圆锥曲线问题的求解特点是以代数方法解决几何问题,由于求解思路清晰,这类问题容易形成“入手容易”;又由于运算量大,不仅影响解题速度,也极容易出错,因此又易形成“答对困难”的情况.因此,在解题中,尽量减少运算则成为迅速、准确解题的关键.为此,本文谈一下简化圆锥曲线问题运算量的几种数学思想.
整体思想
对某些圆锥曲线问题,注意其整体结构特点,设法将问题整体变形转化,以达到避免一些不必要的运算,降低解题难度.
解 由椭圆的切线方程[y=kx±a2k2+ b2]知,两切线的方程为:[y=kx±3k2+2].
又切线过点P(2,4),所以[4=2k±3k2 + 2],整理得,[k2-16k+14=0].
补集思想
某些圆锥曲线问题,从正面处理较难,常需分类讨论,运算量大,且讨论不全又容易出错.如用补集思想考虑其对立面,可以达到化繁为简的目的.
例2 两个不同的点[P,Q]在曲线[y=x2]上移动,不管如何选择其位置,它们总不能关于直线[y=m(x-3)]对称,求[m]的范围.
分析 从不能的角度考虑,需分别讨论各种情况,比较麻烦.用补集思想解题就达到了删繁就简的目的.
解 设[I={m|m∈R}],[A={m|P,Q]关于直线[y=m(x-3)]对称}.
若[m=0],显然曲线[y=x2]上没有关于直线[y=0]对称的点.