对数学本体论的讨论，通常是一个数学哲学理论的起点，也是其整个理论的焦点。关于数学的本质，每个数学家、哲学家由于其研究经历及视角的不同，都可能对数学给出不同的解释。随着时代的进步和数学的发展，我们不宜固守在某种关于数学的观点，而应实事求是地去分析和评价各种不同的理论观点，并随着数学自身的发展以及内涵的日益丰富去我们拓展的认识。
一、数学对象实在论问题的由来
数学对象的存在性问题可以具体地表述为：数学概念是否反映客观的真实存在？数学概念与客观实体的关系如何？数学概念是否独立于客观实体之外？数学对象具有怎样的性质？如何来正确理解数学对象的存在？
在数学萌芽时期的原始社会，数学的研究对象是名数。数学的研究对象往往是源于客观实体的，数总是与某种实在的东西（如手指、贝壳）相联系，而不是仅仅被抽象地想象。正如布留尔所言：在古代原始人的视角中，数的应用总是或多或少与被计数的实体联系着。在群体的思维表象中，数学以及数的名称与其说它们是算术的单位，还不如说数是一种神秘的实体存在。
人类经过漫长的认识发展，才使数脱离具体事物，成为纯粹抽象的概念。在相当长的时期内，人们总是把数学对象看作像真实的东西那样。例如，毕达哥拉斯学派强调，宇宙的本质是数学对象，一是数学的源泉，一生二，再由一、二生出各种数字，各种数字结合空间图形再衍生出点、线、面、体等。由此可以得出可感事物是由数构成的，数成为万物的基础，数学对象独立存在于可感知的事物之中。
古希腊哲学家柏拉图相信数学对象存在于理念世界，它是一种独立于人类思维的存在。亚里士多德批判了毕达哥拉斯学派和柏拉图关于数学对象独立存在的观点。他认为，一不是普遍的事物存在形式，它仅仅是一种计量单位，一与二，一与其它数字之间仅是一种关系、一种属性；数学对象只是一种抽象的可能性。数学对象并不表示真实的存在，数学对象抽象地存在于具体事物之中，它们恰恰仅仅是数学家抽象思维的产物，即是一种思维抽象的可能性，一个定义仅仅是让我们明白对象的外延和内涵，但这不能成为它存在的证据。例如，三等分的任意角、正十面体，这些概念都可以有明确的定义，但它们都是不存在的，所以定义了的东西是否存在有待于证明。亚里士多德的观点使人们开始认识到抽象和具体的关系，使人类思想史前进了一步。
其实，亚里士多德和柏拉图在数学本体论上的争论主要是围绕数学对象如何存在的问题，即数学对象存在于实体中，还是一种与客观事物分离、在客观事物以外的独立存在？这个问题涉及到一般或共相的实在性问题，这也引起了中世纪欧洲实在论与唯名论的长期斗争。实在论者断言，共相是一种真实的存在，而且只有在共相存在的基础上，才有个体的存在；唯名论者则认为只有个别的、具体的事物才是客观存在的。
尽管数学的本体论问题早就引起了哲学家们的兴趣，但是，在16世纪以前，数学家对此并没有给予真正的关注，在当时的数学家们看来，他们无须为数学的本体论问题操心，因为，数学命题所具有的明显的客观意义及其绝对真理性已经充分保证了他们的工作的意义。随着数学自身的发展，情况逐渐发生了变化，许多数学概念和对象仿佛只是思维自由想象的产物，与客观现实并无直接的联系。对于这种发展M克莱因曾这样予以描述：数学家们无意中逐渐引进了一些没有或很少有直接物理意义的概念，其中负数和复数是最令人费解的，因为这两种数在自然界中没有实在性则迫使人们认识到数学的人为性。这种对于新的数学对象的合理性和客观实在性的怀疑导致了关于数学对象的本体论问题的进一步研究。
二、现代数学实在论的困境
数学实在论相信数学对象独立于人类的思维，它是一种独立的存在。这种观念在一定意义上可以看成柏拉图的哲学思想及中世纪的实在论观念的延续。确信数学概念、数学世界独立于思维而存在是数学实在论观念的核心。实在论由于其本身的不彻底性，无法充分解释数学对象的存在形式、存在性质，因此也就无法正确分析数学对象的客观意义。19世纪末，数学在超穷数理论的进展促使康托尔站在实无穷的立场上，远离数学和哲学上关于数学对象的传统观点，从而引起了数学家、哲学家的广泛关注，康托尔的数学工作对哲学视角的影响恐怕远超越其对数学领域的影响。围绕着如何认识超穷数及其方法的问题，数学实在论遇到了前所未有的挑战。
