方差的教学反思 方差和标准差教学反思(14篇)

每个人都曾试图在平淡的学习、工作和生活中写一篇文章。写作是培养人的观察、联想、想象、思维和记忆的重要手段。相信许多人会觉得范文很难写？这里我整理了一些优秀的范文，希望对大家有所帮助，下面我们就来了解一下吧。

方差的教学反思 方差和标准差教学反思篇一

怎样的课堂教学是有效的？我们认为：适合的就是有效的；参与度高的就是有效的；有序的就是有效的。从这三个角度我们来审视本节课，我们会有这样一些启发和借鉴：

1、本节课的每一个环节，均紧紧围绕着教学目标进行，提供给学生充分的动手操作与思考、交流的时间、空间，学生的参与度高，教师的主导作用和学生的主体地位把握地恰当、到位。

2、本节课采取的教学组织形式，以学生操作和独立思考为主，从概念的建立形成到，总是将学生自主的思想与操作贯穿始终，重视学生自我经验的积累和丰富，把方差概念的形成作一步步引导，在知识形成的过程中又可以把学生存在的疑问解决到位。这种学习方式和节奏，符合学生的认知心理和规律。

3、在合作探索中体现了一个数形结合的思想方法，而且利用变式，知识有一定的梯度性。

另外在探讨方差的过程中，对于求差后出现有正有负的情况，有些同学首先想到求这些差的绝对值，对此在教学中虽然给予了肯定，但对于这种方法与平方相比的劣势解释不够清楚，需要思考分析，用更简洁的语言来解释。

但在教学过程中计算的过程可以时间节省些，在最后的环节的处理上还不够到位，学生的反映不够积极，课堂的活跃程度不够。这需要在今后的教学过程中继续加强锻炼。

方差的教学反思 方差和标准差教学反思篇二

《初中数学课程标准》中提出，学生的数学学习应当是一个生动、活泼，富有个性的过程。要让学生经历数学知识的形成过程。明确指出学生的数学学习内容应当是有意义的、富有挑战性的，要有利于学生主动地进行观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动。倡导动手实践、自主探索、与合作交流等学习数学的重要方式。

1.教材背景分析：“方差”属于数学中的概率统计范畴，它的特点是与生产及日常生活中的实际问题紧密联系，对学生统计观念的形成有着举足轻重的作用。本节课是由国家射击队选拔运动员的问题引入的。创设了一个很好的问题情境和统计知识的背景。当学生通过讨论发现用已有的数学知识无法很好解决这个问题时，就会思考该如何从其他角度入手解决问题，这对培养学生的创新意识是十分有好处的。

2.学生背景分析：学生已经学习了描述一组数据的集中趋势的特征数（平均数、众数、中位数），已经会求平均数、众数、中位数，对它们可以表示数据的集中趋势有所体会。对统计含义有了一定了解。极差和方差是描述数据离散程度的特征数。研究一组数据，通常研究它的集中趋势和离散程度。在这个背景下，复习原有知识，学习新知识，使学生对分析数据的知识和方法形成整体认识。

本节课沿着实际问题的提出——产生方差的必要性——方差公式的探索和推导——方差公式的使用——解决实际问题——巩固练习——总结反思，这样的主线设计的。在探索方差概念之前，创设问题情境，回忆相关概念，明确新的学习方向，提出方差产生的必要性。在探索过程中，辅以学生小组活动、探索实践等活动，始终以学生的学习过程为主体，在学生独立思考和合作交流的基础上有针对性地引导，使学生在学习活动中发现、获得知识，体会数学知识在实际生活中的广泛应用。学习过程中还穿插了一组课堂练习，目的在于及时评价和落实学生的学习成果。

在解决引例问题时，通过对数据的分析，发现以前学过的统计知识不能解决新问题，引出矛盾。这里设计了小组讨论的环节，让学生在交流中得到启发，进而使学生的思维发生碰撞，产生创新的火花，真正体现“不同的人，在数学上得到不同的发展”。本节课的重点是方差公式的推导。当平均水平相同时，就要分析数据的稳定性。而画折线图是学生比较熟悉的能直观的反映数据波动大小的方法，因此在这个环节设计了让学生动手画图实践，锻炼了学生画图的能力，从中体会画折线图是描述数据波动大小的一种方法，进而引出如何用数值表示一组数据的波动。再推到过程中关键是怎么解决“正负抵消”的问题。求平均数的方法是学生比较熟悉的方法。我向学生完整地展示了利用平均差衡量数据波动大小的方法。进一步引导学生得出用平方的方法解决非负的问题。层层设疑，步步推进，教师和学生一起解决问题，确定知识点，使学生在一次次的解决问题中体会方差概念的发生发展形成过程。

在教学处理中层层设疑，步步推进的设置问题。引导学生探索知识的形成过程比较成功，给学生搭建了比较广阔的思维平台。在推导方差公式时，将问题细化，设置了四个问题：

1.用数值怎样表示一次成绩偏离平均数的程度？

2.怎样表示10次成绩偏离平均数的程度？

3.平均水平之上的数减去平均数是正数，平均水平以下的数减去平均数是负数。直接相加就会“正负抵消”，和为0.为了避免“正负抵消”的问题怎么办？

4.如果两组数据不一样多，怎么解决数据个数的影响？

使学生的思维活动得到了充分的展示。另外利用媒体解决大量的计算问题，为推导公式，解决重点赢得了时间，感觉效果也不错。

通过这节课的教学，让我深刻的体会到只要我们充分相信学生，给学生以最大的自主探索空间，让学生经历数学知识的探究过程，这样既能让学生自主获取数学知识与技能，而且还能让学生达到对知识的深层次理解，更主要的是能让学生在探究过程中学习科学研究的方法，从而增强学生的自主意识，培养学生的探索精神和创新思维。

方差的教学反思 方差和标准差教学反思篇三

“方差”属于数学中的概率统计范畴，它的特点是与生产及日常生活中的实际问题紧密联系，对学生统计观念的形成有着举足轻重的作用。实现教学目标的措施。为了使学生对分析数据的知识和方法形成整体认识，本节课沿着实际问题的提出——产生方差的必要性——方差公式的探索和推导——方差公式的使用——解决实际问题——巩固练习——总结反思，这样的主线设计的。

问题的提出：课本是由国家射击队选拔运动员的问题引入的，创设了一个很好的问题情境和统计知识的背景，但数据比较复杂。所以我改用了甲、乙两人五次考试的成绩，甲：85，90，90，90，95；乙：95，85，95，85，90；那学生计算起来比较简单。

方差公式的探索和推导：学生会对下列问题有疑惑：为什么不能用各个数据与其平均数的差的和来衡量这组数据的波动大小呢？

1、求平均数：甲=90，甲同学成绩与平均成绩的差=0

乙=90，乙同学成绩与平均成绩的差=0

所以不能用各个数据与其平均数的差的和来衡量这组数据的波动大小。

2、为了防止正、负偏差的相互抵消，为什么对各数据与其平均数的差不取其绝对值，而将其平方呢？各数据与其平均数的差不取其绝对值，而将其平方后还是不能比较它们波动的大小。

3、如果两组数据不一样多，怎么解决数据个数的影响？

可去掉甲中的一个90分。从而推导出方差的概念和公式。

这样层层设疑，步步推进，教师和学生一起解决问题，确定知识点，使学生在一次次的解决问题中体会方差概念的发生发展形成过程。学生对于公式比较难记住，可让学生分成四个步骤：①求平均数②求差③求差的平方和④再求平均数。

解决实际问题：为了培养学生会应用方差解决实际问题的能力，在对例1的教学中，我始终只做一个引领者，学生是解决问题的主人。在解决问题时，学生会容易漏写最后两步，因为<，所以甲比乙更整齐。

巩固练习：学生独立完成课本后的练习，时间充裕的时候还可以多在练习册上练几题。加深学生对方差的理解和提高他们运用知识的能力。

以上过程中，老师自始至终地充当引导者，由浅入深、层层递进的教学风格，注重培养了学生的能力和良好的学习态度，很好地完成了这节课的教学任务，达到了既定的教学目标。更主要的是能让学生在探究过程中学习科学研究的方法，从而增强学生的自主意识，培养学生的探索精神和创新思维。

