" 按打分法，最后的抉择方案是Ｃ。但是，假定甲知道其他人的偏好，他便可能将全部分都给予Ａ，从而使得Ａ获胜。其他人也可能会采取类似的做法，并且完全有理由这样做。这正是投票策略的情况。另外，当一些人知道自己最赞成的方案不会当选时，便会转而将选票投给第二好的方案，以避免更坏的可能性发生。从理论上来看，一种投票规则对偏好强度越敏感，给策略行为提供的机会也就越大。
策略行为的另一个方面是选票交易，在简单多数规则下，获胜的多数将得到的利益可能少于失败的少数而付出的代价。在这种情况下，少数人便可能试图进行选票交易，以防止这样的情形发生。这时的选票交易可能有两种情况：一是一些人贿赂另一些人，使他们投票赞成自己所赞成的方案。二是两个方面达成某种协议，在一类问题上甲方支持乙方，换取乙方在另一类问题上支持甲方。在这类交易不损害第三方的情况下，选票交易有助于增进帕累托有效性，因为显然只有当交易使有关各方至少一方获利，并且不损害任何一方时，它才能获得有关各方的赞同。选票交易有利于效率的提高，但是它却会引起高额的交易成本，并因此而使得政治过程复杂化，不利于民主政治，因此在政治上往往受到限制甚至禁止，宁可鼓励弃权，也不鼓励交易。三是无论是复数投票法还是打分投票法，虽然增加了解决投票悖论的可能性，但它们依然可能出现投票悖论。
四、单峰定理
阿罗的不可能定理表明，任何一种公共选择的投票方法均不可能完全解决投票悖论，因为任何公共选择规则都不可能满足他所提出的五项条件。根据许多学者的研究，偏好的单峰性是满足这五项条件的前提。如果对个人偏好形式加以适当的限制，就有可能改变偏好的多峰性，从而解决投票悖论。邓肯·布莱克由此提出了著名的单峰定理。他认为，通过对个人的偏好进行适当的限制，使其适合于某一种类型，则多数决策结果就满足可传递性假定。单峰定理就是如果投票者满足偏好的单峰性，并且投票者的数目是奇数，那么多数法将满足可传递性。
单峰的数学涵义是：设n个投票者的效用函数是U1 (X),…,Un (X),Ui (X)(i=1,…,n)定义在可供选择的社会状态的集合S上，那么在二维平面上，若将S标在横轴上，将Ui (X)(i=1,…,n)表在纵轴上，则至少存在S的一种排列，使得Ui (X)的几何图形均有一个高峰。
上面投票程序决定投票结果的做法实际上就是利用限制定义域的方式来使偏好具有单峰性。如对于A、B、C三个方案，可以先把偏好定义域限制在Ａ与Ｂ，两者相比Ｂ优于Ａ，具有单峰性；把定义域限制在Ｂ与Ｃ，两者相比Ｂ优于Ｃ；再把定义域限制在Ａ与Ｃ，两者相比Ｃ优于Ａ。这样多数决策的结果就满足可传递性条件，社会选择的偏好顺序将是Ｂ>Ｃ>Ａ。
单峰定理表明，在单峰型的偏好结构中，多数决策的结果是具有稳定性的。这就克服了投票悖论结果的不稳定性。不过单峰定理虽然创造了社会偏好的连续性，但违背了无限制定义域的假定。因此，在投票实践中，单峰定理也不过是在理论上给出了如何创造投票结果，而并未解决从个人偏好推导出集体偏好的问题。
不过布莱克的单峰定理依然是有意义的。因为它给出了从个人偏好推导出集体偏好的条件的另一种表述。而且还给出了从个人偏好推导出社会偏好并且避免投票悖论的可能性。单峰定理表明，投票悖论出现的可能性比较小，因为在大多数场合，个人的偏好结构会呈现出单峰形。为什么呢？假定Ａ代表低水平的预算，Ｂ代表中等水平的预算，Ｃ代表高水平的预算，在概率上说，Ｃ>Ａ>Ｂ>C的个人偏好顺序出现的可能性很小，因为绝大多数人不会认为高额预算比低额预算好，又认为低额预算比中等规模的预算好。
从数学上来看，如果y代表个人偏好的理想目标个数，以x代表可供选择的社会状态，那么，在多数投票规则中不可能存在获胜者的概率是x、y的函数，可以写成：
