摘 要： 模糊C均值聚类（FCM）算法是一种基于非监督聚类算法。样本加权模糊C均值聚类（WFCM）算法是FCM算法的改进，该算法能够明显提高收敛速度和聚类的准确性。无论是FCM算法还是WFCM算法，对噪声都相对敏感，而且聚类数目仍然需要人工确定。在此提出一种改进算法，首先通过偏微分方程（PDE）降噪算法对原始脑MRI医学图像进行处理;其次利用聚类有效性确定最佳聚类数目，对WFCM算法进行改进;最后利用本文改进算法对图像进行聚类分割。实验表明，该方法是一种具有自动分类能力、抗噪性较好的模糊聚类图像分割算法。
关键词： 图像分割; PDE降噪; 聚类有效性; 样本加权; 模糊聚类
Application of an improved WFCM?based algorithm in MRI image segmentation
HAN Hong?wei， MIAO Jia?qing
（Engineering Technical College， Chengdu University of Technology， Leshan 614000， China）
Abstract： Fuzzy C?means clustering （FCM） algorithm is an unsupervised clustering algorithm. The sample weighted fuzzy C?means clustering （WFCM） algorithm is an improved FCM algorithm， which can significantly improve the speed of convergence and accuracy of clustering. Both FCM algorithm and WFCM algorithm are relatively sensitive to noise， but still need to determine the number of the clusters manually. In this paper， an improved algorithm is proposed， in which the noise reduction algorithm of partial differential equations （PDE） is used to process the original brain MRI image， and the cluster validity is adopted to determine the optimal number of clusters to improve WFCM algorithm and execute the image segmentation. Experiment results show that the improved algorithm has a capability of automatic classification and better noise immunity.
Keywords： image segmentation; PDE noise reduction; validity of clustering; sample weighting; fuzzy clustering
0 引 言
但是模糊C均值聚类这种算法也存在着一些明显的不足。比如没有充分利用图像的空间信息、聚类数目无法自动确定、计算量大等问题[3]。文献[4]提出了样本加权的模糊C均值聚类（WFCM）算法，作者认为样本在聚类过程中所起的作用不一样，对聚类结果产生的影响就不同，因此给每个样本赋予一定的权值对FCM目标函数进行修改，同时修改迭代公式。该算法提高了收敛速度和聚类的准确性，但是仍然无法克服人工确定聚类数的缺点，而且抗噪表现不理想。本文在该算法的基础上首先进行了偏微分方程图像降噪处理， 其次利用聚类的有效性进行最佳聚类数目确定， 最后进行样本加权改进。这样能够得到一种能自动给出最佳分类、抗噪性更好的改进算法。本文使用的脑MRI医学图像由西门子0.35T永磁核磁共振仪直接拍摄提供。
1 偏微分方程降噪方法
1.1 基于各向异性扩散PDE降噪模型