心得体会：

1、创造性的用教材，在使用教材的过程中融入了自己的科学精神和智慧，对教材知识进行重组和整合，选取了更好的内容对教材深加工。

2、整个教学活动始终建立在学生的认识发展水平和已有的知识经验基础之上的，体现了学生学习的过程是在教师的引导下自我建构、自我生成的过程。

3、在整个过程中，老师自始至终地充当引导者，由浅入深、层层递进，学生作为学习的主人，注重学生能力的培养和探究精神。

4、比较遗憾的是时间把握不是很好，学生的巩固练习做得比较少。应在讲课时节奏更紧凑，可让学生有更多的时间练习。

方差的教学反思 方差和标准差教学反思篇四

本节课通过对实际问题的讨论，使学生理解用方差和标准差来描述一组数据的稳定程度的合理性，并通过全体学生参与数学问题的解决，使学生体会科学探究的方法，培养学生学科学、用科学、爱科学的科学态度。但在实际教学中，有些同学懒于动脑，不愿动手，只是在盲从其他同学的思路，缺乏学习兴趣和动力，需要特别关注，给予激励。

怎样的课堂教学是有效的？我们认为：适合的就是有效的；参与度高的就是有效的；有序的就是有效的。从这三个角度我们来审视本节课，我们会有这样一些启发和借鉴：

1、本节课的每一个环节，均紧紧围绕着教学目标进行，提供给学生充分的动手操作与思考、交流的时间、空间，学生的参与度高，教师的主导作用和学生的主体地位把握地恰当、到位。

2、本节课采取的教学组织形式，以学生操作和独立思考为主，从概念的建立形成到，总是将学生自主的思想与操作贯穿始终，重视学生自我经验的积累和丰富，把方差概念的形成作一步步引导，在知识形成的过程中又可以把学生存在的疑问解决到位。这种学习方式和节奏，符合学生的认知心理和规律。

3、在合作探索中体现了一个数形结合的思想方法，而且利用变式，知识有一定的梯度性。

另外在探讨方差的过程中，对于求差后出现有正有负的情况，有些同学首先想到求这些差的绝对值，对此在教学中虽然给予了肯定，但对于这种方法与平方相比的劣势解释不够清楚，需要思考分析，用更简洁的语言来解释。

但在教学过程中计算的过程可以时间节省些，在最后的环节的处理上还不够到位，学生的反映不够积极，课堂的活跃程度不够。这需要在今后的教学过程中继续加强锻炼。电能教学反思地理教学反思案例低年级识字教学反思

方差的教学反思 方差和标准差教学反思篇五

朱村中学 丁进广

“方差”属于数学中的概率统计范畴，它的特点是与生产及日常生活中的实际问题紧密联系，对学生统计观念的形成有着举足轻重的作用。教学目标：1、理解方差的意义，会用方差公式求样本数据的方差2、通过对实际问题的探究，形成方差的概念3、以积极情感态度，探索问题，进而体会数学应用的科学价值。教学的重点是：方差概念形成过程，难点：方差概念形成过程

一、实现教学目标的措施

为了使学生对分析数据的知识和方法形成整体认识，本节课沿着实际问题的提出――产生方差的必要性――方差公式的探索和推导――方差公式的使用――解决实际问题――巩固练习――总结反思，这样的主线设计的。

问题的提出：课本是由国家射击队选拔运动员的问题引入的，创设了一个很好的问题情境和统计知识的背景，但数据比较复杂。所以我改用了甲、乙两人五次考试的成绩，甲：85，90，90，90，95；乙：95，85，95，85，90；那学生计算起来比较简单。

方差公式的探索和推导：学生会对下列问题有疑惑：1．为什么不能用各个数据与其平均数的差的和来衡量这组数据的波动大小呢？

1、求平均数： 甲=90，甲同学成绩与平均成绩的差=0

乙=90，乙同学成绩与平均成绩的差=0

所以不能用各个数据与其平均数的差的和来衡量这组数据的波动大小。

2、为了防止正、负偏差的相互抵消，为什么对各数据与其平均数的差不取其绝对值，而将其平方呢？

各数据与其平均数的差不取其绝对值，而将其平方后还是不能比较它们波动的大小。

3、如果两组数据不一样多，怎么解决数据个数的影响？

可去掉甲中的一个90分。从而推导出方差的概念和公式。

这样层层设疑，步步推进，教师和学生一起解决问题，确定知识点，使学生在一次次的解决问题中体会方差概念的发生发展形成过程。

学生对于公式比较难记住，可让学生分成四个步骤：①求平均数②求差③求差的平方和④再求平均数。

解决实际问题：为了培养学生会应用方差解决实际问题的能力，在对例1的教学中，我始终只做一个引领者，学生是解决问题的主人。在解决问题时，学生会容易漏写最后两步。

巩固练习：学生独立完成课本后的练习，时间充裕的时候还可以多在练习册上练几题。加深学生对方差的理解和提高他们运用知识的能力。

以上过程中，老师自始至终地充当引导者，由浅入深、层层递进的教学风格，注重培养了学生的能力和良好的学习态度，很好地完成了这节课的教学任务，达到了既定的教学目标。更主要的是能让学生在探究过程中学习科学研究的方法，从而增强学生的自主意识，培养学生的探索精神和创新思维。

二、心得体会

1、创造性的用教材，在使用教材的过程中融入了自己的科学精神和智慧，对教材知识进行重组和整合，选取了更好的内容对教材深加工。

2、整个教学活动始终建立在学生的认识发展水平和已有的知识经验基础之上的，体现了学生学习的过程是在教师的引导下自我建构、自我生成的过程。

3、在整个过程中，老师自始至终地充当引导者，由浅入深、层层递进，学生作为学习的主人，注重学生能力的培养和探究精神。

方差的教学反思 方差和标准差教学反思篇六

素质教育目标

（一）知识教学点

使学生了解方差、标准差的意义，会计算一组数据的方差与标准差.

（二）能力训练点

1第一文库网．培养学生的计算能力.

2．培养学生观察问题、分析问题的能力，培养学生的发散思维能力.

（三）德育渗透点

1．培养学生认真、耐心、细致的学习态度和学习习惯.

2．渗透数学来源于实践，又反过来作用于实践的观点.

（四）美育渗透点

通过本节课的教学，渗透了数学知识的抽象美及反映在图像上的形象美，激发学生对美好事物的追求，提高学生对数学美的鉴赏力.

重点・难点・疑点及解决办法

1．教学重点：方差概念.

2．教学难点：方差概念.

3．教学疑点：学生不易理解为什么要用方差去描述一组数据的波动大小，为什么不可以用各数据与其平均数的差的来和来衡量这组数据的波动大小呢？为什么对各数据与其平均数的差不取其绝对值，而将其平方呢？对这些问题教师在剖析方差定义时要讲清楚.

4．解决办法：教师要讲清方差，标准差的意义，即它们都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小，我们所研究的仅是这两组数据的个数相等，平均数相等或比较接近时的情况.

教学步骤

（一）明确目标

前面我们学习了平均数、众数及中位数，它们都是描述一组数据的集中趋势的量，这节课我们将进一步学习衡量样本（或一组数据）和总体的另一类特征数――方差、标准差及其计算.

这种开门见山式引入课题，能迅速将学生的注意力集中起来，进入新课讲解.

（二）整体感知

对于一组数据来说，我们除了关心它的集中趋势以外，还关心它的波动大小.衡量这个波动大小的最常用的特征数，就是方差和标准差.

（三）教学过程

1．请同学们看下面的问题：（用幻灯出示）

两台机床同时生产直径是40毫米的零件，为了检验产品质量，从产品中各抽出10件进行测量，结果如下（单位：毫米）

机床甲

40

39．8

40．1

40．2

39．9

40

40．2

39．8

40．2

39．8

机床乙

40

40

39．9

40

39．9

40．2

40

40．1

40

39．9

上面表中的数据如图所示

教师引导学生观察表格中的数据和图，提出问题：怎样能说明在使所生产的10个零件的直径符合规定方面，哪个机床做得好呢？

对于这个问题，学生会马上想到计算它们的平均数．教师可把学生分成两级分别计算这两组数据的平均数．（请两名同学到黑板计算）

计算的结果说明两组数据的平均数都等于规定尺寸40毫米．这时教师引导学生思考，这能说明两个机床做的一样好吗？不能！我们再观察上图（给学生充分的时间观察，找出左右两图的区别）从图中看到，机床甲生产的零件的直径与规定尺寸偏差较大，偏离40毫米线较多；机床乙生产的零件的直径与规定尺寸偏差较小，比较集中在40毫米线的附近．这 说明，在使所生产的10个零件的直径符合规定方面，机床乙比机床甲要好．

教师说明：从上面看到，对于一组数据，除需要了解它们的平均水平外，还常常需要了解它们的波动大小（即偏离平均数的大小）．

通过引例的学习，使学生理解为什么要研究数据波动的大小，为提出方差概念做好了准

2．方差概念

教师讲解，为了描述一组数据的波动大小，可以采用不止一种办法，例如，可以先求得个数据与这组数据的平均数的差的绝对值，再取其平均数，用这个平均数来衡量这组数据的波动大小，通常，采用的是下面的做法：

设在一组数据 中，各数据与它们的平均数 的差的平方分别是 ，那么我们用它们的平均数，即用

③

来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差．一组数据方差越大，说明这组数据波动越大．教师要剖析公式中每一个元素的意义，以便学生理解和掌握．

在学生理解方差概念时，可能会提出疑问：为什么要这样定义方差？（教师说明，在表示各数据与其平均数的倔离程度时，为了防止正偏差与负偏差的相互抵消）为什么对各数据与其平均数的差不取其绝对值，而要将它们平方？（教师说明，这主要是因为在很多问题里，含有绝对值的式子不便于运算，且在衡量一组数据波动大小的“功能”上，方差更强些）为什么要除以数据个数n？（是为了消除数据个数的影响）．

在学生理解了方差概念之后，再回到了引例中，通过计算机床甲、乙两组数据的`方差，再根据理论说明哪个机床做得更好．

教师范解

从 知道，机床甲生产的10个零件直径比机床乙生产的10个零件直径波动要大.