p=f(x,y)
在这一公式中，p表示不存在投票结果的可能性，f表示函数关系。该函数是一个增函数。这说明，只要x增加，或y增加，或者x和y都增加，则多数投票结果很可能是势均力敌、不分胜负。这说明，在一个高度不一致并且人数众多的社会中，个人之间很难达成一个比较理想的结果。反之，在一个比较统一的社会中，个人之间存在着某种程度的偏好意愿的一致性，这时几个人或更多的人会共同抱有一个理想目标，于是n减少，使多数投票产生胜利者的可能性增加。
公共选择学者戈登·图洛克认为，在现实世界中，投票者的个数总是大大超过供投票选择的社会状态的个数的。这时，出现投票悖论的概率是如此之小，以至于在实际上可以不考虑它。这时，出现一致的概率就很高，而再提出或拥护另一个选择方案的成本会高于该方案能带来的利益。如果实际的多数投票结果确实靠近中间状态，则该结果将被大家所接受。
图洛克的话可能有待于事实的验证，但它有助于说明直接民主投票制何以比间接投票制容易达成投票结果、不易导致投票悖论的原因，也可以说明直接民主很容易摧毁民主制度因而具有更大的不稳定性的原因。在直接民主投票制下，参加投票的人数总是大大超过被投票表决的方案个数的，这时出现投票悖论概率很小。这时比较容易达成一致意见，这就意味着直接民主有利于实现快速决策，这在个人偏好不易改变的情况下，就有利于民主的稳定和政策的持续性。但如果个人的偏好容易改变，则也容易为多数专制创造条件，从而摧毁民主制度本身。在间接民主制下，投票者往往限于少数人，这时投票者数目减少，而可选择的方案却比较容易提出，这时投票结果就难以达到一致的结果。如在英国，投票者总是限于保守党、工党与别的大党之间，投票者数目减少了，提出可选方案又较为方便，就使投票难以达到一致的结果。在这种情况下，在一个社会可供选择的状态的个数已经确定的前提下，决策程序越是不民主，则投票结果就越是不确定、不稳定，政府政策就越是易变。当然，由于投票者人数少，提出方案比较容易，要达成一致意见比较困难，这时也有利于保守的倾向，从而稳定先前的投票格局。
因此，单峰定理的有效性有一定的实际背景。由单峰定理可以推导出中间投票者定理。该定理认为，在个人偏好满足单峰性的简单多数规则下，在投票中赢得胜利的将会是为中间投票者所最为赞成的方案。从社会分层角度来看，中间投票者往往为拥有中间收入或财产的居民，也就是中间阶级或者中产阶级。单峰定理假定每个投票人不会以为中间状态太差，即他只能走一个极端，而不可能同时走另一个极端。这实际上隐喻了大多数选票会投在中间方案上。
正式提出中间投票人定理的是唐斯(A.Downs)。他在1957年出版的《民主的经济理论》中指出：如果在一个多数决策的模型中，个人偏好都是单峰的，则反映中间投票人意愿的那种政策会最终获胜，因为选择该政策会使一个团体的福利损失最小。中间投票者定理表明，任何一个政党或政治家，要想获得极大量的选票，必须使自己的竞选方案与纲领符合中间投票人的意愿。反过来，任何政党或政治家，如果要赢得选举的胜利，必须保持中庸。此外，如果一个社会成员中产阶级居于多数地位，那么整个社会就越是不可能出现极端的选择，就越不可能出现革命或者反革命。政治就越稳定，社会经济生活也就越有条件理性化，而不是走向极端。因此，中产阶级与民主的稳定性有着非常密切的关系。
五、交易成本
除了全体一致、多数法则、序数投票法则、打分投票法则等之外，还有单名制选区制、比例代表制等更为复杂的模式。这些模式也有其特点，并产生有趣的公共选择结果，如单名制选区制创造两党制，因为单名制选" 举制限制了定义域；比例代表制会创造多党制，因为它的选择范围较宽。这表明，限制定义域，有助于创造唯一且稳定的解。
