初读此题,发现题目虽给出了一个新的概念:“类对称点”,但其实此题是根据2007年湖南高考题改编而来,只不过是换了一个名词和一个新的函数,我们先来重温下这道高考题:
此题的题干中有一段描述性的文字描述了曲线与其切线的关系,而且还在后面专门又作了注释,这在高考题中是很少见的,其实从图形语言来看,很容易知道曲线与其切线在切点附近,有如下两种情况:
根据这两种情况,我们可以从如下2个角度来考虑曲线和切线的关系:
事实上,如图2,曲线在x=x0的情形其实就是高等数学中拐点的定义,上述三题本质上都是考查了函数拐点的必要条件.
拐点定义(根据高等数学同济6版上册第151页)
一般的,设y=f(x)在区间I上连续,x0是I的内点(除端点外的I内的点).如果曲线y=f(x)在经过点x0,f(x0)时,曲线的凹凸性改变了,那么就称点x0,f(x0)为这曲线的拐点.
拐点的必要条件设f(x)在(a,b)内二阶可导,x0∈(a,b),若x0,f(x0)是曲线y=f(x)的一个拐点,则f″(x0)=0.
拐点的充分条件:设f(x)在(a,b)内二阶可导,x0∈(a,b),f″(x0)=0,若在x0两侧附近f′(x)异号,则点x0,f(x0)为曲线的拐点.否则(即x0两侧附近f′(x)保持同号),(x0,f(x0))不是拐点.
一般来说函数的一,二阶导数基本给出了人们通常感兴趣的函数特征,因此,如果对函数的一二阶导数有较好的理解,对函数的基本形态也基本了解了.
数学考试说明明确指出,数学科考试要“发挥数学作为基础学科的作用,既考查中学数学知识和方法,又考查考生进入高校继续学习的潜能”.因此高考中会有很多大学知识通过变化巧妙地渗透到试题中,因此在日常教学中,作为中学教师要有意识地向学生介绍一些高等数学中的公式和定理,这样不但可以增加数学知识,扩大解题途径,还可以激发学生的求知欲望,让他们懂得,站得高才能看得远