自动灌溉洒水系统的定位和移动的设计
摘要
本文研究的是在一块矩形田地上自动灌溉洒水系统的定位和移动，以达到灌溉时间最短，移动次数尽可能少。首先利用伯努力方程和运动学公式计算喷头喷出水流的速度，考虑喷头是向四周按对称的方式喷水，单个喷头喷出的水在地面上近似呈圆形分布，根据流体力学公式计算喷头的喷洒半径，求出单个喷头的灌溉面积。再根据喷水量的限制条件确定喷头的最佳个数，利用几何方法，依据田地的形状，确定水管的最初位置，然后利用单个喷头喷水的分布情况确定水管的移动方案，再利用一次灌溉所需要的时间，算出移动水管的时间间隔。我们得到，当水管的喷头个数为个，分别分布在水管的两端时，可使得灌溉这块矩形田地的时间最短，即每隔9.53小时移动一次，移动2次回到原来地点，就完成一次灌溉，并且满足农场主维护灌溉系统的要求。
关键字：伯努力方程 运动学 田园灌溉
问题重述
灌溉田地有多种技术，例如先进的滴水系统、周期灌溉等。其中有一种“手动”灌溉系统可以在较小的农牧场使用。数条装有若干个花洒莲蓬头的轻质铝管横放在田地上，它们被人手周期地移动，确保整块田地都获得数量充足的水分。这种灌溉系统跟别的灌溉系统相比又便宜又易于维护，而且灵活地适用于各种土地和农作物。但是缺点是它每隔一定的时间就要移动和设置，需要很多时间和人力。 为此任务你须找到一个算法，使得灌溉一块矩形田地的时间最短，以满足农场主维护灌溉系统的要求。田地里正在使用一套水管装置。你须确定花洒莲蓬头的数目和间距，并须制定计划，确定何时移动哪些水管，并且移动它们到哪里。
问题分析
对喷洒装置的理解
我们查阅有关喷洒装置的资料，了解花洒莲蓬头的结构，认为喷头喷水是向四周成对称分布，并且喷水是均匀的。水管是横放在田地上，水管上可装若干个花洒莲蓬头，假设花洒莲蓬头没有高度，各个喷头处的压强是一致的。
管内的水是理想流体
液体不容易被压缩,在不十分精确的研究中可以认为液体是不可压缩的，因此可以认为管内的水满足理想流体的条件。
理想流体的伯努力方程
伯努利通过实验得出：理想流体在做稳定流动时，流速大的地方压强小，流速小的地方压强大(但并非反比关系)，其数学表达式为
这就是著名的伯努利方程。
模型假设
花洒莲蓬头高度很小，可以忽略不计；
各个花洒莲蓬头的结构一样，能力相同；
花洒莲蓬头和水管都能正常工作；
花洒莲蓬头向四周均匀喷水；
水量满足正常供应需求；
水滴大小相等；
每个花洒莲蓬头的压强是一样的；
水管放置的空间可能没有被喷到，可以忽略；
认为洒水过程中水蒸发的损失可忽略
符号说明
，管内的伯努力常量；
，喷头处的伯努力常量；
，管内压强；
，喷头口大气压强；
，水的密度；
，空气密度；
，喷头口喷水速度；
，管内水源的速度；
，管内水源的流速；
，水管的内横截面积；
，进入水管内水的流量；
，从喷头喷出水的流量；
，喷头的横截面积；
，水从喷头喷洒出后形成圆的半径；
模型的建立与求解
喷头的流速计算
在管内，水源满足理想流体的条件，管内水源的量与喷头喷出水的量是相等的。我们建立管内水源的伯努力方程：
则
又
可以解得
这个速度对于大型应用，例如大型农场，我们计算的结果在可接受的范围之内。
注意到伯努力方程的适用范围与水管的大小是无关的。因为水的流速是恒定的，即单位时间内流出的水量与流入的是相等的，也就是
，
根据整条水管的流速是，我们可以计算出最多需要的喷头数目为个。如果喷头多于个，喷头喷出的水的速度就不能形成喷雾，而只是从喷头里面以较小的速度流出来，故喷头数目应该小于或者等于个。
喷洒覆盖模型
在喷头处，水是沿各个方向均匀喷出的。由于水源本身受到压力，在喷出时，我们知道水滴会以一个初速度作类抛物线运动。以下根据运动学及流体力学的知识，从微观的角度，分析一个水滴的运动过程。
水滴在空中运动的过程中，受到了重力和空气阻力的作用。首先，对能够达到最远射程的一个水滴的运动过程进行分析。从喷头喷出时速度记作，假设初始运动方向与水平方向的夹角为，将运动过程分解为水平和竖直两个方向来考虑。水平方向只受到了空气阻力的作用，而在竖直方向上，水滴受到了重力和空气阻力的作用。建立微分方程模型如下：
在这里将水滴看成球形，质量为，受到空气阻力的面积为球体的最大横截面积，为空气阻力系数，为空气密度，为重力加速度。通过查阅相关资料得到，空气阻力系数，空气密度。
水滴半径的大小与水源压强、喷头孔的大小等有关，比如水源的压力越大，水滴的半径越小。但为了使问题得到简化，我们取水滴半径固定不变，同时取。