在上述探讨中，我们均没有考察任意选择规则的交易成本问题。也就是说，我们在考察上述选择规则时，实际上假定了交易成本为零的外在条件。但是，在实际上，交易成本并不为零。每一种公共选择规则均有其交易成本。交易成本是公共选择规则之选择的决定要素，我们应该根据交易成本的高低，来决定采取何种公共选择的规则。
公共选择的交易成本包括：选择投票制度的行政管理成本、决策过程的参与成本、投票结果的实施成本以及配置方面的效率成本。就决策过程参与成本来说，又可以细分为谈判成本和机会成本。谈判成本就是为了征得一批社会成员同意采纳某项征税或公共支出子方案而必须付出的代价。机会成本就是某项提案被延迟执行而付出的机会成本。显然，共同体越大，决策的交易成本也就越大。
根据不同规则的不同交易成本，我们可以发现，简单多数的交易成本最低，而全体一致的交易成本显然最高。但并不因此可以认为多数投票规则是一种有效决策规则，也不能说全体一致是值得追求的。事实上，实行一致原则，等于是承认任何人都有否决权，这会造成少数人的苛政，也会削弱共同体的行动能力。反过来，要制约政府采取集体行动的能力，最好的办法也就是采用交易成本较高的投票规则。这也就是自由的政府、法治的政府、民主的政府往往比专制的政府缺乏集体行动的能力，因而更能够实现有限政府理想的原因所在。当然，如果民主政府只实施简单多数的法则，民主政府也会产生多数的暴政，导致多数人剥削、压迫少数人的格局。这样的民主政府实际上就是暴民政府，它与自由的、法治的政府相比，更容易滥用权力。因此，现代政府实际上都是自由、法治、民主政府的混合物，它以自由为基础，法治为框架，民主为背景的有限且有效的政府。
第四节 政治均衡与立宪政治
公共选择研究指的是与市场选择相对的公共领域的选择。布坎南和图洛克是公共选择理论的奠基者。他们主张个人至上，以立宪框架，实现政治均衡，利用可靠的宪政制度，实现有限政府。
一、政治均衡
理想的公共选择是无政府的公共选择，是每一个人都有充分的自由的社会。布坎南认为，“理想的社会是无政府的社会，在这样的社会中，没有任何人或者集团能够强制他人。”在理想的社会中，每一个人都有完全的自由，并且特别强调消极方面的自由：“如果没有任何人或者集团强制他(她)这样做，那么这个人在作出某一行为时就是自由的。”比如一个人没有他人或者集团的干涉，他有权仰着睡或者趴着睡。这时他是自由的。不幸的是，他由于身体上的疾病只能选择一种睡法，这时他同样是自由的。根据布坎南的看法，个人自由，应该是“社会政策中压倒一切的目标”。
在自由市场条件下，人们能够自由地进行讨价还价并签订契约，这时人们能够享受自由。他们假定，“个人是唯一重要的决策单位，个人为效用最大化考虑所激励，并且他们在进行选择时消息灵通且充分理性。”“只有个人才作出选择和行动。集体本身不选择也不行动。”效用最大化，就是为自己的利益服务。效用最大化包括任何能够带来快乐和满足的或者有价值的东西。也就是说人是自利的，在市场中是如此，在公共领域中也是如此。“当个人由市场中的买者或者卖者转变为政治过程中的投票者、纳税人、受益者、政治家或官员时，他们的品性不会发生变化。”
公共选择研究的主要成果就是在市场领域里，自利的人们自由选择能够实现经济均衡，实现共同富裕，但在公共领域里，自利的人们自由选择的结果却是政治均衡，这一均衡导致的是零和的博弈，甚至是人人理性、社会不理性的纳什均衡格局。搭便车、大政府、寻租等等十分恶劣的后果都是政治均衡的表现。
