[摘 要]曲线与曲面积分一直是数学分析教学中的难点。本文从学习理论的视角，结合记忆规律，来分析造成学生学习曲线与曲面积分的困难原因，并由此提出一些教学建议，从而促进教学。
[关键词]记忆规律；曲线积分；曲面积分
[中图分类号]O172.2 [文献标识码] A [文章编号] 1009 ― 2234（2016）05 ― 0168 ― 02
1 引言
曲线与曲面积分是多元微积分学中的重要组成部分，也对后续课程，如常微分方程、偏微分方程、微分几何有着重要的应用。历来是数学分析教学中的重点内容。但是这部分内容也由于背景复杂，公式抽象、计算量大等原因，一直也是学生学习的难点。造成这部分内容学习困难的原因有很多，本文主要结合学习理论中的记忆规律进行分析，并给出一些具体的教学建议。
2 记忆与数学记忆
记忆是在头脑中积累、保存和提取个体经验的心理过程。数学记忆是学生学习过的数学知识、技能、经验、思想观念在头脑中的反映，是学生通过数学学习积累知识、技能、经验、思想观念的功能表现。〔1〕记忆在数学学习中起着重要的作用，如果没有记忆，知识就无法储存在学生的头脑之中，更无法用所学知识来解决问题。
依据记忆形式可以把数学记忆分为：机械记忆、理解记忆、概括记忆。机械记忆是是指学生只能按照数学事实、数据、定理、概念、法则等所表现的形式进行记忆。比如很多学生只是在形式上记住了牛顿-莱布尼兹公式
，会用这个公式进行计算，但是并不一定理解这个公式所具有的来龙去脉以及几何背景。理解记忆是指根据学生对数学学习材料的理解，运用有关的知识、经验进行记忆。其特征之一是能够用自己的语言、事例说明对有关数学事实的含义或关系。比如学生在学习完施密特正交化法之后，能够结合具体的三维向量，利用几何直观来解释这个定理。概括记忆是指学生能够在理解的基础上，把所学习的材料进行概括，对其一般模式的概括进行记忆。比如柯西不等式，有很多不同的表现形式，比如在欧式空间 中的形式为
上述这三种记忆是由高到低，紧密联系的。首先，所学知识对学生而言必须是有意义的。即抽象的数学知识所代表的具体的空间形式和数量关系，能与学生原有的认知建立一定的联系。其次，在理解所要记忆的知识的基础上，认识所学习的知识代表什么样的空间形式和数量关系。例如，在欧式空间教学中，要注重展示内积这个核心知识的几何背景，充分帮助学生从运算的角度理解内积的特点，揭示数学知识的背景和来龙去脉，就是为了帮助学生更好的记忆。只有在理解记忆的基础上，把所学的数学知识和原有的知识进行比较，概括为一般模式，才能上升为概括模式。
根据记忆的内容，可以把数学记忆分为陈述性记忆和程序性记忆。陈述性记忆处理陈述性知识，比如数学公式等，在数学学习中，陈述性记忆的内容可以用符号来表达，比如写出两个重要极限的公式。程序性记忆主要指如何解题，计算、证明、作图等，通常包含一系列复杂的动作过程。比如说如何来算行列式，求解线性方程组，计算不定积分等。
3.记忆规律下曲线和曲面积分学习困难分析
3.1 记忆分类视角下的分析
曲线积分包括第一型曲线积分和第二型曲线积分。曲面积分分为第一型曲面积分和第二型曲面积分。这四种积分有四种不同的表达形当学生初学每一种积分时，往往只是在形式上记住了这些积分的表达式。虽然教材上有这些公式的背景来源（几何和物理上的问题），教师在讲课时也会提到这些，但是数学分析课堂中更多的时间可能是应用在了公式的理论证明和相关的例习题的计算上。由注意规律可以摘掉，学生在课上的注意程度是有限的，很难做到整节课都全神贯注听老师讲课。再加之教学中往往将理论证明和形式计算作为重点，冲淡了各种积分实际背景的理解。学生在刚学完一种积分后，会按照相关的公式去进行计算。但这时候，基本上是处于机械记忆阶段，只是能够识记公式并利用公式计算。对于各种积分的背景以及区别认识的并不是很清楚。尤其是在4种线面积分学完之后，由于只是机械记忆，不能运用已有认知结构中的知识对各个公式进行概括，从而产生了混淆。
