上海市虹口高级中学

韩玺

一、教学内容分析

简单的分式不等式解法是高中数学不等式学习的一个基本内容.对一个不等式通过同解变形转化为熟悉的不等式是解不等式的一个重要方法.这两类不等式将在以后的数学学习中不断出现，所以需牢固掌握.二、教学目标设计

1、掌握简单的分式不等式的解法.2、体会化归、等价转换的数学思想方法.三、教学重点及难点

重点 简单的分式不等式的解法.难点 不等式的同解变形.四、教学过程设计

一、分式不等式的解法

1、引入

某地铁上，甲乙两人为了赶乘地铁，分别从楼梯和运行中的自动扶梯上楼（楼梯和自动扶梯长度相同），如果甲的上楼速度是乙的2倍，他俩同时上楼，且甲比乙早到楼上，问甲的速度至少是自动扶梯运行速度的几倍.设楼梯的长度为s，甲的速度为v，自动扶梯的运行速度为v0.于是甲上楼所需时间为

s，乙上楼所需时间为vsvv02.由题意，得ss.vvv02整理的12.v2v0v

由于此处速度为正值，因此上式可化为2v0v2v，即v2v0.所以，甲的速度应大于自动扶梯运行速度的2倍.2、分式不等式的解法 例1 解不等式：x12.3x2 1

解：（化分式不等式为一元一次不等式组）

5x1x1x1x12200 03x23x23x23x2x1x1x10x102x1或x不或或2233x203x20xx33存在.所以，原不等式的解集为22,1，即解集为,1.33注意到

x103x2x103x20或x103x2x10，可以简化上述解法.3x20另解：（利用两数的商与积同号（为一元二次不等式）

aa0ab0，0ab0）化bb5x1x1x1x12200 03x23x23x23x23x2x1022x1，所以，原不等式的解集为,1.33由例1我们可以得到分式不等式的求解通法：

（1）不要轻易去分母，可以移项通分，使得不等号的右边为零.（2）利用两数的商与积同号，化为一元二次不等式求解.一般地，分式不等式分为两类：

fx（1）； 0（0）fxgx0（0）gx（2）

fxfxgx00.0（0）gxgx0 2

[说明]

解不等式中的每一步往往要求“等价”，即同解变形，否则所得的解集或“增”或“漏”.由于不等式的解集常为无限集，所以很难像解无理方程那样，对解进行检验，因此同解变形就显得尤为重要.例2 解下列不等式

x10.x523.（2）35xx82.（3）2x2x3x10x1x501x5，解（1）原不等式x5（1）所以，原不等式的解集为1,5.（2）原不等式215x715x73000 35x35x5x315x75x305x3037x155x3573x，155所以，原不等式的解集为73,1552.2（3）分母：x2x3x1110，则

原不2等式x822xxx23x4x 2x226x2或x1,2,.21，所以，原不等式的解集为2 3

例3 当m为何值时，关于x的不等式mx13x2的解是（1）正数？

（2）是负数？

解：mx13x2 m3xm6（*）当m3时，（*）0x9x不存在.当m3时，（*）x（1）原

m6.m3方

程的解

为

正

数x（m60(mm3）原

方

m6程

)m6或m3.的解

为

负

数2xm60(mm3m6)6m3.所以，当m,63,时，原方程的解为正数.当m6,3时，原方程的解为负数.四、作业布置

选用练习2.3（1）（2）、习题2.3中的部分练习.五、课后反思

解分式不等式关键在于同解变形.通过同解变形将其转化为熟悉的不等式来加以解决，这种通过等价变形变“未知”为“已知”的解决问题的方法是教学的重点也是难点，需在课堂教学中有所强调.整个教学内容需让学生共同参与，特别是在“同解变形”这一点上，应在学生思考、讨论的基础上教师、学生共同进行归纳小结.

分式教案篇二

《 9.3分式的乘除法（1约分）》教案

教学目标

1．使学生明确分式的约分概念和理论依据，掌握约分方法；

2．通过与分数的约分作比较，学习分式的约分，渗透“类比”的思想方法．

教学重点和难点

重点：分式约分的方法．

难点：分式约分时分式的分子或分母中的因式的符号变化．

教学过程设计

一、导入新课

问：下面的等式中右式是怎样从左式得到的？这种变换的理论根据是什么？

答：(1)式中的左边分式的分子与分母都除以2a2b2，得到右式，这里a≠0，b≠0．(2)式中的左边分式的分子与分母都除以(x+y)，得到右式，这里(x+y)≠0．这种变换的根据是分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．

本性质．

问：什么是分数的约分？约分的方法是什么？约分的目的是什么？

答：把一个分数化为与它相等，但是分子、分母都比较小的分数，这种运算叫做约分．对于一个分数进行约分的方法是：把分子、分母都除以它们的公约数(1除外)．约分的目的是把一个分数化为既约分数．分式的约分和分数的约分类似，下面讨论分式的约分．

二、新课

我们观察：

(1)中左式变为右式，是把左式中的分子与分母都除以2a2b2得到的，它是分式的分子与分母的公因式．

(2)中左式变为右式，是把左式中的分子与分母都除以它们的公因式(x+y)而得到的．

第1页

像(1)，(2)中分式的运算就是分式的约分．即把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．

一个分式的分子与分母没有公因式时，这个分式叫做最简分式．

把一个分式进行约分的目的，是使这个分式变为最简分式．

为了把上述分式约分，应该先确定分式的分子与分母的公因式，那么分式的分子与分母的公因式是什么？

答：因为分式的分子与分母都是单项式，取分子、分母中相同因式的最低次幂和分子、分母的系数的最大公约数，把它们的积作为这个分式的分子与分母的公因式．

指出：分子或分母的系数是负数时，一般先把负号移到分式本身的前边．这就同时改变了分式本身与分子或分母的符号，所以分式的值不变．

例2 约分：

分析：(1)，(2)的分子、分母都是多项式，并且都能分解因式，可以先分解因式，再分别确定分子与分母的公因式．

请同学说出解题思路．

答：分式的分子、分母都是多项式，可以先分别因式分解，约分，把分式化为最简分式，再求值．

当x=45时，请同学概括分式约分的步骤．

第2页

答：

1．如果分式的分子、分母是单项式，约去分子、分母的系数的最大公约数和相同因式的最低次幂．

2．如果分式的分子与分母都是多项式时，可先把分子、分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．

3．当分式的分子或分母的系数是负数时，应先把负号提到分式的前边．

请同学思考一个问题：将分式约分时，约去分式中的分子与分母的公因式，为什么分式的值不变？

答：因为所给的分式都是有意义的，也就是说，分母的值不等于零．而分式的分子与分母的公因式一定是分式的分母的一个因式，根据分式的基本性质，约分后分式的值不变．

三、课堂练习

1．约分：

2．指出下列分式运算中的错误，并把它改正．

四、小结

把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．

分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式．

如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式．如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分．

分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如

x-y＝-(y-x)，(x-y)2＝(y-x)2，(x-y)3＝-(y-x)3．

五、作业

1．约分：

第3页

2．约分：

3．先约分，再求值：

4页

第

分式教案篇三

分式的概念: 一般的，用a,b表示两个整式，ab就可以表示成式子abab的形式．如果b中含有字母，就叫做分式．其中，a叫做分式的分子，b叫做分式的分母.分式和整式通称为有理式．

注意：

(1)分母中含有字母是分式的一个重要标志，它是分式与分数、整式的根本区别；(2)分式的分母的值也不能等于零．若分母的值为零，则分式无意义；(3)当分子等于零而分母不等于零时，分式的值才是零．

分式的相关概念：

把一个分式的分子与分母的公因式约去，把分式化成最简分式，叫做分式的约分． 一个分式约分的方法是：当分子、分母是单项式时，直接约分；当分子、分母是多项式时，把分式的分子和分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．

一个分式的分子和分母没有公因式时，叫做最简分式，也叫既约分式．

把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分． 取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．

分式的基本性质：

分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示是：

分式的变号法则：

分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．如：

abababababambmambm(其中m是不等于零的整式)．

．

分式的运算法则

1、分式的乘除法则：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子表示是：

abcdacbd；

abcdabdcadbc．

2、分式的乘方法则：分式乘方是把分子、分母各自乘方．用式子表示是：

abnabnn(n为整数)．

3、分式的加减法则：

①同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．用式子表示是：

acbcabc；

②异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减．用式子表示是：

abcdadbcbd．

例、计算x2x1x4x3x6x5x8x7．

分析：对于这道题，一般采用直接通分后相加、减的方法，显然较繁，注意观察到此题的每个分式的分子都是一个二项式，并且每个分子都是分母与1的和，所以可以采取“裂项法” ．

解：原式x11x1x31x3x51x5x71x7

1111111 x1x3x5x711 x3x5x711 1x1 2x1x3x5x7x1x3x5x72

2x5x72x1x3

分式教案篇四

第1章分式

1．1分式

第1课时分式

1．理解分式的定义，能够根据定义判断一个式子是否是分式．

2．能写出分式存在的条件，会求分式的值为0时字母的取值范围．(重难点)

3．能根据字母的取值求分式的值．(重点)

4．能用分式表示现实情境中的数量关系．(重点)

知识模块一分式的概念

【合作探究】

教材p2动脑筋．

代数式，有什么共同点？

归纳：分式的概念：一般地，如果一个整式f除以一个非零整式g(g中含有__字母__)，所得商叫作分式，其中f是分式的分子，g是分式的分母，g≠0.【自主学习】

下列式子中是分式的有：__②⑥⑦__．

①；②；③；④3x2；⑤；⑥4x＋；

⑦－.知识模块二分式存在以及分式的值为0的条件

【自主学习】

阅读教材p3例1和例2.【合作探究】

当x取什么值时，分式的值：(1)不存在；(2)等于0?