基于PDE的图像处理方法在医学图像降噪领域得到了广泛的应用，因为它在平滑噪声的同时，可以使得医学图像的细节，如血管信息， 病灶区域边缘和医学纹理信息等得到保护[5]。利用偏微分方程进行图像降噪的方法比较多，其中Catte降噪模型最具有代表性。Catte降噪模型是P?M降噪模型的改进. 下面介绍P?M图像降噪方法。Perona和Malik于1990年首先提出了各向异性扩散PDE模型， 即P?M模型[6]， 如式（1）所示： [?u（x，y，t）?t=span（g（?u）?u）u（x，y，0）=u0（x，y）] （1）
式中：[g（?u）]被称为各项异性扩散函数， Perona和Malik给出[g（?u）]函数的经典选择， 如式（2）所示：
[g（?u）=exp?uK2] （2）
或选择：
式中：参数[K]是边缘阈值，故而对于函数[g（?u）]中[K]的取值十分重要， 假若[K]取值过大， 脑MRI医学图像平滑过渡会直接导致医学图像的边缘模糊，医学信息细节丢失; 假若[K]取值太小， 脑MRI图像较早的停止了平滑扩散进而导致图像降噪效果不理想[7]。
现在来了解各向异性扩散的PM方程中的常量[K]对扩散的影响， 如式（4）所示可知：
[Φ（?u）=g（?u）?u] （4）
首先对于梯度[?u]增大， 则[Φ（?u）]在零点附近的值趋于零， 当[?u≈K]时函数[Φ（?u）]取得最大值， 然后函数[Φ（?u）]的值又下降到零， 故而函数[Φ（?u）]的扩散特征可进而表示为： 当[?uK]时， 各向异性扩散退化为各项同性扩散; 当[?uK]时， 函数[Φ（?u）]的值趋于零， 各向异性扩散是很微弱的， 这样就便于脑MRI医学图像的边缘，血管等医学细节信息的保留。
PM方程的各向异性扩散的主要原理是： 沿着脑MRI图像的法向进行相应的滤波增强脑MRI图像的边缘的敏感性， 而沿着脑MRI医学图像的切向进行滤波则降低噪声。P?M方程可重写成如下形式：
式中：[λ0（λ=1k）]是参数;[η=?u?u]; [ξ=?u⊥?u⊥][（?u⊥=（-uy，ux））]; [ξ]，[η]分别是脑MRI图像的切向和法向两个方向。同理，式（5）可重写成如式（6）的形式：
[?u?t=?u=uξξ+uηη] （6）
对比式（5）和式（6）可见， 上述的降噪方法虽然可以实现脑MRI图像的医学细节信息的保留和图像降噪两个方面。由于该偏微分方程的所求得的解并不是惟一的， 就是说该偏微分方程是一个病态的PDE问题[8]。
各向异性扩散的P?M模型在一定程度上改进了各项同性扩散所存在的缺陷，但是P?M模型是一个病态问题， 为了解决这个问题使用正则化方法。利用[Gσ??u]替换掉式（4）中的[?u]来改进这个各向异性扩散的P?M模型， 其中[Gσ]是高斯核函数. 则P?M模型可以改进为如式（7）的形式：
[?u（x，y，t）?t=span[g（Gσ??u）?u]] （7）
式中[Gσ??u=?（Gσ?u）=?Gσ?u]， 同时式（7）也被称为正则化的各向异性扩散P?M方程， 也被称为Catte降噪模型. 对于上述的P?M模型， 改进了的Catte降噪模型主要有两个优点：
（1） 利用 Catte降噪模型降低脑MRI图像中的噪声点， 效果非常明显， 与未改进的P?M模型相比， Catte降噪模型首先平滑了图像， 即首先进行了脑MRI图像的降噪。
（2） Catte降噪模型最为主要的思想是在各项异性的扩散中加入了各项同性的扩散。
图1是Catte模型对高噪声原始脑MRI医学图像[u0（x，y）]降噪结果。
E：＼王芳＼现代电子技术201506＼现代电子技术15年38卷第6期＼Image＼38t1.tif
图1 各项异性扩散的Catte模型降噪结果
2 样本加权模糊C均值聚类算法
2.1 FCM算法
FCM算法[2]是目前比较流行的一种模糊聚类算法，它适合于图像中存在不确定性和模糊性的特点，同时FCM算法是属于无监督的分类方法，聚类过程中不需要任何人工的干预，很适合于自动分割的应用领域。式（8）给出了基于目标函数的一般描述：
[pi=1k=1nμikmk=1nμikmxk] （10）
由以上算法不难看出，整个计算过程就是反复修改聚类中心和分类矩阵的过程，因此常称这种方法为动态聚类或者逐步聚类法。几经修补，该算法的收敛性已经得以证明：FCM算法能从任意给定初始点开始沿一个迭代子序列收敛到其目标函数[JmU，P]的局部极小点或鞍点[1]。