在公共领域里，如果某一项政策的选择要满足不损害任何一个人的利益的条件，就必须采取一致同意的选择规则。由于一致同意的代价非常昂贵，它不是导致一事无成，就是不得不经常向反对者行贿。因此，公共领域的选择规则往往会倾向于尊重多数的意见，实行少数无条件服从多数的原则。
多数统治原则的实施，会自然而然地导致大政府的恶果。假定有100个人通过多数原则建立政府来统治自己。根据多数统治规则，任何51个人就可以采取集体行动，即使这种行动必须要由其他49个人付出一部分的代价。由于51个人组成的多数并不一定是同一批51个人，因此人们可以组织任意的51个人来采取强制性的行动，并让其他49％的人支付一部分成本。由于多数派总是能够依靠多数原则来剥削少数人的利益，人们就会越来越依靠多数统治的办法来搭少数人的便车。结果公共领域日益扩张，也就是政府扩张，市场缩小。
政府扩张导致寻租泛滥。在此，公共选择学者的寻租不是土地所有者出租土地所征收的租金，它指的是“通过国家的保护所产生的财富的转移”。它包括“旨在通过引入政府干预或者终止它的干预而获利的活动”。在这个意义上，要求政府限制日本汽车进口的通用汽车公司的说客就是寻租者。要求加薪的官僚是寻租者。反对进口限制和反对给官僚加薪的人也是寻租者。简言之，通过政府作为或者不作为来获得好处的任何行为都是寻租行为，阻挠他人寻租的行为也是寻租行为。
寻租行为并不是通常所说的寻利行为。寻利行为是一种生产性的努力，它有助于社会的福祉，但是寻租行为涉及资源的非生产性运用，如说客的时间和才能就是非生产性的运用。把可用于生产性活动的资源用于非生产性的寻租活动，减少了总的财富。图洛克把寻租看作是“负总和的游戏”(Negative Sum Game)，认为第三世界国家的落后是因为这些国家存在着大量的寻租行为。
官僚也是个人效用最大化的自私的寻租者。他们最关心的是自己的职位、工资和津贴，由于他们的前途取决于他们所工作的政府部门的状况，因此他们也特别关心自己所在的工作部门的扩张，希望有更多的人员，有更多的预算。他们努力扩张政府部门的职能，同时设法反对可能导致其人员精简或者预算削减的发展。在每一个财政年度将要结束时，他们会花完最后一分钱，唯恐本年度有剩余后，下一年度的预算就会削减。同时还会想方设法证明该年度预算规模不足。对于寻租者来说，他们一边抱怨官僚机构为何不死，为什么不衰亡，一边则设法支持官僚机构，因为一旦真的死亡了，寻租者也无机会寻租了。
就像官僚一样，军事人员也是自私的寻租者。他们总是强调国防安全的重要性，夸大外国势力侵略的可能性，以便维持庞大的军费开支，维持更多的军职。
投票者投票的动机也是为了增进自己的利益。他们选择那些能够满足他们欲望的立法者。立法者也为自利所驱使，他们为了再当选，他们在投票时更倾向于考虑那些特殊选民的利益，并且尽可能地把成本分配到其他无关紧要的选民身上。对立法者要求扩张政府，要求增加政府开支的压力大于要求精简政府，缩减预算的压力，于是政府一直在扩张，而当税收无法维持政府支出时，政府就会举借国债，实施赤字财政，制造通货膨胀，变相征税。
因此，在公共选择学者看来，政府就是所有人都力图依靠他人来生活的东西，政府是寻租的根源。政府扩张是多数统治原则条件下一部分人积极选择的结果。这时，就要建立可靠的宪政制度，保护个人的自由，保护市场，制约多数的权力，遏制政府的扩张，遏制寻租，变恶性的政治均衡为良性的政治均衡。
二、宪政制约
布坎南和图洛克在《同意的计算》中，分析了立宪民主的逻辑基础问题。他们的研究不是描述性的，也不是历史的，而" 是逻辑上的。他们研究的立宪问题不是人类的宪法是如何制定的，也不是某一部宪法在什么样的历史条件下成为宪法，而是在立宪过程中何种政府理论影响了理性的、逻辑上是效用最大化的制宪者。