解：(1)当分母x－2＝0时，即x＝2时，分式的值不存在；(2)当分子x＋1＝0，即x＝－1时，分式的值等于＝0.归纳：分式存在的条件是__g≠0__；分式不存在的条件是__g＝0__．分式的值为0的条件是__f＝0且g≠0__.练习：

求下列条件下分式的值．

(1)x＝3；(2)x＝－2.解：(1)当x＝3时，＝＝；

(2)当x＝－2时，＝＝.活动1小组讨论

例1列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是整式？哪些是分式？

(1)甲每小时做x个零件，他做80个零件需多少小时；

(2)轮船在静水中每小时走a千米，水流的速度是b千米/时，轮船的顺流速度是多少千米/时，轮船的逆流速度是多少千米/时；

(3)x与y的差除以4的商是多少．

解：(1)；分式．(2)a＋b，a－b；整式．(3)；整式．

例2当x取何值时，分式的值存在？当x取何值时，分式的值为零？

解：当的值存在时，x2－4≠0，即x≠±2；当的值为0时，有2x－5＝0且x2－4≠0，即x＝.【点拨】分式的值存在的条件：分式的分母不能为0，分式的值不存在的条件：分式的分母等于0.分式值为0的条件：分式的分子等于0，但分母不能等于0.分式的值为零一定是在有意义的条件下成立的．

活动2跟踪训练

1．下列各式中，哪些是分式？

①；②；③；④；⑤x2.解：①③是分式．

2．当x取何值时，分式的值存在．

解：3x－2≠0，即x≠时，存在．

3．求下列条件下分式的值．

(1)x＝1；(2)x＝－1.解：(1)当x＝1时，＝－；(2)当x＝－1时，＝－.活动3课堂小结

1．分式的定义及根据条件列分式．

2．分式的值存在的条件，以及分式值为0的条件．

第2课时分式的基本性质

1．理解并掌握分式的基本性质．(重点)

2．能运用分式的基本性质约分，并进行简单的求值运算．(重难点)

知识模块一分式的基本性质

【合作探究】

教材p4说一说．

填空，并说一说下列等式从左到右变形的依据．

(1)＝＝；(2)＝＝

与分数类似，＝，＝成立吗？

归纳：分式的分子与分母都乘__同一个非零整式__，所得分式与原分式__相等__．即对于分式，有＝(h≠0)．

【自主学习】

根据分式的基本性质填空：

(1)＝；(2)＝；

(3)＝

知识模块二分式的约分

【自主学习】

阅读教材p5例4，p6例5.【合作探究】

1.＝＝，公因数是__2__；＝＝，公因式是__4abc__．

2.＝＝

归纳：把一个分式的分子与分母的公因式约去(即分子与分母都除以它们的公因式)，叫作分式的约分．

像、这样，分式的分子分母没有__公因式__，这样的分式叫作最简分式．

练习：

1．约分．

(1)；

解：原式＝＝；

(2).解：原式＝＝.2．下面变形是否正确？为什么？如果不正确应该怎样改正？

＝.解：不正确．正确变形如下：＝＝.3．先约分，再求值：，其中m＝1，n＝3.解：＝＝.当m＝1，n＝3时，原式＝＝－.活动1小组讨论

例约分．

(1)；(2)；(3).解：(1)＝－；(2)＝；(3)＝＝.【点拨】约分的过程中注意完全平方式(a－b)2＝(b－a)2的应用．像(3)这样的分子分母是多项式，应先分解因式再约分．

活动2跟踪训练

1．约分．

(1)；(2).解：(1)＝；

(2)＝＝－.2．先约分，再求值．

(1)，其中m＝1，n＝2；

(2)，其中x＝2，y＝4.解：(1)＝＝＝1；

(2)＝＝＝＝－.活动3课堂小结

1．分数的基本性质．

2．约分、化简求值．

1.2分式的乘法和除法

第1课时分式的乘法和除法

1．理解分式的乘、除法运算法则．(重点)

2．会进行分式的乘除运算．(重难点)

知识模块一用类比思想探究分式乘除法运算法则

【合作探究】

类比分数的运算：(1)×；(2)÷(u≠0)怎样计算呢？

(1)·＝；(2)÷＝·＝.归纳：分式的乘除法法则．

__分式乘分式，把分子乘分子、分母乘分母分别作为积的分子、分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．__

【自主学习】

计算．

(1)·；(2)(x＋2)÷；

(3)·；(4)÷.解：(1)原式＝＝；

(2)原式＝(x＋2)·＝；

(3)原式＝；

(4)原式＝.知识模块二需要分解因式才能约分的分式乘除法

【自主学习】

阅读教材p9例2，学习解题方法．

【合作探究】

1．计算：(1)·；(2)÷(x－y)．

解：(1)原式＝·＝；

(2)原式＝·＝.2．先化简，再求值：÷·，其中a＝－1.解：原式＝··＝，当a＝－1时，原式＝＝1.活动1小组讨论

例1计算．

(1)·；(2)÷.解：(1)原式＝＝＝；

(2)原式＝·＝＝.例2计算．

(1)·；(2)÷.解：(1)原式＝·＝＝；

(2)原式＝·＝·＝＝.【点拨】整式与分式运算时，可以把整式看成分母是1的分式．注意变换过程中的符号．

活动2跟踪训练

1．计算：

(1)·；(2)÷8x2y；(3)－3xy÷.解：(1)原式＝＝；

(2)原式＝·＝＝；

(3)原式＝－3xy·＝－＝－.【点拨】(2)和(3)要把除法转换成乘法运算，然后约分，运算结果要化为最简分式．

2．计算：

(1)÷；

(2)÷(x＋3)·.解：(1)原式＝·＝·＝＝；

(2)原式＝··＝··＝－.【点拨】分式的乘除要严格按法则运算，除法必须先换算成乘法，如果分式的分子或分母是多项式，那么就把分子或分母分解因式，然后约分，化成最简分式．运算过程一定要注意符号．

活动3课堂小结

1．分式的乘、除法运算法则．

2．分式的乘、除法运算法则的运用．

第2课时分式的乘方

1．理解分式乘方的运算法则．(重点)

2．熟练地进行分式乘方及乘、除、乘方混合运算．(重难点)

知识模块一探究分式乘方法则

【合作探究】

教材p10做一做．

1．()2＝×＝；()3＝××＝

2．类比分数的乘方计算．

()2＝×＝，()3＝××＝，()10呢？

归纳：()n＝×××……×,＼s＼do4(n个))＝.(其中n为正整数)

即：分式的乘方就是把__分子、分母分别乘方__．

【自主学习】

1．计算：

(1)()4；(2)()3.解：(1)原式＝＝；

(2)原式＝＝.2．判断下列各式是否成立，并改正：

(1)()2＝；错，；

(2)()2＝；错，；

(3)()3＝；错，－；

(4)()2＝.错，.知识模块二分式的乘除、乘方混合运算

【自主学习】

阅读教材p10例4，注意计算过程．

【合作探究】

计算：

(1)()2·()3；

(2)()4·()3÷()5.解：(1)原式＝·(－)＝－；

(2)原式＝··(－)＝－.活动1小组讨论

例1计算：

(1)()3；(2)()3.解：(1)()3＝；(2)()3＝＝

【点拨】分式的乘方运算将分式的分子、分母分别乘方，再根据幂的乘方进行运算．

例2计算：

(1)m3n2÷()3；(2)(－)2÷()3·()3.解：(1)m3n2÷()3＝m3n2÷＝m3n2·＝n5；

(2)(－)2÷()3·()3＝÷·＝··＝.【点拨】分式混合运算，要注意：(1)化除法为乘法；(2)分式的乘方；(3)约分化简成最简分式．

活动2跟踪训练

1．计算：

(1)·÷；

(2)÷·；

(3)()2÷(a－1)·.解：(1)原式＝··＝；

(2)原式＝··＝－；

(3)原式＝··＝.2．计算．

(1)()3；(2)()2÷·()3.解：(1)原式＝＝－；

(2)原式＝··＝－.3．化简求值：÷()2·，其中a＝，b＝－3.解：化简结果是ab，求值结果为－.【点拨】化简过程中注意“－”．化简中，乘除混合运算顺序要从左到右．

