在圆锥曲线中,与弦中点有关的问题,如求中点弦方程、求弦中点轨迹(过定点、平行弦)、对称与垂直平分等问题,通常都用“点差法”求解.但由于此法具有不等价性,因此在解题中不能忽略根与系数的关系和判别式的应用.下面,以实例来谈谈“点差法”的应用.
与中点弦相关的问题
(1)求动点Q的轨迹方程;
故直线MN的方程为[4x+9y-13=0],即存在点M,N满足条件,此时直线MN的方程为[4x+9y-13=0].
点拨 是否存在的问题,一般采用探究法.即先假设存在,然后通过推理去寻找结论.如存在,则能得出相应结论;如不存在,则会由条件得出相互矛盾的结论.
例2 已知双曲线[x2-y22=1],过点[M(1,1)]能否作一条直线[l],使[l]与双曲线交于[A],[B]两点,且点[M]是线段[AB]的中点.若存在,求出[l]的方程;若不存在,说明理由.
直线[l]真的存在吗?让我们来检验一下: