在交通工程的曲线区段，为了平衡列车或车辆运行时的离心力，须在线路(道路)的外侧设置超高(超高横坡)，整个超高变化则利用缓和曲线(以下简称缓曲)来完成。
随着交通运输方式的增加，线路专家和学者对缓曲线形提出了悬链线形、抛物线形(又分三次、五次、七次等)、回旋线形、正弦曲线形、S曲线形等多种形式。并通过在实践中的运用总结，最终在我国基本上形成了在公路(城市道路)领域主要采用悬链线形和回旋线形缓曲，在铁路和轨道交通领域主要采用三次抛物线缓曲的格局。近10年来，随着运输速度的提高，以三次抛物线的改善型和一波正弦曲线缓曲也开始应用于国内高速交通工程中。目前，国内的高速铁路和城际铁路均采用了三次抛物线的缓曲改善形(以下仍简称三次抛物线)缓曲，上海高速磁浮示范线则采用了一波正弦曲线缓曲。国内外的运营实践证明，三次抛物线和一波正弦曲线缓曲分别能满足车速350km/h的高速铁路和车速500km/h的高速磁浮旅客舒适度要求。但是，三次抛物线缓曲如是运用于高速磁浮(以下简称高磁)线路上，它与一波正弦曲线缓曲的差异性又在哪里，在此，本文就此进行分析探讨，并提出建设性的意见。
12种缓曲的理论分析比较设缓曲终点的横坡为e，圆曲线半径为R，缓曲长度为Le，缓曲任意点至缓曲始终点的距离为L，缓曲任意点的横坡和曲率分别为 和k，则一波正弦形和三次抛物线缓曲的曲率与横坡及其一阶导数、二阶导数可见，一波正弦形曲率和横坡的一阶导数在缓曲的始终点处均为0，最大值在缓曲的1/2处产生。即列车由直线进入缓曲时，列车的未平衡横向加速度变化率(侧向加速度)和超高递升速度(侧滚角速度的变化率)在缓曲的起点处为0，然后呈正弦曲线的规律逐步变化，并在缓曲中点最大，随后再慢慢变小，至缓曲终点为0。曲率和横坡的二阶导数在缓曲的起点处为0，最大值发生在缓曲的1/4和3/4处，即列车由直线进入缓曲时，列车的横向附加加速度和超高递升加速度为0，然后以正弦曲线的规律逐步变化，并在缓曲的1/4和3/4处最大，至缓曲终点处为0。三次抛物线形的曲率和横坡的一阶导数在缓曲范围均是一个常数。即列车由直线进入缓曲(或由缓曲进入圆曲线)以及由圆曲线进入缓曲(或由缓曲进入直线)时，列车的未平衡横向加速度变化率和超高递升速度在缓曲的始终点处并不是0，而是与在缓曲范围内其他任意点的数值一样，为一个常数。也就是说，列车在缓曲的始终点处会有一个突增的横向力和侧向转动力，对列车上的乘客的舒适度有一定影响，其影响大小与列车的行车速度和圆曲线半径大小、缓曲长度及车辆的特性等相关。曲率和横坡的二阶导数在缓曲的范围内均为0，即列车由直线进入缓曲至列车离开缓曲，列车在缓曲范围内的横向附加加速度和超高递升加速度与直线和圆曲线范围一样均为0，无任何变化。
通过对上述2种缓曲的理论分析比较可以看出：一波正弦形缓曲在列车进入、通过、离开一波正弦形缓曲时，运行平顺，动力学特性好。而三次抛物线形缓曲除在缓曲的始终点处有一个突变外，无论在列车的未平衡横向加速度变化率(侧向加速度)和超高递升速度(侧滚角速度的变化率)、还是在列车的横向附加加速度和超高递升加速度的绝对值大小方面均有相对优势。
2我国高磁的轨道特点分析
高磁的轨道由轨道结构和轨道设备2大部分组成，其中轨道梁、功能件、定子，以及由功能件和定子组成的定子面、滑行面、导向面是其核心的组成部分。
高磁的轨道面，在直线地段是一个无横坡、以轨道梁中心线对称的水平面;在圆曲线地段，是一个以线路中心线旋转、横坡固定的一个倾斜面;在缓曲地段，是一个以线路中心线旋转，线路横坡不断变化的扭转面。由于功能件固定在轨道梁上，因此，相应的导向面和定子面也随之扭转，并与线路滑行面一起组成一个空间曲面。