活动3课堂小结

1．分式乘方的运算．

2．分式乘除法及乘方的运算方法．

1.3整数指数幂

1．3.1同底数幂的除法

1．理解同底数幂的除法法则．(重点)

2．熟练进行同底数幂的除法运算．(重难点)

知识模块一探究同底数幂的除法法则

【合作探究】

教材p14动脑筋．

怎样计算呢？＝＝(210)．类似地，设a≠0，m，n是正整数，且m>n，则＝＝(am－n)．

归纳：同底数幂相除，底数__不变__，指数__相减__．

【自主学习】

1．阅读教材p15例1.2．计算：

(1)(－)15÷(－)12；(2)；

(3)(m是正整数)．

解：(1)原式＝(－)15－12＝(－)3＝－；

(2)原式＝(－x2y)7－4＝(－x2y)3＝－x6y3；

(3)原式＝a2m－1－m＝am－1.知识模块二底数是多项式的同底数幂的除法运算

【自主学习】

阅读教材p15例2.【合作探究】

1．计算：(1)(a＋b＋1)4÷(a＋b＋1)3；

(2)(a－b)5÷(b－a)3.解：(1)原式＝(a＋b＋1)4－3＝a＋b＋1；

(2)原式＝(a－b)5÷[－(a－b)3]＝－(a－b)2.2．已知xa＝32，xb＝4，求xa－b的值．

解：因为xa＝32，xb＝4，所以xa－b＝xa÷xb＝32÷4＝8.3．化简求值．

(2x－y)13÷[(2x－y)3]2÷[(y－2x)2]3，其中x＝2，y＝－1.解：原式＝(2x－y)13÷(2x－y)6÷(2x－y)6＝(2x－y)，当x＝2，y＝－1时，原式＝2×2－(－1)＝5.活动1小组讨论

例1计算：

(1)；(2).解：(1)＝－x5－3＝－x2；

(2)＝＝－x3y3.例2计算：(x－y)6÷(y－x)3÷(x－y)．

解：原式＝(x－y)6÷[－(x－y)]3÷(x－y)＝－(x－y)6－3－1＝－(x－y)2.活动2跟踪训练

1．计算：

(1)；(2)；

解：(1)原式＝a3；(2)原式＝1.2．计算：(p－q)4÷(q－p)3·(p－q)2.解：原式＝(p－q)4÷[－(p－q)3]·(p－q)2＝－(p－q)·(p－q)2＝－(p－q)3.活动3课堂小结

同底数幂的除法的运算．

1．3.2零次幂和负整数指数幂

1．理解零次幂和整数指数幂的运算性质，并能解决一些实际问题．(重难点)

2．理解零指数幂和负整数指数幂的意义．(重点)

3．负整数指数幂在科学记数法中的应用．(重难点)．

知识模块一零次幂的意义

【合作探究】

教材p16说一说．

计算：82÷82＝__1__，103÷103＝__1__，am÷am＝__1__．又因为＝am－m＝a0，这启发我们规定．

归纳：a0＝1(a≠0)，即任何不等于零的数的零次幂都等于__1__．

【自主学习】

填空：70＝__1__，(－13)0＝__1__，()0＝__1__，(π－3)0＝__1__．

知识模块二负整数指数幂

【合作探究】

教材p17动脑筋．

在am÷an中，当m＝n时，产生零次幂，即a0＝1(a≠0)，那么m

(1)82÷85＝82－5＝8－3，82÷85＝＝，∴8－3＝(2)74÷78＝74－8＝7－4

74÷78＝＝，∴7－4＝

思考：a－n＝？，a－n＝a0－n＝＝.归纳：a－n＝＝()n(a≠0，且n是正整数)．特别地，a－1＝(a≠0)．

【自主学习】

1．计算：(1)1－1；(2)5－2；(3)()－5.解：(1)1－1＝＝1；(2)5－2＝＝；(3)()－5＝25＝32.2．把下列各式写成分式的形式．

(1)2xy－5＝2x·＝；

(2)－5x－2y3＝－5··y3＝－；

(3)a3b－1c－3＝a3··＝.知识模块三科学记数法

【自主学习】

阅读教材p18例5、例6.【合作探究】

用小数表示下列各数：

(1)5.6×10－2＝__0.056__；(2)－2.08×10－5＝__－0.0000208__．

类似的，利用10的负整数次幂，我们可以用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成__a×10－n__的形式，其中n是正整数，__1≤|a|≤10__，.当一个数的绝对值很小的时候，我们也能用科学记数法表示．

练习：用科学记数法表示．

(1)0.00000405＝__4.05×10－6__；

(2)－0.0026＝__－2.6×10－3__．

活动1小组讨论

例1计算：

(1)3－2；(2)(10)－3；(3)()－2.解：(1)3－2＝＝；(2)10－3＝＝0.001；

(3)()－2＝()2＝.例2把下列各式写成分式的形式．

(1)3x－3；(2)2x－2y－3.解：(1)3x－3＝；(2)2x－2y－3＝.例3用科学记数法表示下列各数．

(1)0.0003267；(2)－0.0011.解：(1)0.0003267＝3.267×10－4；(2)－0.0011＝－1.1×10－3.活动2跟踪训练

1．计算；(－2)0＝__1__；3－1＝____．

2．把(－100)0，(－3)－2，(－)2按从大到小的顺序排列为__(－100)0>(－)2＝(－3)－2__．

3．计算：(－1)2012×(3－π)0＋()－1.解：原式＝1×1＋2＝3.活动3课堂小结

1．零次幂和整数指数幂的运算性质．

2．零次幂和负整数指数幂的意义．

3．负整数指数幂在科学记数法中的应用．

1.3.3整数指数幂的运算法则

1．理解整数指数幂的运算法则．(重点)

2．熟练掌握整数指数幂的各种运算．(重难点)

知识模块整数指数幂的运算法则及运算

【自主学习】

阅读教材p20例7、例8.【合作探究】

学习例7、例8的计算，你发现了什么？

在前面我们已经把幂的指数从正整数推广到了整数，可以说明：当a≠0，b≠0时，正整数指数幂的运算法则对于整数指数幂也成立．

归纳：＝am·＝am·a－n＝am＋(－n)＝am－n；

()n＝(a·b－1)n＝an·(b－1)n＝an·b－n＝.我们可以把正整数指数幂的5个运算法则推广并归纳为整数指数幂的以下3个运算法则．

①am·an＝__am＋n__(a≠0，m，n都是整数)

②(am)n＝__amn__(a≠0，m，n都是整数)

③(ab)n＝__anbn__(a≠0，b≠0，n是整数)

练习：

1．设a≠0，b≠0，计算下列各式(结果不含负指数)．

(1)a4·a－8；(2)(a－3)2；(3)[(－)－4]2；

(4)(x－2y)－3

解：(1)原式＝a－4＝；(2)原式＝a－6＝；(3)原式＝(44)2＝48；(4)原式＝x6y－3＝.2．计算：(1)[(a＋b)－4]2(a＋b)2÷(a＋b)；

解：原式＝(a＋b)－8(a＋b)2÷(a＋b)＝(a＋b)－7＝；

(2)(3x－2y－3)·(－2x2y)－3·(－xy2)－2.解：原式＝··＝－.归纳：对于含有负整数指数幂的运算，计算方法和整数指数幂的运算一样，一般有两种运算方法：一是首先把负整数次幂转化为__正整数指数幂__的形式，然后再计算；二是直接根据__整数指数幂__的运算法则进行计算，但要注意结果中不能含有负整数指数幂的形式．

活动1小组讨论

例1计算：

(1)(a－1b2)3；(2)a－2b2·(a2b－2)－3.解：(1)原式＝a－3b6＝；

(2)原式＝a－2b2·a－6b6＝a－8b8＝.例2下列等式是否正确？为什么？

(1)am÷an＝am·a－n；(2)()n＝anb－n.解：(1)正确．理由：am÷an＝am－n＝am＋(－n)＝am·a－n；

(2)正确．理由：()n＝＝an·＝anb－n.活动2跟踪训练

1．下列式子中，正确的有(d)

①a2÷a5＝a－3＝；②a2·a－3＝a－1＝；③(a·b)－3＝＝；④(a3)－2＝a－6＝.a．1个b．2个c．3个d．4个

2．计算：[x(x2－4)]－2·(x2－2x)2＝____．

活动3课堂小结

牢记整数指数幂的运算法则．

1.4分式的加法和减法

第1课时同分母分式的加减法

1．掌握同分母分式的加、减法则，并能运用法则进行同分母分式的加减运算．(重点)

