一、逻辑、数学与哲学
20 世纪，逻辑和数学在人类的知识探索活动中占据着基础和核心的地位，发挥着独特而重要的作用。数学是我们知识获求中最核心的部分，几乎在所有科学探索领域中它都扮演着重要的角色，几乎所有的自然科学和社会科学都实质性地预设了数学知识。与此同时，作为纯理智反思程序的逻辑同样在科学进步中发挥着重要作用，因为证据和假说之间的关系对于科学的进步是一个根本性的问题，而这又可看作是前提和结论之间的关系一种逻辑的核心关系。从这种意义上说，逻辑作为整个科学事业的基础也是毋庸置疑的。
从逻辑与数学的关系看，数学是一门典型的演绎科学，因而属于逻辑的范围; 而逻辑是数学基础的一部分，逻辑反映了数学的演绎实践，逻辑被数学所塑造，因而逻辑又属于一门数学学科，我们如何看待数学和如何看待逻辑这两个问题是相互交织在一起的。
逻辑和数学作为特定类型知识的典范，作为哲学反思的对象，又与哲学密切地联系在一起，产生出独具特色的逻辑数学哲学问题。与其他的科学分支不同，数学是关于诸如数、集合和函数等数学实体，以及它们的结构关系的研究。逻辑是关于命题和真的理论，数学和逻辑的对象都是抽象的，尤其是数学对象，它们不占据时空位置，不具有因果作用。更进一步地说，数学和逻辑似乎是通过演绎证明的先验方式运作的，其他科学似乎是通过实验和归纳的后验方法运作的。与科学其余分支的知识是可错的相比，数学和逻辑的知识几乎是不可错的。一旦一个逻辑数学定理被证明了，它似乎就永远被证明了。它们没有经验事实，也不像物理学家那样进行实验和制定假说。数学家创造语言，而物理学家使用数学语言描述他们的假设，以及以数学为工具探讨它们的逻辑后承。但是最终的物理理论必须假定被经验事实所支持。
20 世纪，逻辑、数学与哲学的联系异常紧密。逻辑学家、数学家和哲学家经常肩并肩地工作，他们彼此阅读各自的著作，出席对方的会议，讨论相互之间的问题。富有意义的是，在 20世纪，逻辑和数学的主要人物弗雷格、罗素、维特根斯坦、布劳维尔、庞加莱、希尔伯特、哥德尔、塔斯基、卡尔纳普和奎因所有的都从逻辑或者数学转到哲学。
逻辑生长于哲学的怀抱，哲学抚育了逻辑，逻辑又反哺于哲学。逻辑给哲学带来了精湛的分析技术和丰富有效的思想资源，逻辑几乎影响了整个语言哲学的风格，逻辑提供了各种形而上学发展的基本框架、逻辑也为元伦理学和心智哲学提供了方法论指南。另一方面，逻辑也受哲学的制约，逻辑依赖于哲学的基本预设，经典逻辑和各种非经典系统都有深刻的形而上学背景。
对数学而言，通过接受一种数学哲学，数学家们从而获得了一种类似于价值系统之类的东西: 研究工作的取向，关于数学的作用和价值的判断，关于数学的发展方向的引导，何种问题是重要的，何种问题应当被提出，何种方法论是合理的，等等。另一方面，当代数学也为哲学提供了丰富的数学形而上学、本体论、认识论、语义学和逻辑方法论的内容。数学这颗科学的皇冠因数学哲学而变得更为璀璨。
在当代，越来越多的哲学研究生教育不仅仅开始于柏拉图和亚里士多德著作的阅读，而且也开始于命题和谓词演算以及数学和数学哲学的基本训练。早先学生们阐释真理概念的精微玄妙，现在则受训于塔斯基式的真理概念的公理化熏陶。专题讨论会和会话被真值表和语言的逻辑分析，以及 19 世纪后期德国科学哲学的著作所取代。逻辑和数学的这种压倒性影响的结果是哲学的论证在一个高度技术复杂性上运行。那些过去曾经直接从哲学史中获得问题的人如今发现，如果他们要有效地参加哲学讨论必须掌握复杂的数理逻辑的技术和语义分析的方法。