如果将轨道的定子面、滑行面、导向面按照设计的线路空间理论曲面进行施工安装，则必须对轨道梁进行精确定位，并通过6轴数控机床进行机加工才能满足要求。由于我国目前暂无法生产或进口六轴数控机床，因此上海磁浮示范线通过对轨道梁、功能件、定子与理论线路中心线三次以直代曲拟合，进而拟合成一条立体的空间曲线的创新方式来解决该问题。对此，在设计上特将3096mm的功能件设计为直线，将功能件内的3个定子也采用直线布置，且布置在同一个平面上，然后再采用国内5轴数控机床将连接件进行机加工后再进行功能件和定子的安装。即高速磁浮的轨道在曲线地段是由一段段3.096m 的折线组成的拟合曲线。通过理论上的计算、运行前的调试以及10年的运营实践证明，高磁在曲线地段的轨道在采用以直代曲拟合技术后完全能满足旅客的舒适度要求。
3设计拟合误差对比分析
考虑到高速磁浮轨道的3个功能面中定子面的精度要求最高，为简单起见，仅分析定子面的设计拟合误差，并以1处圆曲线半径为2000m，纵坡为平坡，最大横坡为7.5，缓曲长300m(K0+024.768～K0+324.768)的线路为例进行对比。
3.1一波正弦形缓曲设计拟合误差的分析
高速磁浮一波正弦形缓曲定子面的横坡理论上呈一波正弦曲线变化。但由于每一个功能件范围内的定子均采用以直代曲拟合，因此使得各功能件上定子的拟合误差均不相同。通过计算分析可以得出，定子面横坡拟合误差：在起点处接近0(但不是0);随着缓曲长度的增加，横坡扭转率快速增加，在缓曲的37%附近与三次抛物线相等;然后继续增大，在缓曲50%处达到最大0.0774(为三次抛物线形的2倍);随后再逐渐变小，至缓曲的87%附近再次与三次抛物线相等，此后慢慢变小，至缓曲终点处接近0。取定子中心至线路轨道中心的距离1250mm，则定子面拟合误差在缓曲起点、1/2处、终点的设计拟合误差分别为0.00，1.69，0.000075mm，相邻功能件定子面的Z 方向的高差为0.001，2.091，0.001mm。
3.2三次抛物线形缓曲设计拟合误差的分析
高速磁浮三次抛物线形缓曲定子面的横坡呈直线变化，即缓曲范围内任意一点的扭转率都是相同的。由于功能件3096mm范围内的定子以直代曲拟合，使得每一个功能件的设计拟合误差均相同。从2种缓曲的横坡拟合误差计算可以看出，在三次抛物线形缓曲范围，每个功能件的拟合横坡误差均为0.0387。取定子中心至线路轨道中心的距离1250mm，则定子面拟合误差均为0.844mm，相邻功能件定子面的Z 方向高差为1.045mm。
从以上的分析可以看出，一波正弦形缓曲定子面的拟合误差，在缓曲起终点处远小于三次抛物线缓曲，但在缓曲的中点，比三次抛物线大1倍。其中1/2缓曲长度范围内的拟合误差小于三次抛物线，另外1/2缓曲长度范围拟合误差则大于三次抛物线，两者缓曲范围内平均拟合误差值相等。很显然，在线路轨道系统要求精度一定的前提下，最大设计拟合误差较小的三次抛物线形缓曲具有优势。
4轨道梁施工及加工与安装误差的特点分析
功能件是通过连接件与轨道梁相连的，而轨道梁的机加工则主要是对连接件进行加工。对2种缓曲来讲，施工及加工与安装的差异主要体现在连接件的预埋和机加工方面。
对一波正弦形缓曲而言，由于其定子面呈正弦曲线变化，因此其连接件在轨道梁上的预埋精度、预埋工作量及复杂程度相对三次抛物线缓曲而言较大，x，y，z3个方向及2个旋转轴的机加工工作量也相应较大，单位长度所需的机加工时间也要长一些。同时由于其设计拟合的误差相对较大，在系统要求的总误差一定的条件下，对加工与安装的精度要求也较高。
对三次抛物线形缓曲而言，由于其定子面呈直线变化，因此其连接件施工时的预埋比较好控制，预埋工作量及复杂程度也较一波正弦形缓曲小，x、y、z3个方向及2个旋转轴的机加工工作量也相应较小，单位长度所需的机加工时间也要短一些。同时由于其设计的拟合误差较小，在系统要求的总误差一定的条件下，对加工与安装的精度要求也相对较低。
总之，三次抛物线形缓曲在连接件的预埋及其机加工、安装等方面，均较一波正弦形缓曲方便，相应地也可提高线路轨道在缓曲地段的施工精度。
5舒适度影响的比较分析
