声波的传播速度的研究
机械振动在媒质中的传播过程称为机械波。声波是一种机械波。适当频率和强弱的声波传到人的耳朵,人们就感受到了声音。弹性媒质的存在是声波传播的必要条件,人们很早做过一个简单实验也清楚地证明了这一点,把电铃放在玻璃罩中,抽去罩中作为弹性媒质的空气,结果只能看到电铃的小锤在振动,却听不到由它发出的电铃声。
波速是媒质的一种特性。流体只能传播纵波(表面除外),固体既能传播纵波,又能传播横波。波速随媒质中波的种类而异。在不均匀媒质中,各部分媒质的波速可以不同,在各向异性媒质中,沿各个方向传播的速度可以不同。这里我们仅讨论各向同性的均匀媒质。主要是讨论在空气中传播的声波的速度。 1流体中的平面波方程 为了使问题简化,我们仅讨论流体中平面声波的波动方程,并假定媒质为理想流体,不存在粘滞性,传播时没有能量耗损。没有声扰动时,媒质在宏观上是静止的,均匀连续。设静态压强P0、静态密度都是常数 0。声波传播时,媒质中稠密和稀疏的过程是绝热的。并且媒质中传播的是小振幅声波。 图1 即: …………………………(1) 式中 为媒质的静态密度 0,因为对小振幅声波,媒质密度 0增量甚小于静态密度,u表示体积元的振动速度。 设y为体积元左侧的位移,则右侧面的位移可表为体积元的体积应变为: 流体的体积弹性模量k为 …………(2) 将式(2)的p代入式(1) 并考虑到 ,即得到平面声波的波动方程: ………………………………………………(3) 声波的传播速度应为:…………………………(4) 2空气中声速与温度的关系 如媒质可看成是理想气体,并把声波过程看作绝热过程,则根据绝热方程恒,得 ………(5) 这里因为P=P0+dp,dp就是附加压强,式中r是定压比热与定容比热的比值,由此得到理想气体中的声速为 ………………………………………………(6) 对于空气,r=1.402,在标准大气压p0=1.013€?05牛顿/米2,温度0℃时,密度千克/米3,按式(6)算得: 米/秒。 下面讨论空气中的声速与温度的关系,由理想气体状态方程:………………………………………………(7) 其中和T为m千克气体的压强、体积和绝对温度,为气体摩尔量,对空气=29€?0-3千克/摩尔,R=8.31焦耳/开尔文•摩尔为气体常数。 将式(7) 代入(6)得: (t℃)=…………………………(8)1 ∴………………………………………(8)2 除空气外,其他的气体由于 及r值都不相同,声波速度也不同。例如:在1大气压,0℃时,氧中的声速315米/秒,氢中的声速1263米/秒,二氧化碳中声速258米/秒。 3大气中的声速与高度的关系 人们把大气分为三层——对流层、同温层、电离层。大气的低层(在中纬度约11公里以下)叫做对流层,云、雨、雪就产生在这里。因为受到地面热反射的显著影响。在对流层气温随高度增加而降低。直接衔接在对流层上面的大气层,叫做同温层。温度随高度变化的程度是很小的(至少在30公里的高度以下是这样),同温层的温度在中纬度上大约为-55℃~ -57℃。大气的高层叫做电离层,约在30公里以上,这时温度开始随高度的升高而升高,到50公里平均温度+75℃,到80公里为-105℃,85公里开始又上升,在120公里平均温度+100℃。 大气的状态是非常多变的,甚至在同一高度上,纬度、季节,昼夜等都能对大气状态发生影响。为了消除这种不便,人们采用了一种假想的大气,叫做国际标准大气。提出了不同高度上空气各参数(温度、压强、密度)的平均值。将海平面作为零高度,零高度上的压强为76厘米水银柱高,而空气温度作为+15℃。 在对流层范围内,空气温度随高度的上升而下降。因此在对流层中声速值也随高度的上升而减小。如果按照国际标准大气计算,为了计算对流层内某一高度上的声速,可以利用下面这一近似公式:(米/秒)…………………(9) 式中的高度H用米为单位,按照这个公式,对流层中的声速每升高250米,即减小1米/秒。 在11公里(11000米)以上的高度,在同温层温度开始变为固定,按照国际标准大气,等于—56.5℃,因此在这些高度上的声速也应当认为是固定的由式(8) …………………………………(10) 同温层的声速 米/秒 4声速与媒质质点的振动速度 声速代表的是声振动在媒质中的传播速度,它与媒质质点本身的振动速度是完全不同的两个概念,人们说话,声波在空气中的传播速度米/秒。那么空气中质点的振动速度u的最大值等于多少呢?下面我们作些估算。 由式(1),体积元的运动方程: ……………………………………………(11) 它把声压p和质点的速度u联系在一起。 在平面波情况下,质点的位移为: 速度: ………………………………………………… (12) 式中 是速度的最大值,称为速度振幅。 设声压的方程式为: ……………(13) 式中pm表示声压的振幅,表示声压和位移间的位相差。将式(12)(13)代入式(11),得: 所以: 因此声压的方程式为 …………………………(14) 表明:声压与振动速度成正比,并具有相同的位相,都按位移超前越大,同一声压下质点获得的速度u就越小;反之,则u越大。 称为介质的声阻,以z表示,即: …………………………………………(15) 由上式可知,质点振动速度的幅值为,对空气,当温度为20℃时,密度千克/米3,声速v=344米/秒。如果设声压幅值帕(约相当于人们大声讲话时的声压),可求得质点振动速度的幅值为: (米/秒) 可见与u完全是两回事,也可看出声波的速度要比质点的振动速度大得多。