从无穷集合的认识角度看，实在论者往往对无穷集合的客观存在性持肯定的态度，在他们看来，假设我们确信数学对象具有客观实在性，那么我们借助数学概念、数学对象进行思维就是理所当然的事情，于是我们就有理由相信数学是早已客观存在着，数学的存在等待着数学家去还原、去发现。相反的，形式主义者对实无穷概念的实在性问题持完全否定的态度。他们认为，无论何处，无论何时，无限都是不可能实现的，我们无法想象自然界中存在无限，无限也无法成为人类进行合理思维的可靠基础。柯亨说：我相信任何实在论者都会承认的一个弱点是，他没有能力说明象更高的无穷公理这样无穷无尽的序列的根源。当考虑一个充分不可达的基数时，甚至连最坚定的实在论者也一定会退却的。事实上，数学对象、数学概念本身就具有两重性，一方面它是人类抽象思维的结果，具有相对的独立性，另一方面，它又包含一定的客观内容，体现人类思维对外部客观世界的间接能动反映。数学概念是理想的、抽象的完美事物，在现实中不存在那样的客观事物，同样的，实无限包含有无限多元素，这在现实经验中也是无法理解的，它恰恰是一种构造的理想物，反映了某种客观实在关系而已。
同时，从无穷基数的认识性质上看，连续统假设的独立性证明是对实在论的有力驳斥。因为，按照实在论的观点，实数系那样的对象是一种独立于我们认识的客观存在，因此它们的基数是有客观标准的，即是多大就是多大，而不能是任意的，从而连续统假设也就必然或者为真、或者为假。然而，由于连续统假设的不可判定性，这就允许有各种体系的集合论，在不同体系中连续统的基数是各不相同的。显然，基于这样的理解，连续统问题就不具有任何客观意义。相反地，实在论者指出，连续统假设独立性的结论并不能成为实在论错误的依据。例如，哥德尔认为，这一结果决不意味着问题的解决，而只是意味着这些公理系统没有包括那个实在的完备的描述。因此，哥德尔认为我们就应进一步去发展集合理论，而在足够发展了的集合论理论中，连续统问题就是可以判定的了。
在另一理论立场上，反实在论也给现代实在论带来了较大的冲击。反实在论观点的主要优越性就在于它能容纳各种自由的创造。按照反实在论的观点，数学的研究对象就是形式理论，它既与客观实际无关，也不必具有直觉上的可信性，因此，数学家们就可任意地去研究各种可能的形式理论；而如果接受了实在论的观点，那么我们只能认识，而不能创造数学对象，因为数学对象是先于数学活动而存在的，数学家的工作仅仅是发现数学对象，而不是去创造数学结构、数学对象，但这势必造成对创造性思想的压制。数学在它自身的发展中完全是自由的，对它的概念的限制只在于：必须是无矛盾的并且和先前由确切定义引进的概念相协调数学的本质就在于它的自由。数学思维的自由性表现在数学的对象是由数学家按明确的定义得到形式的建构，如虚数的引入、四元数的创立等。数学史表明：由于解方程过程中出现了负数开平方的问题，由于在实数领域内负数没有平方根，于是就形式定义虚数单位i。更有甚者，即使对同一数学对象，不同的数学家则完全有可能采取不同的建构形式，如集合论的公理系统，就有ZF系统、BG系统、NF系统和ML系统。从数学史的角度，概念的自由性表现在不断地从根本上扩展它的对象，上升到更高的抽象层次。例如，《几何原本》的几何对象点、线、面具有较明显的直观意义，而在《几何基础》里，虽然沿用欧几里得的术语，但这三个基本概念既没有定义，也没有作直观的解释，是任意的对象，它们只与所选择的公理有关，在希尔伯特看来，欧几里得关于点、线、面的定义，在数学上并不重要，这种观点充分体现了数学思维和数学构造的自由性。
三、数学实在论的嬗变与超越
由上分析可以看出，随着数学研究的不断深入和抽象程度的提高，许多数学对象并不具有直观背景，数学不仅研究现实的数量以及数学关系，而且研究构造的、可能的数量及其数学关系。由于实在论本身的局限性，数学实在论受到相当的挑战，这就迫使人们摒弃传统的视野，去寻求新的理解和突破，研究者从不同了思路提出了各自的思维策略和解决方案。
（一）淡化本体论的立场
20世纪初，数学哲学理论出现了不重视本体论问题研究的倾向，如以数学基础研究为中心的数学哲学理论，不论是逻辑主义、形式主义还是直觉主义，其出发点都是要为已有的数学理论奠定一个基本的、统一的、可靠的基础，其着眼点在于对数学知识的逻辑结构分析。由于数学基础研究各个学派的研究规划均未能获得成功，况且，哥德尔不完备性定理的出现更是彻底击溃逻辑主义、形式主义的构想，这也意味着数学基础研究黄金时代的褪去。
