摘 要 图像去噪是图像处理中最基本、最重要的前期预处理工作。本文针对软、硬阈值函数在图像去噪中存在过分平滑、边缘振荡和有恒定偏差的缺点，提出了一种改进的阈值函数。仿真实验结果表明，采用改进的阈值函数进行图像去噪处理，无论在视觉效果上，还是在峰值信噪比上和最小均方误差意义上均优于常用的阈值函数。
关键词 小波阈值去噪 阈值函数 图像去噪 峰值信噪比
An Improved Wavelet Threshold Denoising Algorithm and Simulation
ZHANG Qi， LIU Hui， LUO Haifu， LUO Bin， LI Kang
（College of Physics and Information Science， Hunan Normal University， Changsha， Hunan 410000）
Abstract Image denoising is the most basic and important pre-preprocessing in image processing，. In this paper， smoothing over hard and soft threshold function for image noise removal， and there is a constant oscillation shortcomings edge deviation， proposed an improved threshold function. The simulation results show that the improved threshold function for image denoising， in terms of visual effects， or in the peak signal to noise ratio and minimum mean square error sense are superior to the commonly used threshold function.
Key words wavelet thresholding; threshold function; denoising; PSNR
0 引言
图像在传输过程中，很容易受到噪声的污染，为了提高图像质量，便于图像后续处理，需要对图像进行去噪。人们根据图像的实际特点、频谱分布规律和噪声的统计特征，①提出了很多图像去噪方法。1995 年，Donoho②提出软、硬阈值函数的图像去噪方法。为了克服软、硬阈值去噪中存在的问题，后续国内外许多学者提出了很多改进的阈值函数，③④这些阈值函数连续可导，便于求解阈值最优问题，但它们没有可调因子，不够灵活，或者计算复杂。本文针对以上阈值函数的不足，提出了一种改进的阈值函数。
1 小波阈值去噪理论
1.1 理论依据
其中，（）为原始图像信号，（）为高斯白噪声。
对 （）作离散小波变换：
其中，，（）和（）分别为含噪图像信号，原始图像信号和噪声在第层上的小波系数;和分别为最大分解层数和图像的总像素数。
小波变换后信号主要分布在小波系数的低频部分，而噪声分布在小波系数的高频部分;⑤并且信号对应的小波系数大于噪声对应的小波系数。于是可以用一个阈值，把信号小波系数和噪声小波系数分开。然后用新的小波系数进行图像重构，达到去除噪声的目的。
（1）对含噪图像信号进行小波分解，利用合适的小波基和分解层数，进行离散小波变换，得到各尺度小波系数。
（2）对分解后的各层高频系数利用阈值和阈值函数进行处理，得出估计小波系数，使尽可能的小。
（3）对小波分解的低频系数和估计小波系数进行重构，得到去噪后的图像。
1.3 阈值函数的选取
常用的阈值函数有：
（1）硬阈值函数表达式为：
（2）软阈值函数表达式为：
式中，为估计小波系数，为分解小波系数，为阈值。
2 改进的阈值函数
针对硬阈值函数不连续和软阈值函数总存在恒定偏差，以及常用改进阈值函数没有可调参数或者计算复杂的问题，本文构造出一个连续且可导的改进阈值函数，该函数计算简单，同时通过可调因子，可以控制估计小波系数与原始小波系数的逼近速度和程度，这有利于该函数对不同类型图像和噪声的适应性。其表达式为：
式中，为估计小波系数，为分解小波系数，为阈值， 为调节系数，并且0≤≤1。
考察该阈值函数特性：当OO→时，→0，即改进阈值函数在阈值点处连续;当O→时，→，即随着OO逐渐增大，与之间的偏差越来越小，解决了软阈值函数恒定偏差缺点。参数 可调节阈值函数与直线 = 的逼近快慢和逼近程度，这利于对不同的图像特征进行灵活处理。其中，当 = 1时，函数退变为硬阈值函数，当 = 0时，函数退变为软阈值函数。
3 仿真实验和结果分析
从图1可以看出，硬阈值法去噪后图像连续性差，软阈值法去噪后图像模糊，折中法去噪效果较好，但仍存在噪声点;本文改进阈值法去噪后图像更光滑，细节特征保留更完好。为了更客观的比较各种方法的去噪效果，本文采用峰值性噪比（PSNR/dB）和均方误差（MSN）作为图像去噪性能指标，利用matlab软件得出各阈值函数法去噪后的峰值性噪比和均方误差，其比较结果如表 1 所示。
表1 峰值信噪比和均方误差比较
4 结束语
本文在小波阈值去噪原理的基础上，针对常用阈值函数的缺点，构造了一种改进的阈值函数，并利用 Matlab软件进行仿真对比。结果表明，利用本文改进的阈值函数进行小波阈值图像去噪具有较好的去噪效果，去噪后的图像在峰值性噪比、均方误差和主观视觉效果方面均优于传统常用阈值函数。
注释
① 姚敏.数字图像处理[M].北京：机械工业出版社，2006.
② Donoho DL.Denoising by soft thresholding[J].IEEE Trans.on Inform Theory，1995.41（3）：613-617.
⑤ 高志，余啸海.小波分析与应用[M].北京：国防工业出版社，2007.