这样做使学生深刻体会到数学来源于实践，又反过来作用实践，不仅使学生对学习数学产生浓厚的兴趣，而且培养了学生应用数学的意识.

3．例1 （用幻灯出示）已知两组数据：

甲：9.9 10.3 9.8 10.1 10.4 10 9.8 9.7

乙：10.2 10 9.5 10.3 10.5 9.6 9.8 10.1

分别计算这两组数据的方差.

让学生自己动手计算，求平均数时激发学生用简化公式计算，找一名好学生到黑板计算. 解：根据公式②（取 ），有

从 知道，乙组数据比甲组数据波动大.

4．标准差概念

在有些情况下，需要用到方差的算术平方根

④

并把它叫做这组数据的标准差.它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量. 教师引导学生分析方差与标准差的区别与联系：

计算标准差要比计算方差多开一次平方，但它的度量单位与原数据一致，有时用它比较方便.

课堂练习教材p165中（1）、（2）

（四）总结、扩展

知识小结：通过这节课的学习，使我们知道了对于一组数据，有时只知道它的平均数还不够，还需要知道它的波动大小；而描述一组数据的波动大小的量不止一种，最常用的是方差和标准差.方差与标准差这两个概念既有联系又有区别.

方法小结：求一组数据方差的方法；先求平均数，再利用③求方差，求一组数据标准差的方法：先求这组数据的方差，然后再求方差的算术平方根.

布置作业

教材p173中1，2（1）（2）

板书设计

14．3 方差（一）

方差公式③ 引例 例1

标准差公式④

方差的教学反思 方差和标准差教学反思篇七

方差与标准差教学反思

一.教学目标

1.经历刻画数据离散程度的探索过程，感受表示数据离散程度的必要性.

2.掌握方差和标准差的概念，卉计算方差和标准差，理解它们的统计意义.

3.经历探索极差、方差的应用过程，体会数据波动中的极差、方差的求法时以及区别，积累统计经验.

二.要点梳理

1.我们知道极差只能反映一组数据中两个 之间的大小情况，而对其他数据的波动情况不敏感.

2.描述一组数据的离散程度可以采取许多方法，在统计中常采用先求这组数据的 ，再求这组数据与 的差的 的平均数，用这个平均数来衡量这组数据的波动性大小

3.设在一组数据x1，x2，x3，x4，xn中，各数据与它们的平均数 的差的平方分别是(x1- )2，(x2- )2，(x3- )2，，(xn- )2,,那么我们求它们的平均数，即用s2= .

4.一组数据方差的算术平方根叫做这组数据的 。

5.方差是描述一组数据 的特征数，可通过比较其大小判断波动的大小，方差 说明数据越稳定，

6.为什么要这样定义方差?

7.为什么要除以数据的个数n?

8.标准差与方差的区别和联系?

三.问题探究

知识点1. 探究计算数据方差和标准差的必要性

例1.质检部门从a、b两厂生产的乒乓球中各抽取了10只，对这些乒乓球的直径进行了检测，结果如下(单位：mm)

a厂： 40.0 ， 39.9 ， 40.0 ， 40.1 ， 40.2 ， 39.8 ， 40.0 ， 39.9 ， 40.0 ， 40.1

b厂： 39.8 ， 40.2 ， 39.8 ， 40.2 ， 39.9 ，40.1 ， 39.8 ， 40.2 ， 39.8 ， 40.2

思考探索：1、请你算一算它们的平均数和极差?

2、根据它们的平均数和极差，你能断定这两个厂生产的乒乓球直径同样标准吗?

3、观察根据上面数据绘制成的下图，你能发现哪组数据较稳定吗?

直径/mm 直径/mm

a厂 b厂

知识点2.如何计算一组数据的方差和标准差

例2.在一组数据中x1、x2、x3xn中，它们与平均数的差的平方是(x1- )2, (x2- )2 , (x3- )2 , , (xn- )2 .我们用它们的平均数，即用s2=1n [(x1- )2+(x2- )2 +(x3- )2+(xn- )2 ]来描述这组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的 .

在有些情况下，需要用方差的算术平方根，即 来描述一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差.

【变式】甲、乙两台机床生产同种零件，10天出的次品分别是：

甲：0、1、0、2、2、0、3、1、2、4

乙：2、3、1、2、0、2、1、1、2、1

分别计算出两个样本的平均数和方差，根据你的计算判断哪台机床的`性能较好?

知识点3.

例3.已知，一组数据x1,x2,，xn的平均数是10，方差是2，

①数据x1+3,x2+3,，xn+3的平均数是 方差是 ，

②数据2x1,2x2,，2xn的平均数是 方差是 ，

③数据2x1+3,2x2+3,，2xn+3的平均数是 方差是 ，

你能找出数据的变化与平均数、方差的关系吗?

四.课堂操练

1、一组数据： ， ，0， ，1的平均数是0，则 = .方差 .

2、如果样本方差 ，

那么这个样本的平均数为 .样本容量为 .

3、已知 的平均数 10，方差 3，则 的平均数为 ，方差为 .

4、样本方差的作用是 ( )

a、估计总体的平均水平b、表示样本的平均水平

c、表示总体的波动大小 d、表示样本的波动大小，从而估计总体的波动大小

5、小明和小兵10次100m跑测试的成绩(单位：s)如下： ( )

小明：14.8 , 15.5 , 13.9 , 14.4 , 14.1 , 14.7 , 15.0 , 14.2 , 14.9 , 14.5

小兵：14.3 , 15.1 ，15.0 ，13.2 ，14.2 ，14.3 , 13.5 , 16.1 , 14.4 , 14.8

如果要从他们两人中选一人参加学校田径运动会，那么应该派谁去参加比赛?

6、甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击10次，他们的平均成绩均为7环，10次射击的方差分别分别是3和1.2。设问射击成绩较为稳定的是谁?

五.课外拓展

一、填空题

1、随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为： ， ， ， ，则小麦长势比较整齐的试验田是 .

2、样本数据3，6， , 4，2的平均数是3，则这个样本的方差是 .

3、数据 , , ， 的平均数为 ，标准差为5，那么各个数据与 之差的平方和为_________.

4、已知数据1，2，3，4，5的方差为2，则11，12，13，14，15的方差为_________ ，标准差为_______ 。

5、已知一组数据-1、x、0、1、-2的平均数为0，那么这组数据的方差是 。

6、若一组数据的方差是1，则这组数据的标准差是 。若另一组数据的标准差是2，则方差是 。

7、一组数据的方差是0，这组数据的特点是 ;方差能为负数吗?

二、选择题

8、甲乙两人在相同的条件下各射靶10次，他们的环数的方差是s甲2=2.4，s乙2=3.2，则射击稳定性是( )

a.甲高 b.乙高 c.两人一样多 d.不能确定

9、若一组数据 ， ，， 的方差是5，则一组新数据 ， ，， 的方差是 ( )

a.5 b.10 c.20 d.50

10.在统计中，样本的标准差可以反映这组数据的 ( )

a.平均状态 b.分布规律 c.离散程度 d.数值大小

11、已知甲、乙两组数据的平均数分别是 ， ，方差分别是 ， ，比较这两组数据，下列说法正确的是 ( )

a.甲组数据较好 b.乙组数据较好 c.甲组数据的极差较大 d.乙组数据的波动较小

12、下列说法正确的是 ( )

a.两组数据的极差相等，则方差也相等 b.数据的方差越大，说明数据的波动越小

c.数据的标准差越小，说明数据越稳定 d.数据的平均数越大，则数据的方差越大

13、对甲、乙两同学100米短跑进行5次测试，他们的成绩通过计算得; 甲= 乙，s2甲=0.025,s2乙=0.026,下列说法正确的是 ( )

a、甲短跑成绩比乙好 b、乙短跑成绩比甲好

c、甲比乙短跑成绩稳定 d、乙比甲短跑成绩稳定

14、数据70、71、72、73、74的标准差是 ( )

a、b、2 c、d、

三、解答题(每题10分，共30分)

16、若一组数据 , ， , 的平均数是2，方差为9，则数据 ， ，， 的平均数和标准差各是多少?