通过上述分析，我们采用matlab中的ode45函数求解上述微分方程，解得：
（图一）
即为水平最远射程，也是单个喷头覆盖面积的半径。
区域覆盖模型
由以上的计算可以知道，一个喷头喷洒出水的覆盖区域为半径的圆。因为本文采用的覆盖区域是圆形的，所以下一次移动过程中喷洒的区域必须与上一次喷洒的区域重叠，才能满足所有的地方都被覆盖到的条件。因此要找出最小的覆盖模式，在节约用水和最少水量等条件的限制下，确定每次喷头所处的位置，从而确定水管的移动情况。考虑到田地灌溉的水量限制，即田地的任何部分都不应该超过厘米的水量，又都要每四天至少获得厘米的水量，确定每次灌溉的时间。一个喷头喷出的水量和被喷洒区域接收的水量是相等的，以下公式便可确定一个喷头喷洒水的区域内单位面积单位时间接收的水量：
解得
每个小时单位面积上获得的水量为：
如果要满足四天内获得的水量至少为，至少需要灌溉的小时数为：
题中已知水管的长度，由前面分析知，喷头的个数。以下分别对三种情况讨论：
(图二)
由于田地的宽度为，为了保证整个田地的区域都能接受到水，我们考虑让喷头喷洒出水的覆盖的区域正好包含田地的一个边界，如图二中时所示：
从图中可以看出，有部分水喷洒超出田地的范围，但由于喷洒面积呈圆形，必然会有一部分水滴落到田地外面才能使整个田地的任何地方被覆盖，这部分水相对整块田地的水量来说是可以忽略的。
为了不遗漏田地中的任何地方， 水管应该在田地宽的中线上移动，并且喷头的移动轨迹坐标应为：，移动次，每隔小时移动一次，四天为一个灌溉周期，即可将田地任何地方覆盖。
对于这种情况，喷头应放在水管的两端。在水喷洒时，如图二中的情况所示，有部分交叉区域将同时接受来自两个喷头的灌溉。交叉区域上每个小时获得的水量为：
，故两个喷头的喷洒区域中交叉部分不会使得灌溉的水量过多。
计算可知两个喷头覆盖区域的交叉弧段对应的弦长大于，与时的情况一样，水管仍在田地宽的中线上移动。移动时两个端点的坐标应满足：
移动的时间间隔为小时，移动两次即可， 天为一个喷洒周期。
时
这种情况仅仅是在这种情况下，在水管中间增加了一个喷头。由图一中可以看出，增加一个喷头并没有增加有效的覆盖面积，仅仅是增加了单位面积上的喷洒量。相对于情况下的移动轨迹和移动间隔时间并没有影响，但增加了喷水量，浪费了水资源。
综合上述三种方案的分析，我们得出方案二，即时最有效。
模型评价与改进
本文运用伯努力方程求解喷头处水喷洒速度，在解决喷洒半径时，考虑到了摩擦力对于快速运动的小水滴的作用。
喷洒水滴的半径随机性很大，不可能为一固定的常数，但在模型中认为是一个常数，是为了使问题得到简化。单个水滴的半径与喷洒距离之间存在着一定的关系，当喷洒的距离越远，水滴的半径越小。水滴半径越小，在喷洒过程中的损失越大。根据农田水利学中管道灌溉系统知识，在喷灌半径50－60%的范围内，即使各喷头水量不重叠，灌水量也能充分满足植株生长。而在60%以外，即喷头射程的后40%部分，随着距离的增大，水量越来越小，便不能满足植物的生长需要，而我们设计的喷灌方案中那些水量小的部分大部分分布在田的外部，具有一定的合理性。
附录：
解微分方程模型的源程序：
function dx=rigit(t,x)
dx=zeros(2,
1);dx
(2)=-3*0.6*1.25*x
(2)^2/8/0.0025/1000;
function dy=rigit(t,y)
dy=zeros(2,
1);dy
(2)=9.8-3*0.6*1.25*y
(2)^2/8/0.0025/1000;
[t,x]=ode45(@rigit,[0,4],[0,25.2607*sqrt
(2)/2])
plot(t,x(:,
1),'*')
喷头个数为n=2时的源程序：>> ezplot('(x-
1
5)^2+(y-
50)^2-400',[0,30,0,80])
>> hold on>> plot(15,30,'*')
>> plot(15,50,'*')
喷头个数为n=1时的源程序：>> hold on>> plot(15,13.2288,'*')
喷头个数为n=3时源程序：>> hold on>> ezplot('(x-
1
5)^2+(y-
40)^2-400',[0,30,0,80])
>> plot(15,40,'*')
>> plot(15,30,'*')
>> plot(15,50,'*')
