摘要：本文使用沪深300股指期货连续日数据，运用较完整的分析过程，从初始数据平稳性判断处理，对特征事实的计算和观察，资产对数收益率ARMA模型选模原则及拟合效果，到GARCH模型拟合、残差诊断及预报，并将预报结果应用于在险价值（VaR）和期望损失（ES）的计算中。
关键词：ARMA GARCH；险价值VaR；期望损失ES；股指期货
引言
波动率研究一直是金融市场中的一项重要课题，其所涉及到的相关研究模块有基础资产的分布研究、通过基础资产或相关度高的资产衍生品进行风险管理、包括期货及期权产品、指数化产品市场等。随着金融市场产品的不断丰富和完善，管理难度增加，加之几次金融危机爆发给金融机构所带来的灾难性影响，针对多资产所进行的风险管理已经成为金融机构及监管当局所关注的焦点。
为了提高波动率研究的精准度，金融市场中的统计模型和方法已经成为研究理论和实证分析中必不可少的部分。本文就沪深300股指期货近5年的交易数据，以科学有序的研究方法分析数据，其中考虑到金融时间序列所具有的波动率聚集、尖峰后尾态分布、非对称性和杠杆效应等效应，使用较比于正态分布具有厚尾性质的Student t 分布假设拟合GARCH模型，并根据所拟合的GARCH模型进行残差诊断及预报，最后采用国际广泛认可的风险测量技术计算在险价值（VaR）。
一、数据来源与处理方法
二、数据平稳性及ARMA模型
ARMA模型在商业、经济和工程时间序列的建模中很有用，对于金融中的收益率序列，直接应用ARMA的机会比较少。然而，ARMA模型的概念与波动率建模有密切关系，波动率研究中被广泛使用的广义自回归条件异方差（Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedastic，GARCH）模型可以认为是序列 ut2 的ARMA模型。
一般的ARMA（p，q）模型形式为
其中{ut }是白噪声序列。
将ARMA模型推广到允许其特征多项式以1作为特征根，则模型为自回归求和移动平均（Autoregressive Integrated Moving Average， ARMA）单整ARMA模型。因为其AR特征多项式有单位根，所以ARMA模型为单位根非平稳，有强记忆性，因为其MA中的系数不随时间衰减，即过去的扰动项对序列有持久效应。
处理单位根非平稳性的方法是差分（differencing）方法。在金融数据中，通常认为价格序列是非平稳的，而对数收益率序列 xt=ln（pt ）-ln（pt-1） ） 是平稳的趋势平稳时间序列。
图1.（上图）原始数据时间序列（下图）差分后对数收益率
实证利用股指期货对数收益率差分后，最大似然函数MLE方法得到的AR阶数为0，Dickey-Fuller单位根检验，统计量-34.8827，p-value 0.01拒绝原假设。
三、季节差分和SARIMA模型
用算子1-B的作用做差分可以去除线性趋势，而季节差分则致力于除去周期性的季节因素季节性ARIMA
（p，d，q）×（P，D，Q）s 模型（或称SARIMA模型）
其中，φ 和 Φ 分别是 p 阶和 P 阶多项式，且零点都在单位圆之外，ψ 和 Ψ 分别是 q 阶和 Q 阶多项式。SARIMA（P，D，Q）S 模型，如：
Φ（Bs） （1-Bs ）D xt=Ψ（Bs ） ut
是ARIMA过程的一个季节性版本。ARIMA模型的基本想法是对时间序列做尽可能少的差分（或做季节性差分来处理周期性因素）使之达到平稳。实际中常常通过对差分序列或其ACF作图来观察平稳性。（图2）
图2.季节差分
四、独立性检验
利用ACF自相关函数检验数据平稳性。
图3.对数收益率及对数收益率平方的ACF和Ljung-Box检验
实证结果显示，对数收益率的自相关程度较低且存在条件异方差。直觉上，可倾向于考虑GARCH（1，1）拟合。
五、波动率聚集现象
许多金融时间序列数据都表现出大的收益率波动群聚现象，这种现象导致平方收益率数据比收益率数据本身表现出更强的自相关性。波动率聚集再股票、商品以及外汇的日内、日及周收益率数据中都十分常见。检验方法使用Ljung-Box统计量，峰度和自相关系数的矩估计对异常值十分敏感。
六、资产收益率时间序列的特征事实
七、尖峰态分布
根据实证结果，峰度为4.26，一个风度超过3的分布成为尖峰态，这样的分布往往具有比正态分布更厚的尾部。在一个标准的市场模型中，出于可行性考虑，我们通常在正态性假设下来推导定价及风险管理公式；但是考虑到实际收益率数据所表现出的厚尾性，对其进行调整的一种方法是将正态分布替换为一个合理的Student t分布。
八、非对称性和杠杆效应
根据实证结果，偏度为-0.19负偏。因资产收益率向上和向下运动幅度的对称性在股票市场中普遍存在。对应于较大的正收益率的波动率明显小于同样幅度负收益率的波动率，即为非对称性的杠杆效应（Leverage effect），造成这种非对称性的一种可能的原因是股票价格的下跌会导致资产负债率的下降，而这又会增加股东收益率的波动率。此外，波动率增加的信息使得股票的未来变得更加不确定，因此资产价格和收益率的波动性更强。