17、在一次投篮比赛中，甲、乙两人共进行五轮比赛，每轮各投10个球，他们每轮投中的球数如下表：

轮次 一 二 三 四 五

甲投中(个) 6 8 7 5 9

乙投中(个) 7 8 6 7 7

(1)甲在五轮比赛中投中球数的平均数是 ，方差是 ;

(2)乙在五轮比赛中投中球数的平均数是 ，方差是 ;

(3)通过以上计算，你认为在比赛中甲、乙两人谁的发挥更稳定些

方差的教学反思 方差和标准差教学反思篇八

教学设计示例1

第一课时

素质教育目标

（一）知识教学点

使学生了解、标准差的意义，会计算一组数据的与标准差.

（二）能力训练点

1．培养学生的计算能力.

2．培养学生观察问题、分析问题的能力，培养学生的发散思维能力.

（三）德育渗透点

1．培养学生认真、耐心、细致的学习态度和学习习惯.

2．渗透数学来源于实践，又反过来作用于实践的观点.

（四）美育渗透点

通过本节课的教学，渗透了数学知识的抽象美及反映在图像上的形象美，激发学生对美好事物的追求，提高学生对数学美的鉴赏力.

重点·难点·疑点及解决办法

1．教学重点：概念.

2．教学难点 ：概念.

3．教学疑点：学生不易理解为什么要用去描述一组数据的波动大小，为什么不可以用各数据与其平均数的差的来和来衡量这组数据的波动大小呢？为什么对各数据与其平均数的差不取其绝对值，而将其平方呢？对这些问题教师在剖析定义时要讲清楚.

4．解决办法：教师要讲清，标准差的意义，即它们都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小，我们所研究的仅是这两组数据的个数相等，平均数相等或比较接近时的情况.

教学步骤

（一）明确目标

前面我们学习了平均数、众数及中位数，它们都是描述一组数据的集中趋势的量，这节课我们将进一步学习衡量样本（或一组数据）和总体的另一类特征数——、标准差及其计算.

这种开门见山式引入课题，能迅速将学生的注意力集中起来，进入新课讲解.

（二）整体感知

对于一组数据来说，我们除了关心它的集中趋势以外，还关心它的波动大小.衡量这个波动大小的最常用的特征数，就是和标准差.

（三）教学过程

1．请同学们看下面的问题：（用幻灯出示）

两台机床同时生产直径是40毫米的零件，为了检验产品质量，从产品中各抽出10件进行测量，结果如下（单位：毫米）

机床甲

40

39．8

40．1

40．2

39．9

40

40．2

39．8

40．2

39．8

机床乙

40

40

39．9

40

39．9

40．2

40

40．1

40

39．9

上面表中的数据如图所示

教师引导学生观察表格中的数据和图，提出问题：怎样能说明在使所生产的10个零件的直径符合规定方面，哪个机床做得好呢？

对于这个问题，学生会马上想到计算它们的平均数．教师可把学生分成两级分别计算这两组数据的平均数．（请两名同学到黑板计算）

计算的结果说明两组数据的平均数都等于规定尺寸40毫米．这时教师引导学生思考，这能说明两个机床做的一样好吗？不能！我们再观察上图（给学生充分的时间观察，找出左右两图的区别）从图中看到，机床甲生产的零件的直径与规定尺寸偏差较大，偏离40毫米线较多；机床乙生产的零件的直径与规定尺寸偏差较小，比较集中在40毫米线的附近．这

说明，在使所生产的10个零件的直径符合规定方面，机床乙比机床甲要好．

教师说明：从上面看到，对于一组数据，除需要了解它们的平均水平外，还常常需要了解它们的波动大小（即偏离平均数的大小）．

通过引例的学习，使学生理解为什么要研究数据波动的大小，为提出概念做好了准

备．

2．概念

教师讲解，为了描述一组数据的波动大小，可以采用不止一种办法，例如，可以先求得各个数据与这组数据的平均数的差的绝对值，再取其平均数，用这个平均数来衡量这组数据的波动大小，通常，采用的是下面的做法：

设在一组数据 中，各数据与它们的平均数 的差的平方分别是 ，那么我们用它们的平均数，即用

③

来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的．一组数据越大，说明这组数据波动越大．教师要剖析公式中每一个元素的意义，以便学生理解和掌握．

在学生理解概念时，可能会提出疑问：为什么要这样定义？（教师说明，在表示各数据与其平均数的倔离程度时，为了防止正偏差与负偏差的相互抵消）为什么对各数据与其平均数的差不取其绝对值，而要将它们平方？（教师说明，这主要是因为在很多问题里，含有绝对值的式子不便于运算，且在衡量一组数据波动大小的“功能”上，更强些）为什么要除以数据个数

n

在学生理解了概念之后，再回到了引例中，通过计算机床甲、乙两组数据的，再根据理论说明哪个机床做得更好．

教师范解

从 知道，机床甲生产的10个零件直径比机床乙生产的10个零件直径波动要大.

这样做使学生深刻体会到数学来源于实践，又反过来作用实践，不仅使学生对学习数学产生浓厚的兴趣，而且培养了学生应用数学的意识.

3．例1 （用幻灯出示）已知两组数据：

甲：9.9 10.3 9.8 10.1 10.4 10 9.8 9.7

乙：10.2 10 9.5 10.3 10.5 9.6 9.8 10.1

分别计算这两组数据的.

让学生自己动手计算，求平均数时激发学生用简化公式计算，找一名好学生到黑板计算.

解：根据公式②（取 ），有

从 知道，乙组数据比甲组数据波动大.

4．标准差概念

在有些情况下，需要用到的算术平方根

④

并把它叫做这组数据的标准差.它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量.

教师引导学生分析与标准差的区别与联系：

计算标准差要比计算多开一次平方，但它的度量单位与原数据一致，有时用它比较方便.

课堂练习  教材p165中（1）、（2）

（四）总结、扩展

知识小结：通过这节课的学习，使我们知道了对于一组数据，有时只知道它的平均数还不够，还需要知道它的波动大小；而描述一组数据的波动大小的量不止一种，最常用的是和标准差.与标准差这两个概念既有联系又有区别.

方法小结：求一组数据的方法；先求平均数，再利用③求，求一组数据标准差的方法：先求这组数据的，然后再求的算术平方根.

布置作业

教材p173中1，2（1）（2）

板书设计 

14．3  （一）

公式③ 引例 例1

标准差公式④

教学设计示例2

一、教学目的

1．使学生了解、标准差的意义，会计算一组数据的与标准差．

2．使学生了解样本、样本标准差、总体的意义．

二、教学重点、难点

重点：、标准差、样本、样本标准差、总体的意义．

难点：样本、样本标准差的计算．

三、教学过程

复习提问

计算一组数据的平均数有哪些方法？

引入新课

在很多实际问题中，只知道一组数据的平均数是不够的，还需要知道这组数据的波动大小．如何了解数据的波动大小？这正是我们要解决的问题．

新课

引例 两台机床同时生产直径是40毫米的零件．为了检验产品质量，从产品中抽出10件进行测量，结果如下(单位：毫米)：

表中数据表成如下形式：

可在此处让学生用公式②分别计算这两组数据的平均数(还可提问学生a取什么值最好，这样学生能在教师的启发下得到a=40最合适)．当学生算出如下平均数：

让学生思考，两组数据的平均数都等于规定尺寸40毫米时，甲、乙两机床性能是否都一样好？提出问题让学生议议后，再引导学生看图1，让学生认识到“机床甲生产的零件的直径与规定尺寸编差较大，偏离40毫米线较多；机床乙生产的零件的直径与规定尺寸的偏差较小，比较集中在40毫米线的附近．”这说明，在使所生产的10个零件的直径符合规定方面，机床乙比机床甲要好．

这反映出，对一组数据，除需要了解它们的平均水平以外，还常常需要了解它们的波动大小(即偏离平均数的大小)．

在此处要告诉学生：描述一组数据的波动大小，可以采用不止一种办法．本课介绍即是一种方法．即：

来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的．

要强调“一组数据越大，说明这组数据波动越大”．条件许可时，还可介绍③式可表示为：

接下来可以请两个学生计算引例中机床甲、乙两组数据的．

从0.026＞0.008可以比较出，机床甲生产的10个零件直径比机床乙生产的10个零件直径波动要大．(接下来教师再给出如下例题．)

