本题以高等数学里的伯努利不等式为背景,巧妙地将数列和不等式的代数证明交汇在一起,依托主干知识,深层次考查了数学思想方法和数学思维能力.初看此题,很多考生已经“晕”了,做完此题,考生普遍反映难度很大,直呼“伤不起”.面对这样的问题,我们如何突破解题障碍,最终破茧成蝶,到达“无限风光在顶峰”的境地呢?让我们一起来探究吧!
第(1)题是关于正整数的数学命题,是伯努利不等式的特殊情形,解题经验告诉我们与正整数有关的不等式证明,最常见的证明方法是数学归纳法和放缩法.因此,可以先尝试用数学归纳法.
只要用数学归纳法结合简单的不等式放缩即可解决此题!第(1)题不难解决嘛!大受鼓舞,信心倍增!虽然数学归纳法是解决与正整数有关的数学命题的通法,但是证明过程往往较为繁琐.还有其他证法吗?简洁点的?我们知道不等式的证明也可以用导数法,这是最近几年悄然兴起的一种高考题型.导数法证明不等式实际上是研究函数的单调性和最值,故首先要构造函数,左右作差构造函数就是最近几年高考经常使用的方法.
导数是研究函数的利器!有了导数,许多函数问题都可以迎刃而解.构造函数利用导数证明不等式,已成了经久不衰的主题,也是高考一道亮丽的风景线.
相当多的数学问题,尤其是证明不等式,尝试一下“构造数列”,能产生意想不到的效果.构造数列实际上是构造函数的特例,因为数列是特殊的函数.构造数列证明不等式的关键是证明数列的单调性.通过构造数列,利用数列的单调性来解题,会使问题明朗化,解题过程变得简洁明快.证明数列单调性的常用方法是,作差或作商比较α。与αn+1的大小.若以上两种方法行不通时,则可以考虑用数学归纳法和函数单调性处理.