九、外部事件的响应
Engle和Patton（2001）指出，一些外部事件和外生变量会影响股票收益率波动的模式。包括公司预发红利公告和宏观经济变量等。本文中对此部分暂不做讨论。
1.ARMA-GARCH 模型拟合
根据ARMA（p，q）模型
采用AIC选模方法，选取最小AIC得到，ARMA（0，0）模型
2.ARCH模型和GARCH模型
Bollerslev（1986）提出了广义自回归条件异方差（Generalized ARCH， GARCH）
其中为独立同分布随机变量，服从标准正态分布或者标准 Student t 分布。
3.GARCH（1，1）拟合及残差诊断
其中，Student t 分布的自由度 υ=3.451188
图5.GARCH（1，1）拟合对数收益率后的残差ACF及LB检验
残差诊断显示，对于不同的时滞期m给出的Ling-Box统计量Q（m）的p值，都远大于0.05（虚线给出部分）拒绝自相关系数为零的假设。
十、金融风险和市场风险的度量
金融风险可以被分为市场风险、信用风险、流动性风险、操作风险和法律风险。最初的巴塞尔协议主要关注于发行者的信用风险，其1996修订将注意力更多转向市场风险。在该修订中，对银行用于计算其资本金要求的内部模型提出了一些监管要求。其中，要求负责内部模型建立和执行的风险管理部门应当独立于其监管之下的部门，并直接向高级经理汇报。要求出去对监管资本金的计算以外，模型还应当充分融入银行的风险度量和管理，并且应当定期对这些模型的表现进行历史回顾和压力测试。
Dowd（2005）指出，大量金融机构对于内部模型的研发在20世纪70年代末就已经开始，他们不仅希望能够支持自己内部的风险控制，还希望将模型做成系统卖给其他的金融机构和公司。如J.P.Morgan的RiskMetrics系统，就是要求员工在每个交易日结束之后，递交一份一页的报告，说明在未来24小时内整个银行的所有投资组合的风险和潜在损失。在险价值（Value at Risk，VaR）能够度量所有交易头寸的风险并能将所有风险汇总到一个单一的风险度量的系统中。
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一、VaR的相关统计模型
在险价值是最重要并得到广泛应用的风险管理量之一。它衡量了一个金融机构的头寸，在给定的持有期和给定的置信度下由于市场变动可能发生的最大损失。VaR是在给定的持有期，预计盈亏分布的分位数，令X表示从持有期初倒期末，金融头寸价值的改变，一个多头头寸L（及一个空头头寸S）在该持有期的100（1-α）%，VaR定义为X的 α 分位数：
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二、期望损失ES
当X的分布函数F连续时，Artzner et al.（1997）提出了期望损失（Expected Shortfall，ES）的概念，定义为给定损失超过100（1-α）% VaR的条件下，发生损失的条件期望
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三、高斯模型及其t分布修正
收益率为独立同分布的正态随机变量的经典假设为VaR的计算提供了一个方便的框架。首先，将收益率减去均值再除以标准差后，柒分位数就是正态分布的分位数，从而很容易计算。其次，很容易进行时间和不同资产之间的加总。如果日对数收益率的均值为μ， 方差为σ2，那么 k 天的VaR就是N（k μ，kσ2 ）分布的分位数。如果所有资产的收益率为联合正态分布，那么 r ～ N（μ，σ2 ），所以一个多头L或空头S头寸在k天100（1-α）% VaR 为
其中，Φ-1 （p） 为标准正态分布的p分位数，φ（・）表示标准正态分布的密度函数。
在实际中，μ 和 σ 都是未知的，需要从历史数据中估计。对于VaR的计算通常用Student t分布来代替正态分布假设。因为t分布较正态分布具有厚尾性。则假设为Student t分布自由度υ≥2，一个多头头寸在一天100（1-α）% VaR 为
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四、案例试算
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五、结论
根据以上方法对股指期货近五年的主力合约连续日交易数据进行的实证研究表明，股指期货对数收益率符合波动率聚集、尖峰厚尾、非对称性及杠杆效应，建议以Student t分布替换标准正态分布拟合ARMA-GARCH模型进行波动率分析及预测，以此假设下得出的预测值用于测算在险价值VaR方面照比正态分布假设更加合理。