例1 已知两组数据：

分别计算这两组数据的．

讲此例后，要强调求解步骤为：

(1)求平均数；(2)求；(3)比较得出结论．

此后接前面问题说，用来衡量一组数据的波动的方法还可用一组数据的标准差，即

公式④(即标准差)也是用来衡量一组数据波动大小的重要的量．

在本节引例中，两组数据的标准差，可让学生算一下，得出：

说明：计算标准差要比计算多开一次平方，但它的度量单位与原数据一致，有时用它比较方便．

小结

1．本课学了计算一组数据的的公式③．

2．本课在的基础上又学了计算一组数据的标准差的公式④．

练习：选用课本练习题．

作业 ：选用课本习题．

四、教学注意问题

要注意通过例题讲好求题目的解题格式．

教学设计示例3

一、教学目的

1．使学生进一步理解、标准差的意义．

2．使学生掌握利用简化公式计算一组数据的的方法．

3．使学生会根据同类问题两组数据的(或标准差)比较两组数据的波动情况．

二、教学重点、难点

重点：简化计算一组数据的公式．

难点：利用(或标准差)比较两组数据的波动情况．

三、教学过程

复习提问

1．什么是一组数据的、标准差？

2．一组数据的和标准差应如何计算？

引入新课

我们看到，用公式③计算一组数据的比较麻烦．那么，有否较简便的计算方法呢？

新课

教师应在黑板上进行如下推导：

推导上述公式后，可让学生仿①～④四个公式的方法归纳推理出如下结论：

一般地，如果一组数据的个数是n，那么它们的可以用下面的公式计算：

在这时，教师要强调：当一组数据中的数较小时，用公式⑤计算比公式③计算少了求各数据与平均数的差一步，因此比较方便．

例2 计算下面数据的(结果保留到小数点后第1位)：

3 -1 2 1 -3 3

教师可让学生共同来完成此例．

接下来教师按教材指出，当一组数据较大时，可按下述公式计算：

其中x1=x1-a，x2=x2-a，…，xn=xn-a，x1，x2，…，xn是原已知的n个数据，a是接近这组数据的平均数的一个常数．

为使学生对公式⑥加深印象，可让学生用公式⑥解下例．

例3 甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测验成绩如下(单位：分)：

哪个小组学生的成绩比较整齐？

解后，指出解题步骤有如下三步：

(3)代入公式⑥计算并比较得解．

小结

1．本课介绍了当一组数据中的数值较小时，用以计算的简化计算公式⑤．

2．本课又学习了当一组数据中的数值较大时，用以计算的简化公式⑥．

练习：选用课本练习题．

作业 ：选用课本习题．

补充作业

2．甲、乙两组数据的之和为13，标准差之和为5，且甲的波动比乙的波动大，求它们各自的标准差．(答案：s甲=3，s乙=2．)

3．在某次数学考试中，甲、乙两校各8个班，不及格的人数分别如下：

分别计算这两组数据的平均数与．

四、教学注意问题

要注意给学生讲如下三点：

1．与标准差是衡量样本和总体波动大小的特征数．

2．用简化计算公式求较为方便．

3．对同类问题的两组数据，小的波动小、大的波动大．

方差的教学反思 方差和标准差教学反思篇九

教学设计示例1

第一课时

素质教育目标

（一）知识教学点

使学生了解、标准差的意义，会计算一组数据的与标准差.

（二）能力训练点

1．培养学生的计算能力.

2．培养学生观察问题、分析问题的能力，培养学生的发散思维能力.

（三）德育渗透点

1．培养学生认真、耐心、细致的学习态度和学习习惯.

2．渗透数学来源于实践，又反过来作用于实践的观点.

（四）美育渗透点

通过本节课的教学，渗透了数学知识的抽象美及反映在图像上的形象美，激发学生对美好事物的追求，提高学生对数学美的鉴赏力.

重点·难点·疑点及解决办法

1．教学重点：概念.

2．教学难点：概念.

3．教学疑点：学生不易理解为什么要用去描述一组数据的波动大小，为什么不可以用各数据与其平均数的差的来和来衡量这组数据的波动大小呢？为什么对各数据与其平均数的差不取其绝对值，而将其平方呢？对这些问题教师在剖析定义时要讲清楚.

4．解决办法：教师要讲清，标准差的意义，即它们都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小，我们所研究的仅是这两组数据的个数相等，平均数相等或比较接近时的情况.

教学步骤

（一）明确目标

前面我们学习了平均数、众数及中位数，它们都是描述一组数据的集中趋势的量，这节课我们将进一步学习衡量样本（或一组数据）和总体的另一类特征数——、标准差及其计算.

这种开门见山式引入课题，能迅速将学生的注意力集中起来，进入新课讲解.

（二）整体感知

对于一组数据来说，我们除了关心它的集中趋势以外，还关心它的波动大小.衡量这个波动大小的最常用的特征数，就是和标准差.

（三）教学过程

1．请同学们看下面的问题：（用幻灯出示）

两台机床同时生产直径是40毫米的零件，为了检验产品质量，从产品中各抽出10件进行测量，结果如下（单位：毫米）

机床甲

40

39．8

40．1

40．2

39．9

40

40．2

39．8

40．2

39．8

机床乙

40

40

39．9

40

39．9

40．2

40

40．1

40

39．9

上面表中的数据如图所示

教师引导学生观察表格中的数据和图，提出问题：怎样能说明在使所生产的10个零件的直径符合规定方面，哪个机床做得好呢？

对于这个问题，学生会马上想到计算它们的平均数．教师可把学生分成两级分别计算这两组数据的平均数．（请两名同学到黑板计算）

计算的结果说明两组数据的平均数都等于规定尺寸40毫米．这时教师引导学生思考，这能说明两个机床做的一样好吗？不能！我们再观察上图（给学生充分的时间观察，找出左右两图的区别）从图中看到，机床甲生产的零件的直径与规定尺寸偏差较大，偏离40毫米线较多；机床乙生产的零件的直径与规定尺寸偏差较小，比较集中在40毫米线的附近．这

说明，在使所生产的10个零件的直径符合规定方面，机床乙比机床甲要好．

教师说明：从上面看到，对于一组数据，除需要了解它们的平均水平外，还常常需要了解它们的波动大小（即偏离平均数的大小）．

通过引例的学习，使学生理解为什么要研究数据波动的大小，为提出概念做好了准

备．

2．概念

教师讲解，为了描述一组数据的波动大小，可以采用不止一种办法，例如，可以先求得各个数据与这组数据的平均数的差的绝对值，再取其平均数，用这个平均数来衡量这组数据的波动大小，通常，采用的是下面的做法：

设在一组数据 中，各数据与它们的平均数 的差的平方分别是 ，那么我们用它们的平均数，即用

③

来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的．一组数据越大，说明这组数据波动越大．教师要剖析公式中每一个元素的意义，以便学生理解和掌握．

在学生理解概念时，可能会提出疑问：为什么要这样定义？（教师说明，在表示各数据与其平均数的倔离程度时，为了防止正偏差与负偏差的相互抵消）为什么对各数据与其平均数的差不取其绝对值，而要将它们平方？（教师说明，这主要是因为在很多问题里，含有绝对值的式子不便于运算，且在衡量一组数据波动大小的“功能”上，更强些）为什么要除以数据个数

n

在学生理解了概念之后，再回到了引例中，通过计算机床甲、乙两组数据的，再根据理论说明哪个机床做得更好．

教师范解

从 知道，机床甲生产的10个零件直径比机床乙生产的10个零件直径波动要大.

这样做使学生深刻体会到数学来源于实践，又反过来作用实践，不仅使学生对学习数学产生浓厚的兴趣，而且培养了学生应用数学的意识.

3．例1 （用幻灯出示）已知两组数据：

甲：9.9 10.3 9.8 10.1 10.4 10 9.8 9.7

乙：10.2 10 9.5 10.3 10.5 9.6 9.8 10.1

分别计算这两组数据的.

让学生自己动手计算，求平均数时激发学生用简化公式计算，找一名好学生到黑板计算.

解：根据公式②（取 ），有

从 知道，乙组数据比甲组数据波动大.

4．标准差概念

在有些情况下，需要用到的算术平方根

④

并把它叫做这组数据的标准差.它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量.

教师引导学生分析与标准差的区别与联系：

计算标准差要比计算多开一次平方，但它的度量单位与原数据一致，有时用它比较方便.