淡化本体论研究的更为极端的表现是在数学对象的实在性问题上采取反本体论的立场。反本体论，简单地说，就是认为本体论问题是毫无意义的，或者说很难形成关于本体论的科学认识。例如，卡尔纳普应用语义学观点阐述了抽象数学对象的存在性问题并表明其反本体论的观点。对我个人来说，维特根斯坦可能是除罗素和弗雷格以外对我的哲学思考影响最大的哲学家。我从他的著作中所获得的最重要的观点是：逻辑陈述的真理性仅仅依据其逻辑的结构和词语本身的意义。他强调，当我们认为数学对象是存在的，这只有当它相对于其所归属的数学系统才有其存在的意义。如果我们考虑更为根本的、先于数学系统的存在依据，那么由于这类问题不具有认识的指向性及认识的内容，因此这类问题是一种假问题，也是没有任何意义的。为了进一步说明他的观点，卡尔纳普区分了两种不同的存在性问题。他认为，当人们谈到一种新的数学对象时，他自然地借助一种新的话语系统，引入一种新的说话逻辑，这也同时给新的数学研究对象提供了讨论范畴及其语言框架。基于这个语言框架，我们可以很好地区分两种不同的存在：一方面，在这个范畴体系及语言框架内对象存在性的问题，我们暂且称之为内部问题；又一方面，作为一个整体的范畴体系、语言框架的存在性问题，我们把它看作是外部问题。内部存在性只是表明对象相对于语言结构的存在性，因此它就不是一种真正意义上的本体论问题。外部存在性问题，它是不可能解决的，因为它主要取决于是否接受一种新的语言形式的问题，而无法被判定为真或假，而只能判定它的便利和有用的程度。
（二）实用主义的立场
实用主义作为现当代西方的一种重要哲学流派，对数学哲学也有很大的影响。在本体论的选择问题上，数学哲学家奎因的判别标准则显然站在实用主义的立场上。在奎因看来，数学本体论问题其出发点在于为数学提供一种简便的、可能的语言系统和概念框架，如果依此原则，数学在本体论问题上就不适宜将数学对象是否与客观事物相符合作为数学对象取舍的标准，而应探讨是否方便可行，并将它作为标准。存在并不是完全无条件的，存在总是在一定的时空及语境中，况且不是所有的抽象对象都是合理的，也不见得都是存在的，例如当我们考虑数、函数与集合、关系的相互作用时，我们可以看到，具体对象依附于集合，当数、函数只有被解释为集合中的关系或属性时，它们才具有关系意义，这样的抽象存在也才具有意义。
普特南在奎因工作的基础上，发展了不可或缺性论证理论。概括地说，不可或缺性论证假设数学概念、数学世界对于科学而言是必须的，科学在现实世界的成功实践也同样确证了数学对象的假设。不可或缺性论证的推理逻辑为：首先，实分析诉诸于抽象实体实数，如果我们接受了实分析公理的真理性，承认这些抽象实体的存在性就是不言而喻的，由于实分析系统对于物理学而言是不可或缺的，换句话说，没有借助实分析的语言系统，现代物理学的创立就只是一种空中楼阁。那么，我们基于物理学的真理性确信实数系统的真理性，从而实数是存在的。
（三）概念构造的立场
概念论在数学对象的客观性问题上，是与直觉主义一脉相承的，只不过是更精制罢了。直觉主义认为数学是一种个体的创造性活动，是人类心智的固有特性，它仅仅是个体的主观心智活动，并不是寻求对外部客观实在的描述。在直觉主义者看来，只有建立在数学直觉之上的数学才是可靠的，存在必须等于被构造。
概念论者认为：数学对象作为抽象实体是存在的。但是，这种存在是有条件的，它只存在于思想之中，而不存在于客观世界，正如萨普所说：我们并不否定实在的或实际的抽象对象的存在但是，我们关于这些实际的抽象对象采取一种有限论的或心灵主义的观点。虽然概念论也承认数学中的少数概念具有完全实体性的存在，不过，在概念论看来，数学对象没有独立的或超出概念之外的存在，参照它们只是谈论概念的一种方式。概念论的这种态度表明它的重心在于厘清数学自身的本质，并不试图寻求回答更大范围内的哲学问题，这与直觉主义的观点是一脉相承的，他们的任务就是理解数学，不需要作过多哲学的解释。当然，概念论的有些看法也是比较极端的，如认为概念是纯粹心灵的，构造不需要语言，这是不合理的，也不符合数学概念自身的创造过程。