总之，20 世纪的众多哲学学科如形而上学、认识论、数学哲学、科学哲学，以及心智哲学、语言哲学和形式语义学的发展和进步与这一世纪的数学与逻辑发展相向而行。其结果转而又拓宽了数学和逻辑的研究领域，深化了对数学和逻辑的应用和范围的理解。最终，逻辑和数学提供了诸如局限性定理等一批深刻而基本的理论结果，这些结果又给哲学，尤其是哲学中的认识论和心智哲学一深刻的影响。但是，与逻辑、数学和哲学的互动性活动相比较，关于逻辑哲学和数学哲学的基本问题依然是出奇的稳定。它们主要涉及: 什么是真理的性质? 什么是证明的性质? 什么是概念的性质? 什么是有效推理的性质? 除此之外，它们还包括:
( 1) 本体论问题: 数学和逻辑的研究对象是什么? 数、集合、点、线、函数、命题、量词和变元等代表什么? 如果数学对象存在，它们是否独立于数学家们的观念，独立于他们的语言等而存在? 什么应被看作是影响数学结构，实体等的存在证明的条件等? 在何种程度上数学的原理是客观的和独立于心智、语言和数学家的社会结构的?
( 2) 语义学问题: 数学和逻辑概念和陈述的涵义是什么? 逻辑和数学真理的本质是什么?什么是数学语言的最好的语义学?
( 3) 认识论问题: 数学和逻辑知识是如何被认识的? 它的方法是什么? 有观察因素在其中起作用吗? 如何裁决数学家之间和逻辑学家之间的争论? 什么是证明? 证明是绝对确定的、不受理性怀疑的吗? 数学的逻辑是什么? 存在不可知的数学真理吗?
( 4) 逻辑问题: 什么是数学的逻辑? 什么是数学断定的逻辑形式? 什么是逻辑的有效性?哪种逻辑后承的概念是逻辑和数学所需要的? 什么是有效的可计算性? 什么是集合? 什么是集合的基本性质?
( 5) 应用问题: 什么是数学和逻辑对其他学科领域的应用? 如何能够为当代科学构造一种多类型的数学逻辑工具 ( 如模型的、系统的、语言的) ? 在不同类型的文化社会和经济中数学和逻辑的角色是什么?
二、数学的限度: 限制性定理的哲学解释
20 世纪，数学的发展主要涉及数学定理的证明，提出新的数学理论，以及为实现理论寻找公理。但是，也存在着关于数学理论本身的一些重要问题。例如，关于是否一特定的数学理论是一致的，是否一种数学理论有能力回答它应当回答的任何问题，即我们希望表明对任意的数学陈述，相关的数学理论能够证明它或者证明它的否定。关于这类涉及一致性的高阶问题又称为元数学或元逻辑。毫不奇怪，这也是哲学家们高度感兴趣的一个领域。特别是，按照若干关键性结果，数学能够做什么是有限度的。这些结果就其本身而言就是十分有趣而重要的，它们也被认为有一种数学哲学的意义，甚至超越数学哲学进入到心智哲学及形而上学的领域。
第一个限制性结果来自集合论，被称为雷文海姆斯科伦定理。1915 年，德国数学家雷文海姆证明了一个著名的结果: 如果一个一阶语句有模型，它有一个可数模型。1922 年挪威数学家斯科伦将这一结果推广到一阶语句的系统。在这些结果中最值得注意的是它们似乎公然与康托的集合论相抵触。雷文海姆斯科伦定理告诉我们，我们并不需要某些超出可数性的无穷。特别是存在着实数和集合论的可数模型。这似乎与康托的理论相冲突。这一结果的哲学意义在于它涉及人类刻画和交流各类观点的能力。这些观点包括自然数、实数、集合，甚至基数。我们有关于这些概念的确定而不含混的概念吗? 如果有，我们是如何把握这些概念的，并且我们又是如何与他人讨论这些概念的? 雷文海姆斯科伦定理暗示我们: 关于这些概念和对象所说的任何东西都可翻译到一个理论中，而后者有着非预期的解释。那么我们如何能确定其他人理解的是我们想要他们理解的东西? 我们又是如何知道我们自己对这些事项有着毫不含糊的概念呢? 斯科伦本人把这一结果解读为，从根本上说所有的数学观念都是 相对的，即不存在绝对和客观意义上的自然数和基数，它们只是相对于某些论域或模型。当代哲学家普特南以这些和数理逻辑的其他结果为基础，论证了一种意义深远的反实在论的相对性，因为这种观点蕴涵着: 如算术或实分析这样给定的数学理论并没有一个确定的研究对象，因此数学词项没有固定的指称。