2．会将分母互为相反数的分式化为同分母分式进行运算．

知识模块一同分母分式的加减法

【合作探究】

计算：＋＝____，－＝____，＋＝____，－＝____．

归纳：类似地，±＝____，即同分母的分式相加减，分母__不变__，把分子__相加减__．

【自主学习】

计算：

(1)＋；(2)－；

(3)＋－.解：(1)原式＝＝＝3x；

(2)原式＝＝＝；

(3)原式＝＋－＝＝＝1.知识模块二分式的符号法则在分式加减运算中的运用

【合作探究】

教材p24说一说．

归纳：＝＝－，＝.计算：－＋.解：原式＝

＝

＝

＝

＝.【自主学习】

计算：(1)＋；

(2)＋.解：(1)原式＝－＝＝；(2)原式＝－＝＝1.活动1小组讨论

例1计算：

(1)＋；(2)－.解：(1)原式＝＝＝1；

(2)原式＝＝＝＝.例2计算：

(1)－；(2)－.解：(1)原式＝＋＝；

(2)原式＝－＝＋＝＝.活动2跟踪训练

1．化简＋的结果是(d)

a．x＋1b．x－1c．－xd．x

2．化简－的结果是(a)

a．a＋b

b．a－b

c．a2－b2

d．1

【点拨】在分式有关的运算中，一般总是先把分子、分母分解因式．

3．计算：(1)－；(2)＋－.解：(1)原式＝＝1；(2)原式＝＝0.活动3课堂小结

1．分式相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子看成一个整体，先用括号括起来，再运算，可减少出现符号错误．

2．分式加减运算的结果要约分，化为最简分式(或整式)．

第2课时通分

1．了解什么是最简公分母，会求最简公分母．(重点)

2．了解通分的概念，并能将异分母分式通分．(重难点)

知识模块一怎样确定最简公分母

【合作探究】

教材p25做一做，完成下面的内容：

异分母分数相加减，要先找到分母的最小公倍数作为公分母，通分后化为同分母分数，再加减．

类似地，异分母分式进行加减运算时，也要先化成__同分母分式__，然后再加减．

归纳：1.根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成__同分母__的分式的过程，叫作分式的通分．

2．通分时怎样确定公分母最简便？

【自主学习】，的最简公分母是__36x2y2__；，的最简公分母是__ab(a－b)__；

求与的最简公分母．

分析：第一个分式的分母含有哪些因式？即x2－1＝__(x＋1)(x－1)__．第二个分式的分母含有哪些因式？即x2－x＝__x(x－1)__；因此，最简公分母是__x(x＋1)(x－1)__．

知识模块二如何将异分母分式通分

【合作探究】

教材p25动脑筋．

【自主学习】

1．学习教材p26例3、例4.2．通分．

(1)，；(2)，.解：(1)最简公分母是：12x2y.＝＝，＝＝，＝＝.(2)最简公分母是：(x＋2)2(x－2)，＝，＝.活动1小组讨论

例1通分．

(1)与；(2)与.解：(1)最简公分母是2a2b2c.＝＝，＝＝；

(2)最简公分母是(x＋5)(x－5)．

＝＝，＝＝.例2通分．

(1)与；(2)与.解：(1)最简公分母是4b2d.＝，＝；

(2)最简公分母是2(x＋2)(x－2)．

＝＝，＝＝＝－.活动2跟踪训练

1．分式，的最简公分母为(b)

a．(x＋2)(x－2)

b．2(x＋2)(x－2)

c．2(x＋2)(x－2)2

d．－(x＋2)(x－2)2

2．分式，的最简公分母是__x(x＋1)2(x－1)__．

3．通分．

(1)与；(2)与；(3)与.解：(1)＝，＝；

(2)＝，＝；

(3)＝，＝.活动3课堂小结

1．确定最简公分母．

2．将异分母分式通分．

第3课时异分母分式的加减法

1．熟练掌握求最简公分母的方法．

2．能根据异分母分式的加减法则进行计算．(重难点)

知识模块一异分母分式的加减法

【合作探究】

教材p27动脑筋．

回顾：你是怎样计算＋的？

归纳：类似地，异分母的分式相加减时，要先__通分__，即把各个分式的__分子、分母__同乘一个适当的__整式__，化成__同分母分式__，然后再__加减__．

【自主学习】

1．学习教材p28例5、例6.2．计算：

(1)＋＋；(2)－.解：(1)原式＝＋＋＝；

(2)原式＝－

＝

＝

＝－.知识模块二整式与分式的加减运算

【自主学习】

阅读教材p29例7.【合作探究】

计算：

(1)x－y＋；(2)－x＋1.解：(1)原式＝＋

＝＋

＝

＝；

(2)原式＝－(x－1)

＝－

＝

＝.活动1小组讨论

例1计算．

(1)＋；(2)－.解：(1)原式＝＋＝；

(2)原式＝－＝.例2计算．

(1)(1－)÷；(2)＋.解：(1)原式＝·＝·＝a－b；

(2)原式＝＋＝＝.活动2跟踪训练

1．计算(＋)÷的结果为(a)

a．ab．－ac．(a＋3)2d．1

2．化简(1＋)÷的结果是(a)

a.b.c.d.3．化简·＋的结果是____．

4．化简(1－)(m＋1)的结果是__m__．

【点拨】1.在分式有关的运算中，一般总是先把分子、分母分解因式；2.注意：化简过程中，分子、分母一般保持分解因式的形式．

活动3课堂小结

分式加减运算的方法思路．

1．5可化为一元一次方程的分式方程

第1课时可化为一元一次方程的分式方程

1．理解分式方程的意义．

2．了解分式方程的基本思路和解法．(重点)

3．理解分式方程可能无解的原因，并掌握验根的方法．(重点)

知识模块一分式方程的概念

【合作探究】

教材p32动脑筋．

归纳：分母中含有__未知数__的方程叫作分式方程．

【自主学习】

下列是分式方程的是：__④__(只填序号)．

①x＋y＝5；②＝；③；④＝2.知识模块二分式方程的解与解法

【自主学习】

阅读教材p33例1、例2.【合作探究】

对于上面的分式方程如何求解呢？可以联想一元一次方程的解法，通过去分母，将分式方程转化为一元一次方程来求解．

解方程：－＝1.解：方程两边同乘以1.5x，得36－30＝1.5x，解得x＝4.检验：把x＝4代入原方程，得左边＝－＝1＝右边，因此x＝4是原方程的解．

归纳：解分式方程的关键是把含有未知数的分母去掉，这可以通过在方程的两边同乘以各个分式的__最简公分母__而达到．

活动1小组讨论

例1解方程：＝.解：方程两边同乘x(x－3)，得2x＝3(x－3)．解得x＝9.检验：当x＝9时，x(x－3)≠0.所以，原分式方程的解为x＝9.例2解方程：－1＝.解：方程两边同乘(x－1)(x＋2)，得x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3.解得x＝1.检验：当x＝1时，(x－1)(x＋2)＝0.所以x＝1不是原方程的解．所以，原方程无解．

活动2跟踪训练

解方程：(1)＝；(2)＝＋1；

(3)＝；(4)－＝0.解：(1)方程两边同乘2x(x＋3)，得x＋3＝4x，化简得3x＝3.解得x＝1.检验：当x＝1时，2x(x＋3)≠0，所以x＝1是原方程的解；

(2)方程两边同乘3(x＋1)，得3x＝2x＋3x＋3.解得x＝－.检验：当x＝－时，3x＋3≠0.所以x＝－是原方程的解；

(3)方程两边同乘x2－1，得2(x＋1)＝4.解得x＝1.检验：当x＝1时，x2－1＝0，所以x＝1不是方程的解．所以原方程无解；

(4)方程两边同乘x(x＋1)(x－1)，得5(x－1)－(x＋1)＝0，解得x＝.检验：当x＝时，x(x＋1)(x－1)≠0.所以x＝是原方程的解．

【点拨】方程中分母是多项式，要先分解因式再找公分母．

活动3课堂小结

解分式方程的思路是：

―→

第2课时分式方程的应用

能将实际问题中的相等关系用分式方程表示，并进行方法总结．(重难点)

知识模块一分式方程的应用——工程问题

【合作探究】

教材p34动脑筋．

【自主学习】

甲、乙两个工程队共同承包某一城市美化工程，已知甲队单独完成这项工程需要30天，若由甲队先做10天，剩下的工程由甲、乙两队合作8天完成．问乙队单独完成这项工程需要多少天？

解：设乙队单独完成这项工程需要x天，由题意可列方程：＋＝1，方程两边同乘以30x，得18x＋240＝30x，解得x＝20.检验：把x＝20代入30x中，它的值不等于0.因此x＝20是原方程的根，且符合题意．答：乙队单独完成这项工程需要20天．

知识模块二分式方程的应用——路程问题

【合作探究】

小明家和小玲家住同一小区，离学校3000

m，某一天早晨，小玲和小明分别于7：20，7：25离家骑车上学，在校门口遇上，已知小明骑车的速度是小玲的1.2倍，试问：小玲和小明骑车的速度各是多少？

解：设小玲的速度为v

m/s，则小明的速度为__1.2v__m/s.依题意得：__－＝300__．

去分母得：__3600－3000＝300×1.2v__，解得v＝.检验：__把v＝代入最简公分母中，它不等于0，因此v＝是原方程的解．__

答：小玲、小明的骑车速度分别是____m/s，__2__m/s.【自主学习】

一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行60

km所需时间与逆水航行48

km所需时间相同，已知水流速度是2

km/h，求轮船在静水中航行的速度，若设轮船在静水中航行速度为x

km/h，则依题意可列方程为__＝__．

知识模块三分式方程的应用——商品购买问题

【自主学习】

阅读教材p35例3.【合作探究】

某商店第一次用600元购进2b铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支铅笔的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支，求第一次每支铅笔的进价．