有些同学虽然能够识记各种曲线曲面积分公式，但是在利用公式做题时往往产生各种错误。对于这个困难可以从陈述性记忆和程序性记忆来进行分析。对于公式的识记而言，往往属于陈述性记忆，但是如何利用公式进行各种积分运算，在运算中如何利用各种积分的技巧，则属于程序性记忆。曲线和曲面积分的求解过程往往伴随着复杂的计算，需要根据题意选择不同的计算方法，如果学生的程序性记忆不是很好的话，就不能够选择恰当的计算方法，从而对于题目无从下手或计算错误，从而造成学习上的困难。
3.2 遗忘规律视角下的分析
对识记过的材料不能再认和再现，或出现错误的再认和再现，称为遗忘〔2〕。遗忘的产生有两种原因，“消退说”和“干扰说”。在学习曲线和曲面积分时，由于课上容量大，理论证明较多，导致学生注意力分散，往往对相关的知识认识的不深刻，加之大学生不像中学生，课下很少花时间去复习，很容易产生遗忘，这就是知识的“消退”。而曲线曲面积分的4个公式具有相似性，相关的题目之间也有很多相似之处，在学习的过程中，新旧知识相互之间容易造成干扰，导致学生无法分清楚这些公式以及计算的方法，这种遗忘就是由相关知识间的“干扰”造成的。
4.教学建议
结合上述分析，从记忆分类和遗忘规律两个方面提出相关的教学建议。
4.1 加强知识背景的教学
由于数学分析教科书上呈现的更多的是严谨的数学公式，对于知识的背景来源虽有所介绍，但是限于教科书篇幅的限制，往往不是很详细。因此教师在教学中要强调知识的背景介绍，对于知识的来龙去脉要花足够的时间去讲解。曲线积分和曲面积分的数学公式虽然简洁抽象，但是背后却有着丰富的现实背景，同时也是一个很好的数学模型。比如二重积分是计算曲顶柱体的模型，曲线积分是计算曲线形构件质量的数学模型。这些数学模型建立的过程，正是对这个问题进行深入分析的过程，这个建模过程讲清楚后，学生们就会明白为何不同的公式有不同的表达形式，明白不同公式背后所针对的实际背景。这样学生在遇到实际问题时，才能够选择恰当的公式去解决问题。当学生能够理解到这种程度后，才能达到理解记忆。当学完四种积分之后，如果能够在和定积分一起，再一次去体会各种积分的本质是“分割、近似、求和、取极限”那么对于线面积分的理解就会上到一个更高的层次，从而达到概括记忆。在学完这些积分后，教师要引导学生对上述积分进行总结，在习题课或复习课上，要总结各种积分的特点，揭示出这些积分的共同的特点。
4.2 教学中要引导学生及时复习
有德国心理学家艾宾浩斯的遗忘曲线的知识可以知道，遗忘的规律是“先快后慢”。这就告诉我们学习一定要先快后慢。数学分析一般是一周三次课，往往是周一周三周五排课，那么每次课上，教师应该先引导学生复习上节课所学的知识，加深之前所学的印象。另外要引导学生平时多复习。
4.3 选择有代表性的题目
曲线和曲面积分往往伴随着复杂的的计算过程。而对具体的计算的记忆属于程序性记忆。教师要选择典型的题目，重点演示，使学生清楚每一步的计算过程，这样才能帮助学生更好的去记忆。同时课下多布置一些容易混淆的题目让学生练习辨析，以加强学生对于各种积分的掌握。
总之，曲线和曲面积分虽然是教学的重难点，但是如果教师能够结合数学理论和学习理论进行分析，进行合理的教学设计，能在一定程度上提高学生的学习效果。
〔参 考 文 献〕
〔1〕孔凡哲，曾峥.数学学习心理学〔M〕.北京：北京大学出版社，2009：118.
〔2〕郭玉峰，刘春艳，程国红.数学学习论〔M〕.北京：北京师范大学出版社，2015：118.
