摘要：根据"立竿见影"现象及竿影日照图的原理，分析影子的形成原理和影子随时间的变化规律， 根据地球自转与公转原理、三角定律、几何原理建立了影子长度与杆长、地理经度、地理纬度、日期和时间关系的数学模型。根据直杆影子的长度变化规律，通过Matlab编程，运用参数估、拟合等方法来推断直杆所在的地理经纬度。
关键词：影长 参数估计 指定函数拟合 matlab
1 "立竿见影"现象
一根直立的竿，其影子的位置在一天中随太阳的位置不断变化。假设某天某时刻的太阳位置如图1所示，立于地面上的竿高为H，太阳光线通过竿顶P点，在地面上形成一个影子点P′，影子的长度OP′为L，单位为米。定义太阳光线与地面的夹角∠PP′O=β，则其数学关系式为：
=cotβ
上式中β为太阳高度角。
2 直杆影子长度的影响因素分析
根据现有的天文学知识可得如下的影子长度影响因素层次分析图：
太阳的高度角计算：
3 运用参数估计求出直杆所在地的经纬度
有（9）式可知，若已知杆长H，太阳赤纬 ，纬度 ，经度J，则影长L与北京时间T 具有确定的函数关系。而地理的经纬度是未知的，我们将其认定为该函数的未知参数，可以利用 MATLAB 中的 fittype 函数对北京时间 T 与影子长度 L 进行指定函数拟合，得出参数数值，即解得直杆的地理纬度 ，经度 J。
4 计算算例
以2015年高教杯数学建模A题中的数据为例。
说明：坐标系以直杆底端为原点，水平地面为xy平面。直杆垂直于地面。测量日期：2015年4月18日。
将时间换成以小时为单位以及将x、y坐标换算成影子长度H，如下表。
由4月18日得到积日为108天，年份为2015年，带入（2）、（3）、（4）、（5）中可得到太阳赤纬为10.6305°。
运用MATLAB，编写程序利用fittype函数编写代码，对北京时间与影子长度进行指定函数拟合，得到参数数值，本题中杆长未知，所以也将其作为一个位置参数，运行代码，在95%置信区间，得到以下结果：
杆长 H = 2.034 （2.029， 2.038）
经度 J= 108.7 （108.6， 108.8）
纬度u = 19.29 （19.23， 19.34）
答案中经纬度为（109.5°E， 18.3°N），与通过计算的经纬度误差在1°左右，可以认为该结论可信，而且本题中并没有告诉直杆的长度，多了一个未知参数，若已知杆的长度，误差会缩小，所以可认为本模型合理。
5 结束语
该模型建立了杆的影长与五个因素（经度、纬度、日期、时间、杆长）函数关系表达式，时间为自变量，其它因素为参数，利用参数估计可求解出直杆的经纬度。模型简单准确，但是任有许多不足和可以改进的方向，例如：忽略了大气折光的影响，以及平太阳时和真太阳时之间的差别等。对于这些因素造成的误差还需要进一步研究。
参考文献：
[1] 郑鹏飞，林大钧，刘小羊，吴志庭，基于影子轨迹线反求采光效果的技术研究，华东理工大学学报（自然科学版），第36卷第3期，文章编号：1006-3080（2010）03-0458-06，2010.03：458-463
[2] 汪和平，影子与季节、纬度的关系，中学数学（高中版），2008年第9期
[3] 张文华，司德亮，徐淑通，祁东婷，太阳影子倍率的计算方法及其对光伏阵列布局的影响[J]，技术与产品，2011.9：28-30
