摘要本文介绍的是通过PID在奇异频率参数空间的解耦来估计PID整体稳定性的算法。通过凸多边形切片建立起非凸稳定区域。有两个问题因此被忽视：
(一)表现为KP—-重复稳定多边形，
(二)稳定多边形的自动检测是为了找到匹配的KP。本文包含了解决这两个问题的方法。
该方法还适用于多模式不确定的鲁棒PID稳定性。关键字：PID；稳定性；PID解耦；奇异频率；鲁棒控制。
1．介绍至今为止，在过程控制、运动控制、航空航天工业中，符合SISO系统最适用的控制是PID控制。尽管其广泛应用，但是给定对象全部PID赫尔维茨稳定性的计算问题只是在过去十年讨论过。
这是一个有趣的理论问题，对实际应用当然也很重要，其中主要采用基于校正技术的设计方法。在文献中已经表明PID参数设计可以分成两个子问题：
(一)表现平稳回放参数KP独立于参数kI和kD，
(二)稳定多边形在平面的检测得到某一KP。一般算法解决问题
(二)是基于直线跃迁描述，其运动特征可以找到。在这里，进一步发展这种算法是由于不同类型的奇异频率。
该算法查看了所谓的内在多边形，并且选择了一个有最大稳定特征的多边形来最后检查稳定性。最重要的是，能够找到最适用于PID的这种算法。
方法简便是寻找解决问题
(一)的基本思路。这些信息是由积成奇异的发电机频率，曾经发挥重要作用的PID为三项多项式。
事实上，给定一个KP，奇异频率就可以被确定，数量由此也可以被直接阅读。这篇文章的主要结果是一个新的简单标准，这有助于设计人员使用同一方法解决问题
(一)。原来对于某个对象固定数量的奇异频率必须稳定。
只要参数KP定义独特奇异数频率，就可以直接判别参数KP的回放，因为没有一对(kI ，kD)能提供镇定。由于刚刚提供的必要条件，简单的标准可以用保守的价格取得。
多边形的稳定既不是成为部分，也可能在(KP ，kI ，kD) 参数空间成为一个紧密的单点。 尽管后者推出的标准并不意味最新形势，但是介绍了稳定峰值的运算方法。
结果提交的申请，可直接计算总体强劲而稳定的有限多模式对象的PID控制器。2. 奇异频率 2．1．奇异频率和直线考虑到赫尔维茨稳定性的特征多项式有一个反馈回路，包含一个PID控制器和一个LTI对象 。
p=A(s)(kI+KPs+kDs²)+B(s)，A(s)=a0+a1s+···+amsm，B(s)=b0+b1s+···+bnsn，而由于积分变量b0=0， 但为了共性它将被视为自由参数(如果加上其中a0=0，然后顺序多项式
(1)降低到n-1次)。在特征方程
(1)中把s替换成j，矩阵的赫尔维兹条件的形式如公式
（4）。我和R主张把多项式的实部和虚部中的s替换成j。固定的KP在(kI ， kD)中可视为一种成相的假想轴，然而，对整个列的假想轴来说，映射方程有特殊的意思，如公式
（5）。其中h(.)和g(.)分别代表实部和虚部。
几何条件解释就是每个频率代表两条平行的直线(KI，KD)。因此，在任何情况下S=J 的根源多项式适用频率被称为奇异频率。
很显然，奇异的直线频率，这里是直线或干脆简称奇异线路。换言之，该系统的特征只有在奇异频率时才可以越过假想轴。
一个(kI，kD)的界线可以被平面直线简单确定，该直线构成了凸多边形。 2．2．解耦PID控制器 既然PA是非奇异，那么
(4)可以改写为下面等价的形式公式
（6）。公式
（7）代表特别方便，因为它把PID控制器参数方程解耦为两个。 虚部为公式
（8） ，实部为公式
（9）。实部和虚部称之为PID参数空间在奇异频率的解耦。这是因为它的方法将解耦分成两个子问题：
(一)稳定回放参数KP的忽视
(二)稳定多边形平面的检测。 以下所讲的基本上集中在这两个问题。 3. 稳定多边形3．1．内部多边形本节解决的问题如下所述。给定一组奇异线 奇异对应频率Ω= 检测多边形，使多项式P
(1)稳定。通过内多边形概念的激励解决问题，定义如下。
定义：考虑一个被奇异线定义的确定多边形。Ⅱ是一个过渡时期内对Ⅱ的任何多边形内多边形的特征。
显然，一个稳定的多边形是内多边形，这是一个必要条件。为了充分性，需检测一个任意多边形控制器的稳定性。
如果稳定性试验失败，就没有稳定的控制器证明其存在，如果成功，它是稳定的。 3．2．过渡功能 为了自动检测每一个直线多边形内将委派一个“过渡”功能：如果是负面的直线过渡特征，成为一个稳定的根源，否则是正面的。
根据公式
（13）按照惯例，则会假定N点在Γ区外。超过过渡特征原因离开或进入一个奇异频率，它被一个载体μ定义描述和定义如下公式
（14）或简写成公式
（15）。公式
（15）将证明特别有用。 在下面，我只是过渡索引公式。 这些对应过渡得到更换指数 I→D，μi可以从整体微分计算如公式