解：设第一次每支铅笔的进价为x元，由题意得－＝30，解得x＝4.经检验，x＝4是原方程的根，且符合题意．答：第一次每支铅笔的进价为4元．

归纳：列分式方程解应用题的一般步骤：(1)分析题意，找等量关系；(2)设未知数；(3)列方程；(4)解方程；(5)检验(双检验)、作答．

活动1小组讨论

例甲、乙两人分别从相距36千米的a，b两地相向而行，甲从a出发到1千米时发现有东西遗忘在a地，立即返回，取过东西后又立即从a向b行进，这样两人恰好在ab中点处相遇，已知甲比乙每小时多走0.5千米，求二人的速度各是多少？

分析：

路程

速度

时间

甲

18＋1×2

x＋0.5

乙

x

等量关系：t甲＝t乙．

解：设乙的速度为x千米/小时，则甲的速度为(x＋0.5)千米/小时．根据题意，列方程得＝.解得：x＝4.5.检验：当x＝4.5时，x(x＋0.5)≠0.所以x＝4.5是原方程的解，则x＋0.5＝5.答：甲的速度为5千米/小时，乙的速度为4.5千米/小时．

【点拨】等量关系是时间相等，那么就要找到相等时间里每个人所走的路程，甲的路程比乙的路程多两个1千米．

活动2跟踪训练

1．a、b两地相距135千米，有大、小两辆汽车从a地开往b地，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟．已知大、小汽车速度的比为2∶5，求两辆汽车的速度．

解：设大汽车的速度为2x千米/小时，则小汽车的速度为5x千米/小时．

根据题意，列方程得＝.解得x＝9.检验：当x＝9时，10x≠0.所以，x＝9是原方程的解．则2x＝18，5x＝45.答：大汽车的速度是18千米/小时，小汽车的速度是45千米/小时．

【点拨】等量关系是大汽车5小时后剩下路程所走的时间，等于小汽车去掉30分钟路程所用的时间．

2．一项工程，需要在规定日期内完成，如果甲队独做，恰好如期完成，如果乙队独做，就要超过规定3天，现在由甲、乙两队合作2天，剩下的由乙队独做，也刚好在规定日期内完成，问规定日期是几天？

解：设规定日期是x天，则甲队独做需x天，乙队独做需(x＋3)天，根据题意，列方程得

＋＝1.解得x＝6.检验：当x＝6时，x(x＋3)≠0.所以，x＝6是原方程的解．

答：规定日期是6天．

活动3课堂小结

1．列分式方程解应用题，应该注意解题的步骤．

2．列方程的关键是要在准确设元(可直接设，也可间接设)的前提下找出等量关系．

3．解题过程注意画图或列表帮助分析题意找等量关系．

4．注意不要遗漏检验和写答案．

第2章三角形

2．1三角形

第1课时三角形的有关概念及三边关系

1．通过具体实例，进一步认识三角形的概念及其基本要素．

2．学会三角形的表示及根据“是否有边相等”对三角形进行的分类．

3．掌握三角形三条边之间的关系．(重点)

知识模块一探究三角形中的基本概念

【自主学习】

阅读教材p42，完成下面的填空．

1．__由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接而成的图形__叫作三角形．

如图：用线段连接不在同一直线上的三点d、e、f所组成的图形叫作__三角形__，记用__△def__，它的三个顶点分别是点__d__、点__e__、点__f__．它的三个内角分别是__∠d__、__∠__e__、__∠f__．

2．其中，__两条边相等__的三角形叫作等腰三角形，__三边都相等__的三角形叫作等边三角形．

知识模块二三角形三边的关系

【合作探究】

如图，请量出线段ab、bc、ac的长度(精确到1

mm)，根据测量结果填空(选填“>”或“<”)

ab＋bc__>__ac，bc＋ac__>__ab，ab＋ac__>－bc__<__ac，bc－ac__<__ab，ab－ac__<__bc.归纳：三角形任意两边之和__大于__第三边，三角形任意两边之差__小于__第三边．

【自主学习】

1．教材p43做一做．

2．阅读教材p43例1.练习：有下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？

(1)4

cm、5

cm、10

cm；(2)5

cm、6

cm、11

cm；

(3)6

cm、7

cm、12

cm.解：(1)因为4＋5<10，所以它们不能组成三角形；(2)因为5＋6＝11，所以它们不能组成三角形；(3)因为6＋7>12，所以它们能组成三角形．

活动1小组讨论

例如图，d是△abc的边ac上一点，ad＝bd，试判断ac与bc的大小．

解：在△bdc中，有bd＋dc＞bc(三角形的任意两边之和大于第三边)．

又因为ad＝bd，则bd＋dc＝ad＋dc＝ac，所以ac＞bc.活动2跟踪训练

1．现有两根木棒，它们的长度分别为20

cm和30

cm，若不改变木棒的长度，要钉成一个三角形木架，应在下列四根木棒中选取(b)

a．10

cm的木棒

b．20

cm的木棒

c．50

cm的木棒

d．60

cm的木棒

2．看图填空．

(1)如图中共有__4__个三角形，它们是__△abc、△ebg、△aef、△cgf__；

(2)△bge的三个顶点分别是__b、g、e__，三条边分别是__bg、eg、be__，三个角分别是__∠b、∠beg、∠bge__；

(3)△aef中，顶点a所对的边是__ef__；边af所对的顶点是__e__；

(4)∠acb是△__acb__的内角，∠acb的对边是__ab__．

3．用一根长为18厘米的细铁丝围成一个等腰三角形．

(1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？

(2)能围成有一边的长为4厘米的等腰三角形吗？

解：(1)设底边长为x厘米，则腰长为2x厘米．则x＋2x＋2x＝18.解得x＝3.6.所以三边长分别为3.6厘米、7.2厘米、7.2厘米；

(2)①当4厘米长为底边，设腰长为x厘米，则4＋2x＝18.解得x＝7.所以等腰三角形的三边长为7厘米、7厘米、4厘米；②当4厘米长为腰长，设底边长为x厘米，可得4×2＋x＝18.解得x＝10.因为4＋4＜10，所以此时不能构成三角形．即可围成等腰三角形，且三边长分别为7厘米、7厘米和4厘米．活动3课堂小结

1．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形．三角形的边、角、顶点及表示方法．

2．三角形的分类：按边和角分类．

3．三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

第2课时三角形的高、角平分线和中线

1．能找到一个三角形的高，知道三角形的角平分线和中线的含义，了解三角形的重心．(重点)

2．能应用三角形的高、角平分线和中线解决相关的问题．(难点)

知识模块一三角形中的三种线段的定义

【合作探究】

教材p44做一做．

1．从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的__高线__，简称三角形的__高__．

2．在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的__角平分线__．

3．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫作三角形的__中线__．三角形的三条中线相交于一点，这一点叫作三角形的__重心__．

【自主学习】

1．如图，在图1中，∠bad＝∠cad，那么线段ad叫作△abc的一条__角平分线__．在图2中，af＝fc，那么线段bf叫作△abc的一条__中线__．在图3中，bh⊥ac，垂足为h，那么线段bh叫作△abc的一条__高__．

2．如图．

(1)ad是△abc的角平分线，则∠__bad__＝∠__dac__＝∠__bac__；

(2)ae是△abc的中线，则__be__＝__ec__＝__bc__；

(3)af是△abc的高，则∠__afb__＝∠__afc__＝90°.知识模块二动手画一画三角形的三种线段

【合作探究】

如图，试分别画出下列三角形的三条高．

解：如图：

归纳：锐角三角形的三条高都在三角形的__内部__，直角三角形中有两条高就是它的__两条直角边__，钝角三角形有两条高在三角形的__外部__．

【自主学习】

1．如图，已知△abc，试画出它的三条中线．

解：如图，线段ad、be、cf就是△abc的三条中线．

2．如图，已知△abc，试画出它的三条角平分线．

解：如图，线段ad、be、cf就是△abc的三条角平分线．

活动1小组讨论

例1如图，ad是△abc的中线，ae是△abc的高．

(1)图中共有几个三角形？请分别列举出来．

(2)其中哪些三角形的面积相等？

解：(1)图中有6个三角形，它们分别是△abd，△ade，△aec，△abe，△adc，△abc.(2)因为ad是△abc的中线，所以bd＝dc.因为ae是△abc的高，也是△abd和△adc的高，又s△abd＝bd·ae，s△adc＝dc·ae.所以s△abd＝s△adc.活动2跟踪训练

