摘 要： 模块主成分分析是人脸重建中一种重要的子空间学习方法，鲁棒性不足是传统的基于L2范数的模块主成分分析（BPCA-L2）的主要问题。为此，提出了一种新的基于L1范数的模块主成分分析（BPCA-L1）方法。该方法使用了对奇异值不太敏感的L1范数。基于L1范数的模块主成分分析方法简单并易于实现，在一些人脸数据集上的重建实验验证了其有效性。
关键词： 模块主成分分析； L1范数； 主成分分析； 鲁棒性
Application of block principal component analysis in face reconstruction
Wang Ya'nan， Lou Hanxiao， Chen Daben， Xu Shuhua
（School of Maths and Physics， Shaoxin College， Shaoxing 312000）
Abstract： The block principal component analysis is an important subspace learning method in face reconstruction. Lacking robustness is a main problem of the traditional L2-norm （L2-BPCA）. In this paper， a method of block principal component analysis （BPCA） based on a new L1-norm is introduced. L1-norm is used， which is less sensitive to abnormal values. The proposed block principal component analysis based on L1-norm is simple and easy to be implemented. Experimental reconstruction on several face databases are conductive to verifying the validity of L1-BPCA.
Key words： BPCA； L1-norm； principal component analysis； robustness
0 引言
然而，2DPCA仅提取像素排列中的行向量的图像信息，而与特征提取具有同等地位的列向量空间排列是完全被忽略的。一般来说，模块PCA（BPCA）[3]是将每个图像分成若干个块，然后在这些模块中使用PCA进行处理。如果模块作为行向量，那BPCA就是2DPCA，那么BPCA在这个意义上泛化为2DPCA。
1 基于L1-范数的模块PCA
1.1 理论分析
将每张图像Xi（i=1，…，n）分成m个小模块形成集合{，…，}。这些模块必须包含h个像素点。用{，…，}表示这些模块图像的向量，也就是说，依字母顺序排列每一个小模块中的像素点。我们的目标是找到一个h维单位长度向量ψ*使L1范数离差达到最大，ψ*由下式给出：
⑴
通过迭代算法求解ψ*。首先，构建一个极性函数：
⑵
更新第（t+1）次迭代的投影向量ψ（t+1）为：
⑶
在图像重建中，图像块{，…，}不能重叠，并且要求覆盖整个图像。但通常情况下，图像块不一定有相同的矩形形状或覆盖整个图像。例如，模块可能是部分重叠的圆圈。
为了提取第（l+1）个基向量， 其中l?1，根据如下公式更新训练数据： ⑷
其中并且有ψ1=ψ*。
⑴ 初始化：图像Xi（i=1，…，n）分成m块，记为{，…，}。
⑶ 迭代和最大化：令t←t+1，。
⑷ 收敛性检验：
（a） 如果ψ（t）≠ψ（t-1），则执行第二步；
（b） 否则如果存在i和j使得，令，继续执行第二步，其中Δψ是一个小的非零随机向量；
（c） 否则，令ψ*=ψ（t），最后算法结束。
2 实验
2.1 实验数据
2.2 实验结果与分析
对于每个数据集，我们进行了20次实验并计算平均重构误差。实验前，对每个输入变量进行标准化，它们具有零均值和单位方差。
图3中，第一行使用BPCA-L2，第二行使用BPCA-L1。第一列是原始图像，第二、三和四列是重构的图像，它们投影向量分别是5、10和30。
3 结束语
参考文献：
[1] I.T Jolliffe. Principal Component Analysis[M]. Springe-Ver1ag，
1986.
[2] Yang， J.， Zhang， D.， Frangi， A.F.， Yang， J.-Y. Two-dimensional
PCA： A new approach to appearance-based face representation and recognition[J]. IEEE Trans， Pattern Anal， Machine Intell，2004.26（1）：1-7
[3] Zuo， W.， Zhang， D.， Yang， J.， Wang， K.. BDPCA plus LDA： A
novel fast feature extraction technique for face recognition[J]. IEEE Trans，Systems Man Cybernet. B，Cybernet，2006.36（4）：946-953
[4] 王东霞，刘秋菊，刘书伦.一种l2，1范数最小化问题的算法研究[J].福
[5] Ding， C.， Zhou， D.， He， X.， Zha， H.. R1-PCA： Rotational
Trans， Systems Man Cybernet. B， Cybernet， 2009.40（4）： 1170-1175
[7] Pang， Y.， Li， X.， Yuan， Y.. Robust tensor analysis with L1-norm[J].