第二个富有哲学意义的成果是集合论中大量的独立性结果。一个理论的独立性问题是一个不可能给出肯定或者否定的回答的问题。这一不确定性不仅仅是认识论的问题。它并不是目前对所考虑的问题的答案无所知晓，宁可说，这类问题本身对相关的数学理论而言是完全开放的。数学中有许多这类问题。但最著名的例子是连续统问题: 实数集合的基数是什么? 策梅洛富兰克林集合论加选择公理被认为是最强大的数学理论。可是数学家已经证明很多重要的数学问题不能由ZFC 的公理集合论所判定。这中间最著名的就是康托的连续统假设。根据 ZFC，实数比自然数多是集合论中的定理，而连续统假设断言的是，不存在无穷的基数严格地处在这两个尺度之间，即没有一个既大于自然数的集合同时又严格的小于实数的集合。
这里我们有一个关于数学的非常重要又自然的问题，即什么是实数的基数? 即便是对最好的数学理论而言，这也是一个难以回答的问题。这里存在着若干选择: 一是为了能够回答这类问题，相关的理论需有待于进一步丰富; 二是数学中存在着一些开放性问题，并且放弃所有有意义的数学问题都是有答案的想法。人们发现，无论是哪一种选择，最终数学家们还是陷入关于数学实在论和反实在论的争论之中。
第三个例子是哥德尔著名的不完全性定理。该定理证明 ( 第一不完全性定理) 希尔伯特纲领是行不通的。哥德尔用有限理论证明如果一个形式系统 S 能表达算术的一致性，那么在 S 的形式语言中存在着一个命题 G，这一命题或其否定形式在 S 中是不可证的。 ( G 是这样被构造的:它可以这样说明自身，即它是不可证明的。) 他进一步指出 ( 第二不完全性定理) ，如果系统 S能够通过有限的方法证明是一致的，那么系统 S 就会产生不一致。因为可以证明在系统中 存在着命题 G 在 S 中是不可能证明的。因为 G 是命题 G 在 S 中不可证的形式表达。因此，这又是 G 的一种证明。这样 ( 根据第一不完全性定理) S 是不一致的。
这一证明的关键在于用数对形式语言符号进行编码。这样，公式和证明作为有限的符号和结构，也能用以下方式加以编码; 它们的符号性质与它们的数学对应物的算术性质相对应。形式语言的有关命题就转化为数的命题，这就允许符号系统有双重解释。我们在谈论命题自身的同时，也可以谈论数的巨大潜在的应用能力。这一思想揭示了作为符号和其他结构的编码，数字具有极大的潜力。这一结果导致了数字电子计算机的发展。就希尔伯特的方案而言，不完全性定理意味着希尔伯特所要求的一致性证明只有在数学是不一致的情况下才有可能。
在某种程度上，关于数学应用的某些问题也划归在这类问题之中。一数学定理告诉我们在科学中被研究的自然世界的何种事实? 在何种程度上我们能够证明结点、桥梁稳定性、象棋残局以及经济发展趋势? 一些哲学家认为数学是某种符号游戏。但们都认为数学是有某种类型的意义的。这意义是什么? 它与普通的非数学话语的意义是如何相联系的。数学定理能够告诉关于我们物理世界，关于人类的可知性，关于程序计算机的原则能力的什么内容?
三、逻辑主义的失败是语义学问题还是概念的错位?