课堂练习  教材p165中（1）、（2）

（四）总结、扩展

知识小结：通过这节课的学习，使我们知道了对于一组数据，有时只知道它的平均数还不够，还需要知道它的波动大小；而描述一组数据的波动大小的量不止一种，最常用的是和标准差.与标准差这两个概念既有联系又有区别.

方法小结：求一组数据的方法；先求平均数，再利用③求，求一组数据标准差的方法：先求这组数据的，然后再求的算术平方根.

布置作业

教材p173中1，2（1）（2）

板书设计

14．3  （一）

公式③ 引例 例1

标准差公式④

方差的教学反思 方差和标准差教学反思篇十

方差数学教学设计

知识与技能

1、了解方差的定义和计算公式。

2. 理解方差概念的产生和形成的过程。

3. 会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小。

过程与方法

经历探索方差的应用过程，体会数据波动中的方差的求法，积累统计经验。

情感态度与价值观

1、通过小组活动，提高与人合作、交流的团队意识。

2、培养学生的统计意识，形成尊重事实、用数据说话的态度，认识数据处理的实际意义。

掌握方差的概念、公式、计算及其运用

理解方差的意义，会求一组数据的方差。

问题与情境

师生行为设计意图

活动一

课前小测：

1、什么是极差？

2、极差用来描述数据的什么性质？

教师检查学生小测题的.情况，并注意存在的问题。检查学生对上一节课基础知识的掌握情况，也为本节课的学习做一些铺垫。

活动二

自主探究：

请同学们阅读课本第138—140页的内容，回答下列问题：

1、哪个队参赛选手年龄的波动大？你是怎么知道的？

2、我们除了用极差来度量数据波动大小，是否还有其它方法呢？学生先独立阅读、思考，小组再进行讨论、交流。教师进行巡视，关注学生的情况，并适当给以答疑。培养学生的阅读能力和自学能力。提高学生合作交流意识。

活动三

思考与交流：

1、方差的定义是什么？谁能用自己的话概括一下。

2、方差的计算公式是什么？

3、方差的大小与数据的波动大小有何关系?学生先独立思考，小组再进行讨论、交流。师生共同归纳本节课的知识点。 通过这个活动，提高学生的概括成归纳能力。让学生经历数学知识的形成与应用过程。

活动四：

例题讲解

在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演员的身高（单位：cm ）分别是甲团 163 164 164 165 165 165 166 167乙团 163 164 164 165 166 167 167 168哪个芭蕾舞团女演员的身高更为整齐？

拓展训练：1、计算下面三组数据的方差，并比较波动大小。a组：6 6 6 6 6 6b组：5 5 6 6 6 8c组：3 3 6 6 9 9

2、如果样本方差那么这个样本的平均数为 .样本容量为 .

3、一个样本的方差是0，若中位数是a，那么它的平均数是（ ）a、等于a b、不等于a c、大于a d、小于a

4、国家运动员在参加奥运会前都要经过刻苦训练，教练要对他们的成绩进行统计分析，判断他们的成绩是否稳定，则教练需要知道他们成绩的（  ）a、众数       b、方差c、平均数      d、中位数

5、甲同学和乙同学的5次数学测验成绩的平均分都是93分，s2甲＝0.8   s2乙=12,则＿＿＿的成绩比较稳定。教师让学生先自学课本，然后再点评，着重突出方差反映的是数据波动的大小。

5个小题都是比较基础的题目，教师可充分放手让学生去自主完成。由于题目较简单，教师重点留意班级成绩基础稍薄弱的同学进行辅导。使学生通过对知识点的运用，加深对知识点的理解，并对所学知识得以巩固和强化。前几个小题的设置主要是检查学生能否正确地计算和简单运用方差的知识来解决问题。是属于基本过关考查。考查学生思考、总结的综合能力，培养学生思维能力，同时也是对前后知识的一种综合归纳。

活动五

谈谈你在本节课的收获？

学生思考，回答。通过此环节，使学生对本节的内容进行及时复习，得以巩固。

活动六

课后作业必做题：课本第144页第1题选做题：若已知一组数据的平均数是 ,方差是s2 ,那么另一组数据的平均数是 ( ) , 方差是( ).学生根据自己的情况，有选择性地完成课后作业。通过分层次作业，关注学生的个体差异，使不同的学生得到不同的发展。

方差的教学反思 方差和标准差教学反思篇十一

教学设计示例1

第一课时

素质教育目标

（一）知识教学点

使学生了解方差、标准差的意义，会计算一组数据的方差与标准差.

（二）能力训练点

1．培养学生的计算能力.

2．培养学生观察问题、分析问题的能力，培养学生的发散思维能力.

（三）德育渗透点

1．培养学生认真、耐心、细致的学习态度和学习习惯.

2．渗透数学来源于实践，又反过来作用于实践的观点.

（四）美育渗透点

通过本节课的教学，渗透了数学知识的抽象美及反映在图像上的形象美，激发学生对美好事物的追求，岣哐???strong>数学美的鉴赏力.

重点・难点・疑点及解决办法

1．教学重点：方差概念.

2．教学难点 ：方差概念.

3．教学疑点：学生不易理解为什么要用方差去描述一组数据的波动大小，为什么不可以用各数据与其平均数的差的来和来衡量这组数据的波动大小呢？为什么对各数据与其平均数的差不取其绝对值，而将其平方呢？对这些问题教师在剖析方差定义时要讲清楚.

4．解决办法：教师要讲清方差，标准差的意义，即它们都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小，我们所研究的仅是这两组数据的个数相等，平均数相等或比较接近时的情况.

教学步骤

（一）明确目标

前面我们学习了平均数、众数及中位数，它们都是描述一组数据的集中趋势的量，这节课我们将进一步学习衡量样本（或一组数据）和总体的另一类特征数――方差、标准差及其计算.

这种开门见山式引入课题，能迅速将学生的注意力集中起来，进入新课讲解.

（二）整体感知

对于一组数据来说，我们除了关心它的集中趋势以外，还关心它的波动大小.衡量这个波动大小的最常用的特征数，就是方差和标准差.

（三）教学过程

1．请同学们看下面的问题：（用幻灯出示）

两台机床同时生产直径是40毫米的零件，为了检验产品质量，从产品中各抽出10件进行测量，结果如下（单位：毫米）

机床甲

40

39．8

40．1

40．2

39．9

40

40．2

39．8

40．2

39．8

机床乙

40

40

39．9

40

39．9

40．2

40

40．1

40

39．9

上面表中的数据如图所示

教师引导学生观察表格中的数据和图，提出问题：怎样能说明在使所生产的10个零件的直径符合规定方面，哪个机床做得好呢？

对于这个问题，学生会马上想到计算它们的平均数．教师可把学生分成两级分别计算这两组数据的平均数．（请两名同学到黑板计算）

计算的结果说明两组数据的平均数都等于规定尺寸40毫米．这时教师引导学生思考，这能说明两个机床做的一样好吗？不能！我们再观察上图（给学生充分的时间观察，找出左右两图的区别）从图中看到，机床甲生产的零件的直径与规定尺寸偏差较大，偏离40毫米线较多；机床乙生产的零件的直径与规定尺寸偏差较小，比较集中在40毫米线的附近．这

说明，在使所生产的10个零件的直径符合规定方面，机床乙比机床甲要好．

教师说明：从上面看到，对于一组数据，除需要了解它们的平均水平外，还常常需要了解它们的波动大小（即偏离平均数的大小）．

通过引例的学习，使学生理解为什么要研究数据波动的大小，为提出方差概念做好了准

备．

2．方差概念

教师讲解，为了描述一组数据的波动大小，可以采用不止一种办法，例如，可以先求得各个数据与这组数据的平均数的差的绝对值，再取其平均数，用这个平均数来衡量这组数据的波动大小，通常，采用的是下面的做法：

设在一组数据 中，各数据与它们的平均数 的差的平方分别是 ，那么我们用它们的平均数，即用

③

来衡量这组数据的`波动大小，并把它叫做这组数据的方差．一组数据方差越大，说明这组数据波动越大．教师要剖析公式中每一个元素的意义，以便学生理解和掌握．

在学生理解方差概念时，可能会提出疑问：为什么要这样定义方差？（教师说明，在表示各数据与其平均数的倔离程度时，为了防止正偏差与负偏差的相互抵消）为什么对各数据与其平均数的差不取其绝对值，而要将它们平方？（教师说明，这主要是因为在很多问题里，含有绝对值的式子不便于运算，且在衡量一组数据波动大小的“功能”上，方差更强些）为什么要除以数据个数n？（是为了消除数据个数的影响）．

在学生理解了方差概念之后，再回到了引例中，通过计算机床甲、乙两组数据的方差，再根据理论说明哪个机床做得更好．

教师范解

从 知道，机床甲生产的10个零件直径比机床乙生产的10个零件直径波动要大.

