我们先来了解一下集合的有关概念：集合是具有某种特定性质的事物的总和。这里的“事物”包含的对象非常丰富，可以是人，比如在做广播操时，各个班级的同学站在一起，每一个班级的同学都组成了一个集合；可以是物品，比如全校的黑板擦放在一起就组成了一个黑板擦的集合；也可以是数学元素，比如所有正整数组成了一个集合，所有无理数组成了一个集合。
19世纪70年代康托尔创立了著名的集合论。在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受，并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦，因而集合论成为现代数学的基石。集合论产生后，数学家们以为数学的严格性终于实现了，人们把数学基础理论的不矛盾性归结为集合论的不矛盾性。
可是，英国科学家罗素认为集合论是自相矛盾的，没有相容性。这就是著名的罗素悖论，或者说是“集合论”悖论。通俗地讲，我们知道整体大于部分，可罗素悖论却告诉我们：整体并不一定大于部分，或者说部分并不一定小于全部。我们可以通过一个例子来说明罗素悖论的含义：
甲乙两个人进行写数字比赛，甲写出一个整数，乙把它乘以2就得到一个偶数。
这样你来我往，偶数与整数一样多。
但是我们知道，整数是由奇数和偶数构成的，一般都认为整数的个数多于奇数或偶数的个数，也就是整体必然大于部分。但上面的例子却说明：整数的个数与奇数或偶数的个数一样多。
事实上，这样的例子还有很多，我们再看一个几何方面的例子：
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，在斜边AB上任取一点，向直角边BC作垂线，垂足在BC上，我们会发现，对于斜边AB上的任意一点，直角边BC上都有一个点与它对应，因此斜边AB上的点与直角边BC上的点一样多，即斜边AB与直角边BC一样长。
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看，多么奇怪的结论！偶数（奇数）与整数一样多，斜边与直角边一样长。
为什么会出现这样的奇怪结论？难道我们以前学习的结论是错的？
其实，上面的两个结论并不奇怪，我们以前学习的结论也没有错，问题是这些结论成立的前提不同。
我们以前学习的结论是在有穷的情况下研究的，而上面的两个结论是在无穷的情况下研究的。比较两个无穷集合的方法是给两组无穷大数列中的每一个数一一配对，如果这两组最后一个都不剩，这两组无穷大就是相等的；如果有一组还有些没有配完，这一组就比另一组大些。这种方法显然是合理的也是唯一可行的方法。但是当把这种方法实际应用时，会得到许多令人大吃一惊的结论。根据上述比较无穷大数的原则，偶数的数目与整数的数目是同样多的。当然，这个结论看起来是非常荒谬的，因为偶数只是整数的一部分，这与整体大于部分的直觉显然矛盾。由于这种矛盾首先是伽利略发现的，故称“伽利略悖论”。康托尔认为，伽利略悖论并非什么“悖论”。任何两组东西，只要能相互一一对应，就是一样多。“整体大于部分”这条规律只有在有穷的情况下正确。在无穷大的世界里，部分可能等于全体！这就是无穷的本质。