逻辑主义是基础主义的一种表现，基础主义又是还原主义的一种形式。还原主义寻求的是一种知识领域的等级次序。在这种次序中，所有的知识建立在一些基本的第一原理上，从这些基本的第一原理出发，推出整个的知识体系，因而也就能够合理的证明这一系统。因此整个知识的状况问题也就集中在这些第一原理的状况上。这需要假设一些绝对、永恒和普遍的理性秩序或者理性证明。数学哲学中的逻辑主义就是这样的一种企图。
贯穿 19 世纪和 20 上半叶西方哲学议程表的一个主要议题，是用还原主义的方式说明数学的必然性和先验性。另一个问题是在不诉诸于类似康德直觉的情况下说明数学的应用。关于这一方面，最富有成效的发展是语义学的传统。
语义学传统历经博尔扎诺、弗雷格、早期维特根斯坦和维也纳学派的鼎盛时期，其主要的论题是将必然性和先验知识落脚于语言的使用。因而，哲学家开始将他们的数学探索的中心转向语言。数学的断定意味着什么? 什么是数学断定的逻辑形式?什么是数学语言最好的语义学? 发展和磨砺了众多工具和概念的语义学元素在当代数理逻辑以及西方哲学中仍在有效地被使用，达米特将这一趋势称之为 语言学的转向。语义学传统的一个重要纲领体现为: 在命题是依据意义而为真的这一意义上，至少有一些数学的基本原理是分析的。诸如 自然数、后继、函数、加和 乘这样的词汇，只要我们理解了它们的意义，我们也就知晓了诸如皮亚诺公设这样的算术基本原理的真。如果纲领能够被实施，它也会表明数学真理是必然的在某种程度上，如此构造的分析真理也是必然的。假定了语词意味着什么，数学命题必定独立于物质世界的偶然性而为真。数学知识是先验的在一定程度上意义的知识是先验的。可以推测，语言的说话人先验地知道语词的意义，因而我们知道数学命题是先验的。但逻辑主义的主张以失败而告终。
逻辑主义的失败主要的并不是由于由弗雷格、罗素和怀特海所发展起来的纲领存在的具体问题而引起的，而是因为对逻辑和数学的概念理解和应用的错位和误置。因为，逻辑主义纲领是建立在逻辑比数学更一般，也更抽象的假设基础之上的。人们一般认为，逻辑是所有学科中最一般的，因为逻辑是题材中立的，它适用于所有可能的话语，它是一般的有效演绎推理的研究。而数学比其他学科更加演绎，数学是逻辑和演绎推理的典范。在它的公理化和系统化的形式中，数学证明的每一演绎步骤都由逻辑所管辖。在这种情况下，人们认为，数学本质上就是演绎，从逻辑可以推出数学。
但在某种意义上，与逻辑相比数学是更加一般的。逻辑和数学各自的性质决定了逻辑和算术( 更一般地说是数学) 不能够由一方推出另一方，而只能够肩并肩地一起发展。数学和逻辑是建立在抽象的两个不同的方向上。逻辑处理内容上最具一般性的东西，而数学是形式关系和形式性质的最一般理论。所以一方面数学的发展受制于逻辑的法则，另一方面，思维的逻辑结构又归属于具有必然和谐性的结构说明的反思的数学范围之内。
因此，首先逻辑与数学之间不是一般和特殊的关系。其次，逻辑并不比数学更抽象。尽管二者都是抽象的，但它们却是在不同方向的抽象。因为抽象的方向至少部分的是不重合的，因而在哪一个比哪一个更抽象这方面，二者是没有可比性的。第三点联系也许是最本质的。就像逻辑的表达方式本质上是数学的一样，数学的表达本质上是逻辑的。数学由于是一门演绎的科学而属于逻辑，逻辑由于例化了某种类型的结构而属于数学。逻辑和数学的关系并不是一个包含着另一个，它们中的每一个都实质性地假定了对另一个的使用，因而从某种意义上说预设了另一个的某些方面。
除此之外，逻辑主义试图表明，至少在它的弗雷格形式中，并非数学仅仅被逻辑所渗透。数学就是逻辑，加适当的定义: 数学内容就是逻辑内容。如果逻辑主义纲领成功，我们将有理由认为数学是逻辑的一种特定的形式，因而逻辑比数学更一般。尽管在实施这一纲领的困难证伪了逻辑主义，但我们仍旧要将逻辑更具一般性，和数学的内容可还原为逻辑的内容这两个问题区别开来。后者是关于数学内容的，而前者是关于它的表达和实施的。
总之，逻辑和数学的依赖关系是双向的。数学推理的特征是一种逻辑的运作，而逻辑的运作是一种数学的行为。数理逻辑并没有达到作为算术的逻辑基础的目标。逻辑主义失败的原因并不在于弗雷格的处理的特定形式，而宁可是错误地提出将数学还原为逻辑的问题造成的，即数学和逻辑并非是一种特殊和一般的关系。
四、数学需要什么样的逻辑?