（16）。过渡功能自然定义为eI=μIT.N=Re(μI*N)，其中N是一般N的复数表现形式，ei成为一个稳定的特征(负数)或不稳定(正数)。
这里Re(.)代表实部，(.)*代表复数共轭。3．3．奇异频率类型 方案说明三种可能情况，在附近的一个特征是在发生频率奇异关于赫尔维兹稳定。
迄今讨论共同奇异频率指左列式。方案方向特征处于一种奇异的频率是那么完全由过渡功能。
但是这些说法无法与拐点局势(中)和思考(右)在这两种情况下，自接到过渡功能价值为零。这里需要区别的独特表现，这两种比较特殊的个案。
3．4．检测内多边形 Π= 那里结束顶点优势是一致的初始顶点下一优势。 初步确定的协调和顶点是结束。
那是一个多边形内多边形的每个区域边缘的迹象过渡反对，或者相应增加，或者等效的迹象转型递增分别为所有具有一定的内在多边形。 4． KP-问题 本节着重介绍所界定的问题：这将是第一个要求忽视KP划分。
例如回放与稳定的PID控制器，它涉及到必须紧紧根据KP划分。的确，显然在最大值和最小值KP划分，凸多边形接近正负KP方向，所以直觉认为KP-回放频率与最大潜在人数奇异。
定理2 N表示多项式的次数M表示A(s)多项式的次数P表示A(s)的RHP零点的数量Z表示奇异频率在0≤ ﹤+∞范围内的数量一个稳定的判据是是公式
（22）。引理3 考虑积函数F(S)，令s=jω，当0≤ ﹤+∞时，F(∞)→∞。
如果F(jω)的相变化是Nπ，那么将降低减少实轴Z的次数 ，即公式
（23）。推论4 如果A(s)在虚轴有J个零点，（a）如果s=0不是A(s)的零点，则如公式
（27）。（b）如果s=0是A(s)的零点，则如公式
（28）。利用定理2和推论4可直接从实部中读得。
但是，看到这个定理式定义可能并不保守，因为它的稳定峰值高。这方面的讨论在第6部分。
推论5如果A(s)在虚轴的J个零点不为0，在s=0时有J0，则如公式
（29）。5．实例实例1：A(s)=−0.5s4−7s3−2s+1，B(s)=s7+11s6+46s5+95s4+109s3+74s2+24s。
可能是发动机检查频率奇异，奇异频率KP=-2，直接通过电脑表达后： 0=0， 1=±0.3530， 2=±0.6638， 3=±0.7742， 4=±3.3473。看到这种情况很容易根据可用奇异频率来阅读次数，更确切地说−24<kP<6.1565。
−24<kP<−2.7614⇒3 奇异频率，−2.7614<kP<3.7664⇒5 奇异频率，3.7664<kP<6.1565⇒3 奇异频率。这些网格由KP回放多边形切片可以计算出来的。
实例2A(s)=s3+3s2+9，B(s)=s5+2s4+3s3+7s2+14s。它可以直接读出，N=5，M=3，P=2，根据定理，为了稳定，三个奇异频率必须在区间0≤ ﹤+∞。
-1.8708<KP<-1.5556⇒3 奇异频率，0.3157<KP<0.5333⇒4 奇异频率。 其他KP多边形存在不安定。
实例3A(s)=1，B(s)=s5+s4−3s3−s2+2s。不管KP<-2，三个奇异频率中至少有两个奇异频率存在，其它只剩下一个。
6．稳定峰值由公式
（30），根据定理可以得出N=8，M=2，P=0 因此Z≥E（N-M+2P+1）=4奇异频率必须在区间0≤ ＜+∞。 我们可以证明，KP=-9和KP=-10，Z=4时，可以满足稳定状态。
但是，KP=-9存在稳定的多边形，KP=-10不存在。因此，对于一些在KP之间，必须紧密稳定多边形成单一点。
它清楚地表明，处理这种情况是很重要的回放查看提供稳定峰定理。为 了计算稳峰，看到三个多项式
(1)必须拥有至少三个不同特征值的虚轴，剩余多项式需要稳定，否则是不相关的峰值。 这是一个非线性方程组未知数。
左边的三个未知数方程规定，KP，KI，KD和右侧其余n-3次奇异的频率包括三个 i，i=1， 2，3和n-6系数多项式。 因此，后者以消除n-3多变量非线性方程，三个体系三个KP，KI，KD。
一般来说，一个稳定的数量有限，存在着三个峰值多项式。连续三项多项式定义可以显示一个稳定的高峰出现在KP≈-9.0023。
三直线与相交于KD≈21.4958，KI≈3.0195。 奇异相应频率为 1≈0.2581， 2≈0.44261， 3≈39.7621。
7．总结本文针对固定阶次线性单入-单出系统给出了保证系统稳定的PID参数的计算方法。 设计的基础是PID控制器参数在奇异频率内的解耦。
新定理实行忽略KP的回放，那里可能存在多边形稳定。对于一个固定的KP， 基于转变一般算法是用来检测过渡的平稳性。
该理论是直接针对某一对象的时滞系统和鲁棒设计的理论。