1．一定能将三角形面积平分成相等两部分的是三角形的(b)

a．高线

b．中线

c．角平分线

d．不确定

2．如图所示，在△abc中，∠acb＝90°，把△abc沿直线ac翻折180°，使点b落在点b′的位置，则线段ac(d)

a．是边bb′上的中线

b是边bb′上的高

c．是∠bab′的角平分线

d．以上都对

第2题图

第3题图

3．如图所示，在△abc中，d、e分别是bc、ad的中点，sabc＝4

cm2，则s△abe的面积是__1__cm2.活动3课堂小结

三角形中几条重要线段：高、角平分线、中线．

第3课时三角形内角和定理

1．知道三角形的内角和是180°，能应用此性质解决相关问题．

2．知道三角形的分类，并会用数学符号表示直角三角形．

3．会找一个三角形的外角，能应用三角形外角的性质解决相关问题．(重点)

知识回顾：

如图，在图1中，已知过点a的直线de∥bc，那么∠b＝∠__bad__，∠c＝∠__cae__．在图2中，已知过点c的直线ce∥ba，那么∠b＝∠__ecd__，∠a＝∠__ace__．

知识模块一探究三角形的内角和定理及三角形中的相关概念

【合作探究】

你能否由以上两个图形推出三角形的内角和为180°呢？

如图1，由∠bad＋∠bac＋∠cae＝180°，知∠b＋∠bac＋∠c＝180°，从而得出结论：三角形的内角和等于__180°__．

由于三角形内角和等于180°，而三角形的外角与它相邻的内角和也为180°，由此可得：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的__和__．

【自主学习】

1．阅读教材p46～p48，完成下面的填空：

(1)__三个角都是锐角__的三角形叫锐角三角形；__有一个角是直角__的三角形叫直角三角形；__有一个角是钝角__的三角形叫钝角三角形．

(2)直角三角形可以用符号“__rt△__”表示，直角三角形abc可以写成__rt△abc__，在直角三角形中，夹直角的两边叫作__直角边__，直角的对边叫作__斜边__．两条直角边相等的直角三角形叫作__等腰直角三角形__．

(3)三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫作三角形的__外角__．

2．(1)在△abc中，∠a＝90°，∠b＝30°，则∠c＝__60°__；∠b＋∠c＝__90°__．

(2)在△abc中，∠c＝90°，∠b＝60°，则∠a＝__30°__；∠b＋∠a＝__90°__．

(3)在△abc中，∠b＝90°，∠c＝85°，则∠a＝__5°__；∠c＋∠a＝__90°__．

知识模块二运用三角形内角和定理和外角和的性质解决问题

【自主学习】

阅读教材p46例3.【合作探究】

如图，直线de分别交△abc的边ab，ac于点d，e，若∠b＝67°，∠c＝74°，∠aed＝48°，求∠bde的度数．

解：∵∠b＝67°，∠c＝74°，∴∠a＝180°－∠b－∠c＝180°－67°－74°＝39°.又∵∠aed＝48°，∴∠bde＝∠a＋∠aed＝39°＋48°＝87°.活动1小组讨论

例在△abc中，∠a的度数是∠b的度数的3倍，∠c比∠b大15°，求∠a，∠b，∠c的度数．

解：设∠b为x°，则∠a为(3x)°，∠c为(x＋15)°，从而有3x＋x＋(x＋15)＝180.解得x＝33.所以3x＝99，x＋15＝48.答：∠a，∠b，∠c的度数分别为99°，33°，48°.活动2跟踪训练

1．在△abc中，∠a∶∠b∶∠c＝3∶4∶5.则∠c的度数为(c)

a．45°

b．60°

c．75°

d．90°

2．如图，ac∥ed，∠c＝26°，∠cbe＝37°，则∠bed的度数是(a)

a．63°

b．83°

c．73°

d．53°

第2题图

第3题图

3．如图，ad是△abc的外角∠cae的平分线，∠b＝30°，∠dae＝50°，则∠d的度数为__20°__，∠acd的度数为__110°__．

活动3课堂小结

↑

ｋ

↓

2.2命题与证明

第1课时定义与命题

1．知道“定义”和“命题”，能判断给出的语句哪些是命题．

2．能把简单的命题写成“如果……，那么……”的形式，能找到命题的条件和结论．(重点)

3．知道什么是“原命题”、“逆命题”和“互逆命题”，能写出已知命题的逆命题．(重难点)

知识模块一掌握定义、命题的相关概念

【自主学习】

阅读教材p50～p52，完成下面的填空：

1．对一个概念的含义加以描述说明或作出明确规定的语句叫作这个概念的__定义__．

2．对某一件事情作出判断的语句(陈述句)叫__命题__．

3．命题通常可以写成__“如果……，那么……”__的形式，其中“__如果__”引出的部分是条件、“__那么__”引出的部分是结论．

4．对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这两个命题叫__互逆命题__．其中一个叫__原命题__，另一个叫__逆命题__．

【合作探究】

判断下列语句哪些是命题？哪些不是？

(1)对顶角相等；(2)画一个角等于已知角；(3)两直线平行，同位角相等；(4)同位角相等，两条直线平行吗？(5)鸟是动物；(6)若x－5＝0，求x的值．

解：(1)(3)(5)是命题，(2)(4)(6)不是命题．

知识模块二探究命题的条件与结论的结构

【合作探究】

指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……，那么……”的形式，写出它们的逆命题．

(1)垂直于同一直线的两条直线平行；

解：条件是“垂直于同一直线的两条直线”，结论是“这两条直线平行”．

可以改写成“如果两条直线垂直于同一直线，那么这两条直线平行．”

逆命题是：两条直线平行，这两条直线会垂直于同一直线．

(2)对顶角相等．

解：条件是“两个角是对顶角”，结论是“两个角相等”．

可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．

逆命题是：相等的角是对顶角．

【自主学习】

1．教材p51做一做．

2．写出“两直线平行，同位角相等”的条件和结论，并写出它的逆命题．

解：条件是“两直线平行”，结论是“同位角相等”．

可以改写成“如果两直线平行，那么同位角相等”．

逆命题是：同位角相等，两直线平行．

活动1小组讨论

例指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……，那么……”的形式，并写出它的逆命题．

(1)两直线平行，内错角相等；

解：条件是“两直线平行”，结论是“内错角相等”．

可以改写成“如果两直线平行，那么内错角相等．”

逆命题是：内错角相等，两直线平行．

(2)同角的余角相等．

解：条件是“两个角是同一个角的余角”，结论是“这两个角相等”可以改写成“如果两个角是同一角的余角，那么这两个角相等”．

逆命题是：余角相等的两个角是同一个角．

活动2跟踪训练

1．下列语句中，是命题的是(b)

a．连接a、b两点

b．锐角小于钝角

c．作平行线

d．取线段ab的中点m

2．把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式．

(1)能被2整除的数必能被4整除；

解：如果一个数能被2整除，那么这个数一定能被4整除．

(2)异号两数相加得零．

解：如果两个数异号，那么这两个数相加的和为零．

3．写出下列命题的逆命题．

(1)直角三角形的两个锐角互余；

解：两个锐角互余的三角形是直角三角形．

(2)若a＝0，则ab＝0.解：若ab＝0，则a＝0.活动3课堂小结

ｋ

第2课时真命题、假命题与定理

1．会判断一个命题的真假，并且知道要判定一个命题是真命题需要证明；要判定一个命题是假命题，只需举反例．(重点)

2．知道基本事实、定理和逆定理的含义，以及它们之间的内在联系．

3．知道基本事实与定理的区别，认识基本事实是进行逻辑推理的基本依据．

知识模块探究真命题、假命题、基本事实的相关概念

【合作探究】

教材p53议一议．

1．我们把__正确__的命题叫真命题，把__错误__的命题叫假命题．

2．要判断一个命题是真命题，常常要从命题的__条件__出发，通过__讲道理__得出其结论__成立__，从而判断这个命题为真命题，这个过程叫__证明__．

3．要判断一个命题是假命题，只需举出一个__反例__，它符合命题的__条件__，但不满足命题的__结论__，从而就可以判断这个命题为假命题．

4．我们把通过证明为真的命题叫__定理__，把人们长期实践中总结出来的公认的真命题叫__公理__，又叫基本事实．

5．如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就叫它是原定理的__逆定理__，这两个定理叫作__互逆定理__．

【自主学习】

1．有下面命题：

(1)直角三角形的两个锐角互余；(2)钝角三角形的两个内角互补；(3)两个锐角的和一定是直角；(4)两点之间线段最短．其中，真命题有(b)

a．1个

b．2个

c．3个

d．4个

2．判断下列命题的真假，举出反例．

①大于锐角的角是钝角；②如果一个实数有算术平方根，那么它的算术平方根是整数；③如果ac＝bc，那么点c是线段ab的中点．

解：①②③都是假命题．①的反例：90°的角大于锐角，但不是钝角．②的反例：5有算术平方根，但算术平方根不是整数．③的反例：如果ac＝bc，而点a、b、c三点不在同一直线上，那么点c就不是ab的中点．