关于数学需要什么样的逻辑的问题，我们以一阶逻辑和高阶逻辑在表达力与复杂性方面的某些特征为例，讨论它们作为数学语言的优劣。目前公认的、最普通的逻辑系统是初等谓词逻辑，又称为一阶逻辑。一阶逻辑有一个被良好研究的证明论和模型论，有若干有趣的性质: 有一个递归可枚举的演绎系统 DI，使得任何一个一阶语句 是一阶语句 的集合的逻辑后承，当且仅当在 DI 中 是从 中可演绎的，因而一阶逻辑是完全的。由此推出一阶逻辑在如果每一一阶语句的集合 的有穷子集是可满足的，那么 本身是可满足的意义上是紧致的。向下的雷文海姆斯科伦定理是: 一个一阶语句的集合 是可满足的，那么它有一个其论域是可数的模型; 向上的雷文海姆斯科伦定理是，如果对每一自然数 n，一个一阶语句的集合 有一个其论域至少有 n 个元素的模型是可数的模型，那么对任意无穷基数 K， 有一个其域至少是 K 大小的模型。
不论是日常自然语言的论证还是来自于数学的论证都广泛采用了一阶语言的论证模式。一阶逻辑对于研究有效性是一个好的工具。一阶语言也捕捉到了自然语言语义学的某些重要特征，所以一阶语言逻辑也是研究自然语言的工具。然而，一阶逻辑在表达力方面有严重的缺陷。诸如有限性、可数性、极小闭包、良基性和良序性等概念在一阶语言中都不可能被捕捉到。更进一步地说，许多重要的语言学术语、区别以及结构都不在一阶语言的范围之内。
一阶逻辑的主要替代者是二阶逻辑。在一阶刻画中缺乏的数学概念在二阶语言中都有充分的刻画。例如，存在着一个二阶公式 FIN ( X) 在一结构中可满足当且仅当指派到 X 的集合是有穷的。这方面的例子包括自然数、实数、欧几里德空间以及集合论。一般地说，二阶语言和高阶语言允许语言学家对许多超出一阶语言的语言学结构进行模化。
二阶语言的表达力的丰富是由代价的。从二阶逻辑的表达力中可以推出，二阶逻辑不是紧致的，二阶逻辑对雷文海姆斯科伦定理是失效的。二阶逻辑是高度复杂的，在某些方面是深奥难懂的。在没有可靠性和递归可数的演绎性方面，二阶逻辑是内在不一致的。的确，二阶逻辑的真并不在分析的等级层列之中。当然，二阶逻辑的这些特征是否是它的一个 缺陷这依赖于一个好的逻辑理论的性质是什么。进而，又依赖于逻辑理论被认为应当完成什么。按照这些古老的问题，我们对二阶逻辑做一些评述。
二阶逻辑后承的难解性是二阶语言表达力的一个直接和不可避免的后果。在一种意义上，逻辑后承的非形式概念是与语句 ( 命题) 意味着什么以及语言的词项指称是什么联系在一起的。因而，如果形式语言的目的是为了捕捉非形式的数学话语的语义学内容，特别是，为了复制指称和可满足的概念因为非形式的数学话语似乎在刻画诸如有限和结构、自然数和实数等方面有资源，而我们的形式语言应当有这方面的表达力那么，一般认为，二阶语言的难解性和丰富性就是数学语言的丰富性和难解性的一个后果。从这一观点看，人们应当认为数学和逻辑是一个无间隙的整体，在二者之间不可能划出一条直截了当的界限。丘奇在他对二阶逻辑的处理时曾经写道:逻辑和数学不应作为两个不同的学科加以刻画，而是同一学科的初等和高等部分。①
巴威思也阐述了类似的思想:
在基础逻辑的学科中，我们试图对体现于作为逻辑常项的 逻辑概念与作为数学概念的其他概念之间做出区别。关于是否存在着这样一条界限，或者是否所有的数学概念有它们自己的逻辑的问题，不存在这条区分线画在何处的问题作为一个逻辑学家，一方面，说服人们相信逻辑是一阶的，另一方面，又说服人们相信一阶逻辑难以捕捉到现代数学中几乎所有的概念，这样做是在危害逻辑的事业。②