从线路平面设计的角度而言，高磁的舒适性主要是通过控制车辆运行时的加速度和冲击以及侧滚角加速度不超过车辆容许的最大限值来实现的。也就是说，不是以追求绝对舒适为原则，仅追求相对舒适，即要求加速度和冲击以及侧滚角加速度的最大值越小越好或小于规定的限值即可。
在高速磁浮线路的缓曲地段，由于横坡的存在使得列车运行时在侧向和法向产生2个分力，加上横坡在缓曲范围每一点的不断变化，并由此对车辆产生侧向冲击、法向冲击和侧滚角速度(相对于线路长度的扭转变化率)。根据高磁相关研究资料，满足舒适度要求的扭转率主要受侧滚角速度控制，其次受侧向冲击控制，法向冲击和法向加速度不是控制因素。
通过上述2种缓曲的曲率和横坡一阶导数、二阶导数可以明显看出，三次抛物线形缓曲曲率和横坡角的一阶导数(侧向加速度和侧滚角速度的变化率)、二阶导数(侧向附加加速度和超高递升加速度)的最大值均远小于一波正弦形缓曲线，即在缓曲地段，一波正弦形缓曲线的舒适性要低于三次抛物线形。尽管三次抛物线形的缓曲在缓曲起终点处相对一波正弦形缓曲有突变(实际上一波正弦形缓曲由于以直代曲拟合的关系在缓曲的始终点也有突变，只是其值稍小而已)，会给乘客带来不舒适，但也仅仅是在这2点的区域而已，加之磁浮车辆与悬浮架之间独特的一系和二系结构(尤其是车辆竖向空气弹簧和横向Y 向弹簧)的存在，与其他交通工具相比，使得其线路与车辆结构之间具有相对大的弹性，这就使磁浮列车的运行条件(舒适度)得到相当改善，并使之在规定的舒适度容许范围之内。以我国铁路为例，尽管其线路平面缓曲采用三次抛物线形，但实际测试显示，在三次抛物线缓曲始终点列车所承受的冲击远较直线地段钢轨轨道之间接头处的冲击要小。
因此，从评价舒适性3项指标的最大值和总体性的角度来讲，对高速磁浮而言，三次抛物线形缓曲的舒适度在缓曲范围要高于一波正弦形缓曲。
6对选线和工程投资及维护的影响分析
6.1对选线和工程投资的影响分析
根据相关研究资料，在缓曲移程、最大横坡相等条件下，一波正弦形缓曲的长度分别是三次抛物线形缓曲长度的1.6倍和2倍。即三次抛物线形缓曲的长度较一波正弦形缓曲要短很多，相应的线路设计时灵活性要大，并可达到节省工程投资的目的。
6.2对运营维护的影响分析
由于磁浮系统轨道梁的定位以大地绝对座标定位，相应的3个功能面也都是以大地绝对座标来定位。鉴于维护过程中是以梁与梁之间3个功能面的NGK是否超出规定值再来通过支座进行维护，因此2种缓合曲线的维护工作量和方便程度上也没有什么太大差异。
7结语
通过上述分析可以看出，一波正弦形缓曲与三次抛物线形缓曲相比，在维护方便程度方面无太大差异;在缓曲始终点的动力特性和平顺性方面一波正弦形缓曲较三次抛物线缓曲理论上要好;而在3个功能面设计拟合误差大小、连接件的预埋与安装误差大小及方便程度、对旅客的舒适度影响程度、对选线的方便和节省工程投资等方面，三次抛物线形缓曲均较一波正弦形缓曲有优势。也就是说，如果磁浮线路平面采用三次抛物线形缓曲，除在缓曲的始终点处的设计拟合误差和对列车的动力特性影响稍大外(即使这样，定子面设计拟合误差也在容许1.5mm/m 内)，其他方面均较一波正弦形缓曲有优势。
综上所述，一波正弦形缓曲和三次抛物线形缓曲均能满足高磁设计、施工、安装、运营的需求。考虑到我国高磁线路轨道采用以直代曲的技术后，即使采用一波正弦形缓曲，构成线路轨道的功能件及电子实际上仍是由一段段折线组合而成，其在缓曲始终点的动力特性和平顺性较三次抛物线缓曲的优点将大为降低。相反，采用三次抛物线形缓曲连接直线和圆曲线更能适应交通工程的特点，更能发挥高速磁浮适应地形地貌(相同速度条件下所需平曲线半径小、曲线长度也短)的优点，更能适合我国高磁的发展需要。为慎重起见，笔者建议，在新的磁浮交通项目中，选择其中的2个曲线半径相同的缓合曲线线形分别采用三次抛物线和一波正弦形，并进行舒适度对比测试。待测试和分析结果出来后，再明确我国高速磁浮缓合曲线形式是采用一波正弦形还是三次抛物线，并将最终成果纳入高速磁浮设计规范。