活动1小组讨论

例1下列命题中，哪些正确，哪些错误？

(1)每一个月都有31天；

(2)如果a是有理数，那么a是整数；

(3)同位角相等；

(4)同角的补角相等．

解：(4)正确，(1)(2)(3)错误．

例2举反例说明下列命题是假命题．

(1)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；

(2)若ab＝0，则a＋b＝0.解：(1)如：两条直线平行时的内错角，这两个角不是对顶角，但它们相等；

(2)如：当a＝5，b＝0时，ab＝0，但a＋b≠0.活动2跟踪训练

1．下列命题中，真命题是(d)

a．相等的角是直角

b．不相交的两条线段平行

c．两直线平行，同位角互补

d．经过两点有且只有一条直线

2．写出你熟悉的一个定理：__两直线平行，内错角相等__，写出这个定理的逆定理：__内错角相等，两直线平行__．

3．下列命题是真命题吗？若不是请举出反例．

(1)只有锐角才有余角．

解：真命题．

(2)若x2＝4，则x＝2；

解：假命题，如x＝－2.(3)a2＋1≥1；

解：真命题．

(4)若|a|＝－a，则a＜0.解：假命题，如a＝0.活动3课堂小结

第3课时命题的证明

1．知道证明的含义及步骤，能用规范的语言进行证明．

2．会证明文字类证明题．

3．能利用反证法进行简单的证明．(重点)

知识模块一探究对命题的证明的步骤

【合作探究】

1．教材p55做一做．

2．教材p56动脑筋．

(1)如图，△abc的一边bc延长，则∠acd叫作△abc的一个__外角__，∠acb是与它__相邻__的内角，∠a、∠b是与它__不相邻__的内角．

(2)三角形的一个外角等于__和它不相邻的两个内角的和__．

(3)与三角形的一个内角相邻的外角有__2__个，它们是一对__对顶角__．三角形的外角和等于__360°__．

【自主学习】

1．认真阅读教材p57例1.2．已知，如图，ad是△abd和△acd的公共边．

求证：∠bdc＝∠b＋∠c＋∠bac.证明：延长ad于e.∵∠bde＝∠b＋∠bad，∠cde＝∠c＋∠cad.∴∠bde＋∠cde＝∠b＋∠c＋∠bad＋∠cad.而∠bde＋∠cde＝∠bdc.∠bad＋∠cad＝∠bac.即∠bdc＝∠b＋∠c＋∠bac.知识模块二探究反证法的步骤

【自主学习】

阅读教材p57例2，学习如何运用反证法．

【合作探究】

用反证法证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．

已知：如图，在△abc中，∠abd是△abc的一个外角．

求证：∠abd＝∠a＋∠c.证明：假设∠abd≠∠a＋∠c.于是就有两种情况：

(1)∠abd＞∠a＋∠c；

由邻补角的定义可知：∠abd＋∠abc＝180°，则∠a＋∠c＋∠abc＜180°，这与三角形内角和定理相矛盾，所以∠abd＞∠a＋∠c不成立；

(2)∠abd＜∠a＋∠c.由邻补角的定义可知：∠abd＋∠abc＝180°，则∠a＋∠c＋∠abc＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，所以∠abd＜∠a＋∠c不成立．

所以三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．

活动1小组讨论

例1已知：如图，在△abc中，∠b＝∠c，点d在线段ba的延长线上，射线ae平分∠dac.求证：ae∥bc.证明：因为∠dac＝∠b＋∠c，∠b＝∠c，所以∠dac＝2∠b.又因为ae平分∠dac.所以∠dac＝2∠dae.所以∠dae＝∠b.所以ae∥bc.例2已知：∠a，∠b，∠c是△abc的内角．

求证：∠a，∠b，∠c中至少有一个角大于或等于60°.证明：假设∠a，∠b，∠c中没有一个角大于或等于60°，即∠a＜60°，∠b＜60°，∠c＜60°，则∠a＋∠b＋∠c＜180°.这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，所以假设不成立．

因此，∠a，∠b，∠c中至少有一个角大于或等于60°.活动2跟踪训练

1．如图，ab∥cd，直线ef分别交ab，cd于点e，f，∠bef的平分线与∠dfe的平分线相交于点p.求证：∠p＝90°.证明：∵ab∥cd，∴∠bef＋∠dfe＝180°.又∵∠bef的平分线与∠dfe的平分线相交于点p，∴∠pef＝∠bef，∠pfe＝∠dfe.∴∠pef＋∠pfe＝(∠bef＋∠dfe)＝90°.∵∠pef＋∠pfe＋∠p＝180°.∴∠p＝90°

2．用反证法证明：两条直线相交只有一个交点．

已知：如图两条相交直线a、b.求证：a与b只有一个交点．

证明：假设a与b不止一个交点，不妨假设有两个交点a和a′，因为两点确定一条直线，即经过a和a′的直线有且只有一条，这与已知两条直线矛盾，假设不成立．

所以a与b只有一个交点．

活动3课堂小结

2.3等腰三角形

第1课时等腰三角形的性质

1．能用语言描述等腰三角形的性质，并会运用性质解决一些简单的实际问题．

2．能用等腰三角形的性质推导出等边三角形的性质．(重难点)

知识模块一探究等腰三角形和等边三角形的性质

【合作探究】

教材p61探究．

通过探究，我们得到等腰三角形的性质：

等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角__平分线__所在的直线．

等腰三角形的底边上的__高__、__中线__及顶角__平分线__重合(通常简称为“三线合一”)．

等腰三角形的两底角__相等__(简称“等边对__等角__”)．

【自主学习】

阅读教材p62“动脑筋”，可得到等边三角形的性质：

等边三角形的三个内角__相等__，且都等于__60°__，有__三__条对称轴．

知识模块二等腰三角形性质和等边三角形性质的运用

【自主学习】

阅读教材p62例1～p63“议一议”．

【合作探究】

1．已知：如图，ab＝ac，f为ac上一点，fd⊥bc于d，de⊥ab于e，若∠afd＝155°.求∠edf的度数．

解：∵ab＝ac，∴∠b＝∠c.∵de⊥ab，fd⊥bc，∴∠b＋∠1＝∠edf＋∠1＝90°.∴∠b＝∠edf＝∠c.又∵∠c＝∠afd－∠fdc＝155°－90°＝65°，∴∠edf＝65°.2．如图，△abc是等边三角形，将△abc沿直线bc向右平移，使点b与点c重合，得到△dce，连接bd，交ac于点f.猜想ac与bd的位置关系，并证明你的结论．

解：ac⊥bd.∵△dce是由△abc平移得到的，∴ab＝dc，∠abc＝∠dce，又∵△abc是等边三角形∴dc＝ab＝bc，∠dce＝∠abc＝∠acb＝60°.∵∠acb＋∠dce＋∠acd＝180°，∴∠acd＝60°，∴∠acb＝∠acd，又∵bc＝cd，∴ac⊥bd.活动1小组讨论

例已知，如图，在△abc中，ab＝ac，点d，e在边bc上，且ad＝ae.求证：bd＝ce.证明：作af⊥bc，垂足为点f，则af是等腰三角形abc和等腰三角形ade底边上的高，也是底边上的中线．

∴bf＝cf，df＝ef.∴bf－df＝cf－ef，即bd＝ce.【点拨】利用等腰三角形三线合一的性质求证．

活动2跟踪训练

1．若等腰三角形的顶角为80°，则它的底角度数为(b)

a．80°

b．50°

c．40°

d．20°

2．如图，△abc是等边三角形，则∠1＋∠2＝(c)

a．60°

b．90°

c．120°

d．180°

第2题图

第3题图

3．如图，在△abc中，点d是bc上一点，∠bad＝80°，ab＝ad＝dc，则∠c的度数为__25°__．

活动3课堂小结

第2课时等腰三角形的判定

1．能感知等腰三角形和等边三角形判定定理的推导过程，能复述等腰三角形和等边三角形的判定定理，会用几何语言进行描述．(重点)

2．能运用判定定理解决一些实际问题．(难点)

知识模块一探究等腰三角形的判定定理

【合作探究】

教材p63探究．

通过探究，我们得到等腰三角形的判定定理：

有两个角__相等__的三角形是等腰三角形．(简称为：__等角__对等边)

思考：在三角形中，如果有三个角相等，你能得出什么结论呢？

结合三角形内角和定理得出等边三角形的判定定理：

三个角都是__60°__的三角形是等边三角形．

【自主学习】

1．阅读教材p64例2.2．如图，已知∠eac是△abc的外角，∠1＝∠2，ad∥bc，求证ab＝ac.证明：∵ad∥bc，∴∠1＝∠b，∠2＝∠c.又∵∠1＝∠2，∴∠b＝∠c.∴ab＝ac(等角对等边)．

知识模块二运用等腰三角形的判定定理进行证明和计算

【自主学习】

阅读教材p65例3.【合作探究】

1．如图，在四边形abcd中，ad∥bc，且bd平分∠abc，判断ab与ad是否相等，并说明理由．

解：相等．理由如下：

∵ad∥bc，∴∠adb＝∠dbc.∵bd平分∠abc，∴∠abd＝∠dbc.∴∠adb＝∠abd.∴ab＝ad.2．如图，ab∥ce，ad∥fc，e、a、f在同一直线上，且∠ead＝∠fab.(1)△cef是等腰三角形吗？请说明理由；