这样做使学生深刻体会到数学来源于实践，又反过来作用实践，不仅使学生对学习数学产生浓厚的兴趣，而且培养了学生应用数学的意识.

3．例1 （用幻灯出示）已知两组数据：

甲：9.9 10.3 9.8 10.1 10.4 10 9.8 9.7

乙：10.2 10 9.5 10.3 10.5 9.6 9.8 10.1

分别计算这两组数据的方差.

让学生自己动手计算，求平均数时激发学生用简化公式计算，找一名好学生到黑板计算.

解：根据公式②（取 ），有

从 知道，乙组数据比甲组数据波动大.

4．标准差概念

在有些情况下，需要用到方差的算术平方根

④

并把它叫做这组数据的标准差.它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量.

教师引导学生分析方差与标准差的区别与联系：

计算标准差要比计算方差多开一次平方，但它的度量单位与原数据一致，有时用它比较方便.

课堂练习  教材p165中（1）、（2）

（四）总结、扩展

知识小结：通过这节课的学习，使我们知道了对于一组数据，有时只知道它的平均数还不够，还需要知道它的波动大小；而描述一组数据的波动大小的量不止一种，最常用的是方差和标准差.方差与标准差这两个概念既有联系又有区别.

方法小结：求一组数据方差的方法；先求平均数，再利用③求方差，求一组数据标准差的方法：先求这组数据的方差，然后再求方差的算术平方根.

布置作业

教材p173中1，2（1）（2）

板书设计

14．3  方差（一）

方差公式③ 引例 例1

标准差公式④

教学设计示例2

一、教学目的

1．使学生了解方差、标准差的意义，会计算一组数据的方差与标准差．

2．使学生了解样本方差、样本标准差、总体方差的意义．

二、教学重点、难点

重点：方差、标准差、样本方差、样本标准差、总体方差的意义．

难点：样本方差、样本标准差的计算．

三、教学过程

复习提问

计算一组数据的平均数有哪些方法？

引入新课

在很多实际问题中，只知道一组数据的平均数是不够的，还需要知道这组数据的波动大小．如何了解数据的波动大小？这正是我们要解决的问题．

新课

引例 两台机床同时生产直径是40毫米的零件．为了检验产品质量，从产品中抽出10件进行测量，结果如下(单位：毫米)：

表中数据表成如下形式：

可在此处让学生用公式②分别计算这两组数据的平均数(还可提问学生a取什么值最好，这样学生能在教师的启发下得到a=40最合适)．当学生算出如下平均数：

让学生思考，两组数据的平均数都等于规定尺寸40毫米时，甲、乙两机床性能是否都一样好？提出问题让学生议议后，再引导学生看图1，让学生认识到“机床甲生产的零件的直径与规定尺寸编差较大，偏离40毫米线较多；机床乙生产的零件的直径与规定尺寸的偏差较小，比较集中在40毫米线的附近．”这说明，在使所生产的10个零件的直径符合规定方面，机床乙比机床甲要好．

这反映出，对一组数据，除需要了解它们的平均水平以外，还常常需要了解它们的波动大小(即偏离平均数的大小)．

在此处要告诉学生：描述一组数据的波动大小，可以采用不止一种办法．本课介绍“方差”即是一种方法．即：

来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差．

要强调“一组数据方差越大，说明这组数据波动越大”．条件许可时，还可介绍③式可表示为：

接下来可以请两个学生计算引例中机床甲、乙两组数据的方差．

从0.026＞0.008可以比较出，机床甲生产的10个零件直径比机床乙生产的10个零件直径波动要大．(接下来教师再给出如下例题．)

例1 已知两组数据：

分别计算这两组数据的方差．

讲此例后，要强调求解步骤为：

(1)求平均数；(2)求方差；(3)比较方差得出结论．

此后接前面问题说，用来衡量一组数据的波动的方法还可用一组数据的标准差，即

公式④(即标准差)也是用来衡量一组数据波动大小的重要的量．

在本节引例中，两组数据的标准差，可让学生算一下，得出：

说明：计算标准差要比计算方差多开一次平方，但它的度量单位与原数据一致，有时用它比较方便．

小结

1．本课学了计算一组数据的方差的公式③．

2．本课在方差的基础上又学了计算一组数据的标准差的公式④．

练习：选用课本练习题．

作业 ：选用课本习题．

四、教学注意问题

要注意通过例题讲好求方差题目的解题格式．

教学设计示例3

一、教学目的

1．使学生进一步理解方差、标准差的意义．

2．使学生掌握利用简化公式计算一组数据的方差的方法．

3．使学生会根据同类问题两组数据的方差(或标准差)比较两组数据的波动情况．

二、教学重点、难点

重点：简化计算一组数据的方差公式．

难点：利用方差(或标准差)比较两组数据的波动情况．

三、教学过程

复习提问

1．什么是一组数据的方差、标准差？

2．一组数据的方差和标准差应如何计算？

引入新课

我们看到，用公式③计算一组数据的方差比较麻烦．那么，有否较简便的计算方法呢？

新课

教师应在黑板上进行如下推导：

推导上述公式后，可让学生仿①～④四个公式的方法归纳推理出如下结论：

一般地，如果一组数据的个数是n，那么它们的方差可以用下面的公式计算：

在这时，教师要强调：当一组数据中的数较小时，用公式⑤计算方差比公式③计算少了求各数据与平均数的差一步，因此比较方便．

例2 计算下面数据的方差(结果保留到小数点后第1位)：

3 -1 2 1 -3 3

教师可让学生共同来完成此例．

接下来教师按教材指出，当一组数据较大时，可按下述公式计算方差：

其中x1=x1-a，x2=x2-a，…，xn=xn-a，x1，x2，…，xn是原已知的n个数据，a是接近这组数据的平均数的一个常数．

为使学生对公式⑥加深印象，可让学生用公式⑥解下例．

例3 甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测验成绩如下(单位：分)：

哪个小组学生的成绩比较整齐？

解后，指出解题步骤有如下三步：

(3)代入公式⑥计算方差并比较得解．

小结

1．本课介绍了当一组数据中的数值较小时，用以计算方差的简化计算公式⑤．

2．本课又学习了当一组数据中的数值较大时，用以计算方差的简化公式⑥．

练习：选用课本练习题．

作业 ：选用课本习题．

补充作业

2．甲、乙两组数据的方差之和为13，标准差之和为5，且甲的波动比乙的波动大，求它们各自的标准差．(答案：s甲=3，s乙=2．)

3．在某次数学考试中，甲、乙两校各8个班，不及格的人数分别如下：

分别计算这两组数据的平均数与方差．

四、教学注意问题

要注意给学生讲如下三点：

1．方差与标准差是衡量样本和总体波动大小的特征数．

2．用简化计算公式求方差较为方便．

3．对同类问题的两组数据，方差小的波动小、方差大的波动大．

方差的教学反思 方差和标准差教学反思篇十二

教学目的

进一步使学生理解掌握平方差公式，并通过小结使学生理解公式数学表达式与文字表达式在应用上的差异．

教学重点和难点：公式的应用及推广．

教学过程：

一、复习提问

1．（1）用较简单的代数式表示下图纸片的面积．

（2）沿直线裁一刀，将不规则的右图重新拼接成一个矩形，并用代数式表示出你新拼图形的面积．

讲评要点：

沿hd、gd裁开均可，但一定要让学生在裁开之前知道

hd＝bc＝gd＝fe＝a－b，

这样裁开后才能重新拼成一个矩形．希望推出公式：

a2－b2＝(a＋b)(a－b)

2．（1）叙述平方差公式的数学表达式及文字表达式；

（2）试比较公式的两种表达式在应用上的差异．

说明：平方差公式的数学表达式在使用上有三个优点：

（1）公式具体，易于理解；

（2）公式的特征也表现得突出，易于初学的人“套用”；

（3）形式简洁．但数学表达式中的a与b有概括性及抽象性，这样也就造成对具体问题存在一个判定a、b的问题，否则容易对公式产生各种主观上的误解．

依照公式的文字表达式可写出下面两个正确的式子：

经对比，可以让人们体会到公式的文字表达式抽象、准确、概括．因而也就“欠”明确（如结果不知是谁与谁的平方差）．故在使用平方差公式时，要全面理解公式的实质，灵活运用公式的两种表达式，比如用文字公式判断一个题目能否使用平方差公式，用数学公式确定公式中的a与b，这样才能使自己的计算即准确又灵活．

3．判断正误：

（1）(4x＋3b)(4x－3b)＝4x2－3b2；(×)（2）(4x＋3b)(4x－3b)＝16x2－9；(×)

（3）(4x＋3b)(4x－3b)＝4x2＋9b2；(×)（4）(4x＋3b)(4x－3b)＝4x2－9b2；(×)

二、新课

例1 运用平方差公式计算：

（1）102×98； （2）(y＋2)(y－2)(y2＋4)．

解：（1）102×98 （2）(y＋2)(y－2)(y2＋4)

＝(100＋2)(100－2) ＝(y2－4)(y2＋4)

＝1002－22＝10000－4 ＝(y2)2－42＝y4－16．

＝9996；

2．运用平方差公式计算：

（1）103×97； （2）(x＋3)(x－3)(x2＋9)；

（3）59.8×60.2； （4）(x－ )(x2＋ )(x＋ )．

方差的教学反思 方差和标准差教学反思篇十三

教学目标：

1会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算.