巴威思得出的结论是，不可能再回到逻辑是一阶的观点中去。
哲学家也有理由使得逻辑较容易被处理，或者至少比起二阶后承关系要更容易处理。有一种久已存在的观点，逻辑不应有本体论和形而上学的预设。如果这一点难以做到，那么至少这种预设应保持在最低限度。逻辑后承仅仅取决于逻辑小品词的意义。后承关系应当是透明的，潜在明显的。如果连续统假设成为逻辑真理，那一定是有些地方出了错误。
作为一阶逻辑的直言不讳的支持者，蒯因反对二阶逻辑。他认为:大部分的逻辑推理发生在并不预设抽象实体的层面上。这种推理主要是通过量词理论 ( 即一阶逻辑) 来进行的。它们的法则能够通过不涉及对类变元的量化来表达。通常按照类、关系甚至偶数所明确表达的大多数内容，都可以在量化理论的模式内被重新表述。③蒯因后来论述道: 二阶逻辑并不是逻辑，而是伪装的集合论，是披着羊皮的狼。④
当代逻辑学家提出了一种妥协方案，他们设想在一阶逻辑和二阶逻辑之间存在着一种发展逻辑的可能性。哲学家试图在这两种极端之间寻找一种路径，一种不像一阶逻辑那么弱，但至少保留分析性和透明性这种传统的可欲之物。正式地说，逻辑学家希望逻辑系统比起一阶逻辑应有更强的表达力，但是不像二阶逻辑那样难以理解。这就是当代逻辑学家从事逻辑研究的动机之一。对此，考尔斯写道众所周知，一阶逻辑在表达数学家们研究的许多概念方面是能力有限的然而，一阶逻辑的确有相当广泛的发展，并且有被很好理解的模型论。另一方面，整个的二阶逻辑有数学所需要的全部表达力，但是有一个不可行的模型论。的确一种语义上足够复杂到能够谈论某些事物，但与此同时又简单到足以谈论某些事物的逻辑的研究，这是逻辑的一种增殖。⑤
五、数学与逻辑中的不可或缺性论证
一个相当引人注目但却毫无争议的事实是数学和逻辑对科学似乎是不可或缺的。特别是，蒯因和普特南论证道，数学对经验科学的
不可或缺的论证给了我们相信数学实体存在的极好的理由。按照这一路线，诸如集合、数、函数以及逻辑学中的可能世界等对最好的科学理论而言是不可或缺的，所以我们应当诉诸于这些数学和逻辑实体的存在，否则就犯下了普特南所谓的 理智不诚实的罪过，更进一步地说，数学和逻辑实体似乎在认识论上与科学理论中的其他实体相同。因为对前一类实体存在的信念被确认作为一个整体的理论的相同证据所辩护 ( 因而相信后一类实体的存在) 。这一论证称之为蒯因普特南数学实在论的不可或缺的论证。不可或缺的论证引起了极大的关注，它构成了 20 世纪最后几十年数学哲学和逻辑哲学争论的一个焦点，并被看作是对数学实在论的最好的论证，因而关于数学实体的反实在论者 ( 或唯名论者) 认为不可或缺性的论证必定在某些地方有错误。而许多柏拉图主义者依赖这一论证以证成他们对数学实体的信念。这些论证使那些对诸如夸克，电子、黑洞等其他科学理论实体持实在论立场的唯名论者处于一种特别困难的境地。因为通常他们接受的上述实体非常类似于不可或缺论证所辩护的那些实体。绝大多数的科学实在论者都接受了关于最好解释的论证。的确，最好解释的推理被认为是科学实在论的基石。但是，最好解释的论证也许被视为是不可或缺论证的一种形式，所以，任何一个接受了前一种立场而同时又拒绝后一种立场的实在论者会察觉到他们处在一个非常不稳固的立场上。不可或缺的论证呈现为以下形式:
( 前提 1) : 对于那些并仅对于那些对我们目前最好的科学理论是不可或缺的实体，我们应当有一种本体论的承诺。
( 前提 2) : 数学实体对于我们最好的科学理论是不可或缺的。
( 结论) : 对数学实体我们应当有一种本体论的承诺。
对不可或缺的论证存在着许多反对的意见。其中关于前提 ( 前提 1) 的质疑主要体现于对抽象对象的不可或缺性的批评: 例如，唯名论数学提出一种不需要假设抽象对象的唯名论数学以取代经典数学，由此论证抽象数学对象不是不可或缺的。以菲尔德为代表的数学唯名论观就认为，数学对科学并不是不可或缺的。菲尔德的论证由两部分组成。⑥第一部分是试图证明我们最好的科学理论没有数学也能存活下来。为了这一目的，他试图对牛顿的引力理论施加一个唯名论的框架。尽管这远未证明所有我们目前最好的科学理论都能够唯名论化，但它的确不是微不足道的。菲尔德认为，对于一个典型的物理理论，一旦人们看到对数学实体指称的消除是可能的，那么将这一做法扩展到其他的科学领域也是完全可行的。
菲尔德的第二部分是论证数学理论并不需要在应用方面是真的有用的，它只需要保守性。这意味着，利用这些数学理论可以推导出的关于具体物理对象的结论，不用这些数字定理也可以推导出。菲尔德唯名论的数学只涵盖了较简单的数学。同样的策略不适用于更高级的数学。另外，菲尔德假设时空中的点和区域是具体对象，但是，从哲学分析的角度看，时空中的点是我们对时空结构的抽象设置，其本身应当是抽象的。而且菲尔德的唯名论数学在应用于物理学时显得繁琐，而且只能涵盖很有限的物理和数学，因而不可能得到科学家的承认。不可或缺的论证也包括逻辑哲学中模态实在论对 可能世界、可能性和 必然性等概念的辩护。模态逻辑把 P 是必然的定义为 P 在所有的可能世界中为真，P 是可能的定义为 P 在至少一个世界中为真。在使用这种莱布尼茨式的真值条件定义时，逻辑对可能世界进行量化。模态实在论认为，对可能世界的量化，就像我们对石头和木棒的量化一样，通过存在量化式我们不仅承诺了石头和木棒的存在，也承诺了可能世界的存在。模态实在论者对可能世界的论证也采取了不可或缺的论证模式。例如，刘易斯就认为我们没有理由不承认模态实在论，因为它有效。这如同我们承认数学客体的存在是因为它有用是一样的。
对刘易斯可能世界不可或缺的论证的反对主要由认识论的反对和模态无关性的反对组成。认识论的反对由理查德提出。⑦他认为: 尽管可能世界语义学的确产生出关于可能性的真值条件，但它是这样一种真值条件，即对任何给定的陈述，一般地不可能确定它们是否被满足，因而一般地也不可能确定它们是真的。为什么呢? 理查德认为，因为根本就没有模态模态，因而包含有模态话语的知识既是不可获得的，又是毫无用途的。
以朱比因为代表的模态无关性观点认为，说我们的世界在某些方面与所谓可能世界的实体相似固然是自然的，但为什么我们要假定我们世界的任何方面都可能与这些实体相似。存在着这种类型的实体吗? 毕竟我们没有创造出这些特别的实体。它们以一种与 世界相似的方式产生出来，不管怎样，这只是一种可能。它们只是在那里，决然地独立于我们。我们必须与这样的可能性打交道吗? 由此朱比因也就断然否定了模态知识的可能性。⑧