(2)想一想：△cef的哪两条边之和等于四边形abcd的周长？并说明理由．

解：(1)△cef是等腰三角形．理由如下：∵ab∥ce，∴∠fab＝∠e.∵ad∥fc，∴∠ead＝∠f.又∵∠ead＝∠fab，∴∠f＝∠e，∴△cef是等腰三角形．

(2)四边形abcd的周长＝fc＋ec.理由如下：∵∠fab＝∠e，∠ead＝∠fab，∴∠e＝∠ead，∴ad＝de.∵∠ead＝∠f，∠ead＝∠fab.∴∠f＝∠fab，∴ab＝bf，∴四边形abcd的周长为：ab＋bc＋cd＋ad＝bf＋bc＋cd＋de＝fc＋ec.活动1小组讨论

例1已知：如图，在△abc中，ab＝ac，点d，e分别是ab，ac上的点，且de∥bc.求证：△ade为等腰三角形．

证明：因为ab＝ac，所以∠b＝∠c.又因为de∥bc，所以∠ade＝∠b，∠aed＝∠c.所以∠ade＝∠aed.所以△ade为等腰三角形．

例2已知：如图，△abc是等边三角形，点d，e分别在ba，ca的延长线上，且ad＝ae.求证：△ade为等边三角形．

证明：因为△abc是等边三角形，所以∠bac＝∠b＝∠c＝60°.所以∠ead＝∠bac＝60°.又因为ad＝ae，所以△ade为等边三角形(有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形)．

活动2跟踪训练

1．已知a，b，c是三角形的三边长，且满足(a－b)2＋|b－c|＝0，则这个三角形一定是(b)

a．直角三角形

b．等边三角形

c．钝角三角形

d．不等边三角形

2．下列命题：①有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形．其中正确的是__①__(只填序号)．

3．如图，△abc为等边三角形，∠1＝∠2＝∠3，试判断△def的形状，并说明理由．

解：△def是等边三角形．理由：∵△abc为等边三角形，∴∠a＝∠b＝∠c＝60°.∵∠fdb＝∠fde＋∠1＝∠a＋∠2，∠1＝∠2.∴∠fde＝∠a＝60°.同理：∠def＝60°，∠dfe＝60°.∴∠fde＝∠def＝∠dfe＝60°，∴△def是等边三角形．

活动3课堂小结

2．4线段的垂直平分线

第1课时线段垂直平分线的性质和判定

1．通过作图，探究、总结、归纳垂直平分线的性质．识记并能用几何语言描述线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理．(重点)

2．会运用垂直平分线的性质定理及其逆定理解决实际问题．(难点)

知识模块一探究线段垂直平分线的性质定理及判定定理

【合作探究】

教材p68探究～p69动脑筋．

如果两点a、a′关于直线l对称，则l是线段__aa′__的垂直平分线；如果l是线段aa′的垂直平分线，则点__a__与点__a′__关于直线l对称．

结合轴对称的性质可以归纳得出线段的垂直平分线的性质定理与判定定理：

1．线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离__相等__．

2．到线段两端距离相等的点在线段的__垂直平分线__上．

【自主学习】

1．如图所示，在rt△abc中，∠acb＝90°，∠b＝30°，ed是bc的垂直平分线，请写出图中相等的线段：__be＝ce，bd＝cd，ae＝ac＝ec＝be__．

2．如图，ad⊥bc于点d，d为bc的中点，连接ab，∠abc的平分线交ad于点o，连接oc，若∠aoc＝125°，则∠abc＝__70°__．

知识模块二运用线段的垂直平分线的判定定理解决问题

【自主学习】

阅读教材p69例题．

【合作探究】

1．如图，在△abc中，ab＝ac，bc＝12，∠bac＝120°，ab的垂直平分线交bc边与点e，垂足为d，ac的垂直平分线交bc边于点n，垂足为m.(1)求△aen的周长；

(2)求∠ean的度数；

(3)判断△aen的形状．

解：(1)根据线段垂直平分线的性质定理得：ae＝be，an＝nc，因此△aen的周长等于bc的长，即△aen的周长为12；

(2)在△abc中，因为∠bac＝120°，ab＝ac，所以∠b＝∠c＝30°，再由题中条件易得∠aen＝2∠b＝60°，∠ena＝2∠c＝60°，所以∠ean＝60°；

(3)由(2)易知△aen是等边三角形．

活动1小组讨论

例已知：如图，在△abc中，ab，bc的垂直平分线相交于点o，连接oa，ob，oc.求证：点o在ac的垂直平分线上．

证明：因为点o在线段ab的垂直平分线上．

所以oa＝ob.同理：ob＝oc.∴oa＝oc.所以点o在ac的垂直平分线上．

活动2跟踪训练

1．如图，直线cd是线段ab的垂直平分线，p为直线cd上的一点，已知线段pa＝5，则线段pb的长度为(b)

a．6

b．5

c．4

d．3

第1题图

第3题图

2．在锐角△abc内一点p满足pa＝pb＝pc，则点p是△abc的(d)

a．三条角平分线的交点

b．三条中线的交点

c．三条高的交点

d．三边垂直平分线的交点

3．如图，在△abc中，ef是ac的垂直平分线，af＝12，bf＝3，则bc＝__15__．

4．到平面内不在同一直线上的三个点a、b、c的距离相等的点有__1__个．

活动3课堂小结

第2课时作线段的垂直平分线

1．知道尺规作图法及其具体要求．

2．会用尺规作线段的垂直平分线以及会写其作法，理解作图的原理．(重难点)

3．会用尺规作直线的垂线以及会写其作法，理解作图的原理．

知识模块一利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线

【合作探究】

教材p70做一做．

1．要作出一条线段的垂直平分线，只要找到线段的垂直平分线上的任意__两__点．

2．线段ab的垂直平分线的作法．

(1)分别以点__a__和点__b__为圆心，以__大于ab__的长为半径作弧，两弧相交于点c和点d；

(2)过点c、d作直线__cd__，则直线__cd__就是线段ab的垂直平分线．

【自主学习】

1．已知线段ab，求作线段ab的中点o.分析：线段的__垂直平分线__经过线段的中点．

作法：作线段ab的垂直平分线cd，交线段ab于点o.点o就是线段ab的中点．

2．教材p72“练习1”．

知识模块二过已知点作已知直线的垂线

【合作探究】

教材p71动脑筋．

【自主学习】

1．已知直线l和l外一点p，利用尺规作l的垂线，使它经过点p。

作法：1.在直线l与点p的另一侧任取一点m，以点p为圆心，以pm的长为半径作弧交直线l于a、b两点；2.分别以点a和点b为圆心，以大于ab的长为半径作弧，两弧相交于点q；3.作直线pq，则直线pq为直线l的垂线．

2．在△abc中，∠c＝90°，用直尺和圆规在ac上求作一点p，使点p到a、b两点的距离相等．(保留作图痕迹，不写作法和证明)．

活动1小组讨论

例1如图，已知线段ab，作线段ab的垂直平分线．

解：作法：①分别以点a，b为圆心，大于ab的长为半径画弧，两弧相交于点c和点d；

②过点c，d作直线cd，则直线cd就是线段ab的垂直平分线．

例2如何过一点p作已知直线l的垂线呢？

解：点p与已知直线l的位置关系有两种：点p在直线l上或点p在直线l外．

(1)当点p在直线l上．作法：

①在直线l上点p的两旁分别截取线段pa，pb，使pa＝pb；

②分别以a，b为圆心，大于ab的长为半径画弧，两弧相交于点c；

③过点c，p作直线cp，则直线cp为所求作的直线．

(2)当点p在直线l外．作法：

①以点p为圆心，大于点p到直线l的距离的线段长为半径画弧，交直线l于点a，b；

②分别以点a，b为圆心，大于ab的长为半径画弧，两弧相交于点c；

③过点c，p作直线cp，则直线cp为所求作的直线．

活动2跟踪训练

1．下列作图属于尺规作图的是(d)

a．画线段mn＝3

cm

b．用量角器画出∠aob的平分线

c．用三角尺作过点a垂直于直线l的直线

d．已知∠α，用没有刻度的直尺和圆规作∠aob，使∠aob＝2∠α

2．△abc的边ab的垂直平分线经过点c，则有(c)

a．ab＝ac

b．ab＝bc

c．ac＝bc

d．∠b＝∠c

活动3课堂小结

→→

2．5全等三角形

第1课时全等三角形及其性质

1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素．

2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等．(重难点)

知识模块一探究全等三角形的性质及读法和写法

【自主学习】

教材p74做一做．

1．能够完全重合的两个图形叫作__全等图形__，能够完全重合的两个三角形叫作__全等三角形__．用“≌”表示两个三角形全等．

2．两个全等三角形