2．经历探索平方差公式的过程，认识“特殊”与“一般”的关系，了解“特殊到一般”的认识规律和数学发现方法，平方差公式第一课时教学反思。

教材分析：

重点：公式的理解与正确运用（考点：此公式很关键，一定要搞清楚特征，在以后的学习中还继续应用）

难点：公式的理解与正确运用

教法：自主探究和合作交流

教学过程：

一、检测

（1）（x+2）(x-2) （2）（1+2y）(1-2y) (3)（x+3y）(x-3y)

解：原式=x2-2x+2x+22 原式=12-2y+2y+(2y)2 原式=x2-3xy+3xy+(3y)2

=x2-22=12-(2y)2=x2-(3y)2

二、新课讲授

1. 请大家观察以上3个算式的.特点和运算结果的特点，对比等号两边代数式的结构，你发现了什么？

学生分组讨论，交流，小组长回答问题。

师生共同总结归纳：

平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2

即两数和 与两数差 的积，等于它们的平方差。

平方差公式特征：

（1）一组完全相同的项；

（2）一组互为相反数的项

2.例题

（1）（5+6x）(5-6x)（2）（-m+n）(-m-n)

解：原式=25-36x2 解：原式= m2-n2

3.公式应用

（1）（a+2）(a-2) （2）（-x+2y）(-x-3y)

两个学生板演，其余学生在练习本上自己独立完成

老师巡视，辅导学困生。

三、拓展延伸

1.计算（1）(a+1)(a-1)(a2+1) (2)(a+b)(a-b)(a2+ b2)

师生共同分析：此题特征，两次利用平方差公式，教学反思《平方差公式第一课时教学反思》。

学生在练习本上独立完成，同桌互相检查。

2. （ab）（－ab）=？能用平方差公式吗？它的a和b分别是什么？

学生分组讨论交流，独立完成运算。

四、堂测

1、（ab+8）（ab－8） 2、(5m-n)(-5m-n)

3、(3x+4y-z)(3x-4y+z) 4、(a+b)(a-b)(a2+ b2)

五、小结

1、什么是平方差公式？

2、运用公式要注意的问题：

（1）平方差公式运用的条件是什么？

（2）公式中的a、b可以代表什么？

六、板书设计：

平方差公式（1）

一、检测导入

二、例题展示

三、拓展延伸

四、达标堂测

五、归纳小结

平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2

即两数 和 与两数 差的积，等于它们的平方差。

六、布置作业

p21：习题1.91、2

方差的教学反思 方差和标准差教学反思篇十四

方差公式③ 引例 例1

标准差公式④

教学设计示例2

一、教学目的

1．使学生了解方差、标准差的意义，会计算一组数据的方差与标准差．

2．使学生了解样本方差、样本标准差、总体方差的`意义．

二、教学重点、难点

重点：方差、标准差、样本方差、样本标准差、总体方差的意义．

难点：样本方差、样本标准差的计算．

三、教学过程

复习提问

计算一组数据的平均数有哪些方法？

引入新课

在很多实际问题中，只知道一组数据的平均数是不够的，还需要知道这组数据的波动大小．如何了解数据的波动大小？这正是我们要解决的问题．

新课

引例 两台机床同时生产直径是40毫米的零件．为了检验产品质量，从产品中抽出10件进行测量，结果如下(单位：毫米)：

表中数据表成如下形式：

可在此处让学生用公式②分别计算这两组数据的平均数(还可提问学生a取什么值最好，这样学生能在教师的启发下得到a=40最合适)．当学生算出如下平均数：

让学生思考，两组数据的平均数都等于规定尺寸40毫米时，甲、乙两机床性能是否都一样好？提出问题让学生议议后，再引导学生看图1，让学生认识到“机床甲生产的零件的直径与规定尺寸编差较大，偏离40毫米线较多；机床乙生产的零件的直径与规定尺寸的偏差较小，比较集中在40毫米线的附近．”这说明，在使所生产的10个零件的直径符合规定方面，机床乙比机床甲要好．

这反映出，对一组数据，除需要了解它们的平均水平以外，还常常需要了解它们的波动大小(即偏离平均数的大小)．

在此处要告诉学生：描述一组数据的波动大小，可以采用不止一种办法．本课介绍“方差”即是一种方法．即：

来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差．

要强调“一组数据方差越大，说明这组数据波动越大”．条件许可时，还可介绍③式可表示为：

接下来可以请两个学生计算引例中机床甲、乙两组数据的方差．

从0.026＞0.008可以比较出，机床甲生产的10个零件直径比机床乙生产的10个零件直径波动要大．(接下来教师再给出如下例题．)

例1 已知两组数据：

分别计算这两组数据的方差．

讲此例后，要强调求解步骤为：

(1)求平均数；(2)求方差；(3)比较方差得出结论．

此后接前面问题说，用来衡量一组数据的波动的方法还可用一组数据的标准差，即

公式④(即标准差)也是用来衡量一组数据波动大小的重要的量．

在本节引例中，两组数据的标准差，可让学生算一下，得出：

说明：计算标准差要比计算方差多开一次平方，但它的度量单位与原数据一致，有时用它比较方便．

小结

1．本课学了计算一组数据的方差的公式③．

2．本课在方差的基础上又学了计算一组数据的标准差的公式④．

练习：选用课本练习题．

作业：选用课本习题．

四、教学注意问题

要注意通过例题讲好求方差题目的解题格式．

教学设计示例3

一、教学目的

1．使学生进一步理解方差、标准差的意义．

2．使学生掌握利用简化公式计算一组数据的方差的方法．

3．使学生会根据同类问题两组数据的方差(或标准差)比较两组数据的波动情况．

二、教学重点、难点

重点：简化计算一组数据的方差公式．

难点：利用方差(或标准差)比较两组数据的波动情况．

三、教学过程

复习提问

1．什么是一组数据的方差、标准差？

2．一组数据的方差和标准差应如何计算？

引入新课

我们看到，用公式③计算一组数据的方差比较麻烦．那么，有否较简便的计算方法呢？

新课

教师应在黑板上进行如下推导：

推导上述公式后，可让学生仿①～④四个公式的方法归纳推理出如下结论：

一般地，如果一组数据的个数是n，那么它们的方差可以用下面的公式计算：

在这时，教师要强调：当一组数据中的数较小时，用公式⑤计算方差比公式③计算少了求各数据与平均数的差一步，因此比较方便．

例2 计算下面数据的方差(结果保留到小数点后第1位)：

3 -1 2 1 -3 3

教师可让学生共同来完成此例．

接下来教师按教材指出，当一组数据较大时，可按下述公式计算方差：

其中x1=x1-a，x2=x2-a，…，xn=xn-a，x1，x2，…，xn是原已知的n个数据，a是接近这组数据的平均数的一个常数．

为使学生对公式⑥加深印象，可让学生用公式⑥解下例．

例3 甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测验成绩如下(单位：分)：

哪个小组学生的成绩比较整齐？

解后，指出解题步骤有如下三步：

(3)代入公式⑥计算方差并比较得解．

小结

1．本课介绍了当一组数据中的数值较小时，用以计算方差的简化计算公式⑤．

2．本课又学习了当一组数据中的数值较大时，用以计算方差的简化公式⑥．

练习：选用课本练习题．

作业：选用课本习题．

补充作业

2．甲、乙两组数据的方差之和为13，标准差之和为5，且甲的波动比乙的波动大，求它们各自的标准差．(答案：s甲=3，s乙=2．)

3．在某次数学考试中，甲、乙两校各8个班，不及格的人数分别如下：

分别计算这两组数据的平均数与方差．

四、教学注意问题

要注意给学生讲如下三点：

1．方差与标准差是衡量样本和总体波动大小的特征数．

2．用简化计算公式求方差较为方便．

3．对同类问题的两组数据，方差小的波动小、方差大的波动大．