根据布坎南和图洛克的看法，逻辑上的制宪者充满害怕而不是充满希望。他们怀疑政府，认为政府是最大的威胁。他们关心如何保护自己，而不太关心政府将会帮助他们解决问题，实现进步。为了保护个人的自由，他们肯定要求宪法在一致同意的情况下才生效，给每一个人以否决的权利，政府就不会浪费任何纳税人的钱。无政府状态下人们可以拥有充分的自由，但一旦任何人均可以自由地强制他人时，其结果很可能是霍布斯的一切人反对一切人的战争状态。如果任何人均能够利用一致同意规则给予的一票否决权，政府在公共领域里必将一事无成。一致同意将会使政府完全失效，或者不得不向拒不合作者行贿，因此它本身也是昂贵的。因此逻辑上的制宪者必然选择多数统治的原则。然而，多数统治原则必然导致大政府和寻租泛滥。因此，制宪者必然会制定制约多数权力、保护少数权利的宪政安排，立宪的政府必然是有限的政府。
布坎南的宪法经济学提出了立宪政治的基本原则。他认为，人有坏的一面，也有好的一面，但“在设计政治制度及对宪法确定若干检查和控制条款时，每个人必须被当作一个无赖，他的所有行为除了追求私人利益外，别无其他目的”。人是自私的，在公共领域里一旦掌握了权力，就必然会损公肥私，这时即使有很多人大公无私，只要有人自私，损公肥私也必然发生。因此，“立宪政治的一个重要原理是要作以下的假定──掌权者将滥用政治权力去促进特殊的利益；这不是因为情形常常是如此，而是因为这是事物的自然趋势，这是自由制度特别要加以防止的”。
布坎南分析了宪法经济学在税收、干预政策以及宪法改革三个领域的应用问题。他认为，在税收领域里，关键问题在于外部征集的税收对于处于市场上作为物品和劳务的需求者及供应者的私人经济行为会产生什么影响。新古典税收理论无论在实证还是在规范上都假定税收本身对于选择过程来说是外生的。公共选择研究则假定政治决策制定是内生的。各种税基额外的负担轻重的排序和选择不如各种税基条件下政府收入大小的排序和选择重要。税收问题关键在于政治决策结构与财政制度的相互作用。
凯恩斯主义主张利用政府预算来实现宏观经济目标，忽视了政治决策结构对预算的影响。公共选择研究表明，民主政府喜欢支出而不愿征税，从而趋于使预算出现赤字的倾向。布坎南认为，在后凯恩斯时代，当对政治行为者的道德约束失去它们先前的大部分效力时，就需要限制赤字融通的正式规则，以保证负责任的财政决策。
布坎南认为，通过政府的再分配政策实现分配的公平，在民主政府中，再分配政策实现公平的可能性取决于利益集团政治能否实现分配公平。不过，公共选择研究表明，“利益集团之间不受约束的政治斗争不可能促进分配公平的种种目标”。在这种情况下，就需要设置适当的制度安排，制约利益集团之间的竞争，从而有可能利用利益集团之间的竞争来实现公共利益。
总之，只有充分竞争的市场机制，才能从个人的偏好推导出集体的偏好，才能使公共的利益兼容任何个人的利益，不损害任何个人的利益，以个人利益为基础，为所有个人的利益服务。但是市场机制的作用是有一定的界限的，在许多情况下，我们依然不得不使用非市场的规则来从个人的偏好推导出集体的偏好。与市场规则相比，非市场的选择规则有种种缺陷，其中最大的缺陷是它无法形成不牺牲任何个人利益的公共利益，在存在投票悖论的情况下，而且还根本不可能从个人偏好推导出集体的偏好。公共选择的研究表明，任何非市场的选择规则，都不能满足阿罗不可能定理所提出的条件，因此投票政治不能替代市场机制。因此，投票政治必须让位于市场经济，把整个社会尽可能建立在市场选择的基础上，压缩公共选择的空间，并针对公共选择的自我膨胀倾向，对其实施宪政制约。
（注释略）
