古希腊的芝诺为了证明运动的不可能，提出了四个悖论，其中比较有名的是阿喀琉斯追乌龟悖论和飞矢不动悖论，我们先以这两个悖论开始
阿喀琉斯追乌龟悖论:用亚里士多德的话转述如下:动得最慢的物体不会被动得最快的物体追上。由于追赶者首先应该达到被追者出发之点，此时被追者已经往前走了一段距离。因此被追者总是在追赶者前面。用通俗的话来讲，可以用这样一个故事来说明:阿喀琉斯有一天碰到一只乌龟，乌龟想和他赛跑，并表示阿喀琉斯追不上他，下而是乌龟的理论:假设阿喀琉斯离乌龟有100米，速度是乌龟的10倍。阿喀琉斯开始追乌龟了，当他跑到乌龟当前的这个位置，也就是跑了100米的时候，乌龟也已经又向前跑了10米。当阿喀琉斯再追到这个位置的时候，乌龟又向前跑了1米，总之，阿喀琉斯只能无限地接近乌龟，但永远也不能追上它。
该悖论困扰了人们千年之久，直到微积分创立才得到完整的解决，快的物体追上慢的物体有一个时间点，该悖论的本质是说的在该时间点之前，后而的快的物体永远追不上慢的物体。
飞矢不动:可以用芝诺和他的学生的对话来理解
芝诺:一支射出的箭是动的还是不动的?
学生:是动的。
芝诺:这支箭在每一个瞬间里都有它的位置吗?
学生:有的
芝诺:在这一瞬间里，它占据的空间和它的体积一样吗?
学生:是
芝诺:那么，在这一瞬间里，这支箭是动的，还是不动的?
学生:不动的。
芝诺:这一瞬间是不动的，那么其他瞬间呢?
学生:也是不动的。
芝诺:所以，射出去的箭是不动的。
飞矢不动悖论产生的原因主要是没有考虑到时间这个重要的因素，只要把时间考虑进去，该悖论就迎刀而解了。
说谎者悖论:可能是最为广泛流传的悖论。最常见的例子是我在说谎。因为若是我在说谎为真，那我便不是在说谎;若是我在说谎为假，那么我就是在说谎。所以无论这句子是真或不真，情况都不可能成立。这个悖论起源于西元前6世纪古希腊哲学家埃庇米尼得斯的话:所有克利特人都说谎旧前大家公认的是，该悖论源于自指，因此也就形成了一种解决悖论的方案:消除自指。后来的悖论解决之道大多遵循这个模式。罗素对这个悖论进行了深入的研究，他先试图用命题分层的办法来解决，但是没有成功。后来证实这个问题引起了大家对悖论的关注。苏珊哈克根据这个问题给出了什么是悖论的基本标准，她提出的标准已被学界普遍接受，即必须独立于导致悖论的结论这一点而证明对前提表达式或推论原则的反驳
理发师悖论是罗素悖论的一个比喻，是由罗素在1901年提出的。它的内容是:理发师说，他要为城里所有不为自己刮脸的人刮脸，而且只为那些不为自己刮脸的人刮脸。问题是:理发师该给自己刮脸吗?如果他给自己刮脸，那么按照他的话他不应该为自己刮脸;但如果他不给自己刮脸，同样按照话他又应该为自己刮脸。该悖论是罗素悖论的比喻，下而我们看一下正宗的罗素悖论
罗素悖论：假设有一个集合 具有如下性质，里面的元素都不属于它本身，也就是说 里面的元素都有性质P(x)：xx，既 A={ x|xx}。那么现在的问题是：AA是否成立?我们分析一下，若AA，那么A是A的元素，这样的话A不具有性质P，这时又会得到A如果AA，也就是说A具有性质P，应为里的所有元素都有性质P，所以AA。
罗素悖论的出现的原因比较明确，是因为集合论没有对集合这个概念做出清楚的定义而形成的。这个悖论之所以有很重要的影响，是因为当时集合论已成为数学理论的基础，因此这一悖论的出现导致了第三次数学危机
十九世纪下半叶，德国数学家康托尔创立了集合论。在经受了一系列的质疑后，这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。后来数学家们将集合论视为现代数学的基石。没想到1903年出现了罗素悖论，直接指出集合论是有漏洞的。它使集合论产生了危机。所以，这个悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次数学危机
悖论的解决方案是严格化集合的定义，形成了公理集合论，也就是，不是什么东西都可以构成集合，要按照一定的规则生成的才是集合。公理化集合论的建立排除了集合论中出现的悖论，比较圆满地解决了第三次数学危机。这个悖论深刻地影响了整个数学，后来形成了现代数学史上著名的三大数学流派，而各派的工作又都促进了数学的大发展。需要说明的是，理发师悖论和罗素悖论是等价的，如果把人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称他的元素，都是城里不属于自身的那些集合，并且城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己?这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。罗素悖论还有一个版本，书口悖论:一个图书馆要编纂一本书，其内容是列出该图书馆里所有不列出自己书名的书的名宇。那么作为口录的书该不该列出自己的书名?此外还有一些物理学上的悖论，主要有:
祖父悖论是关于时间旅行的悖论，他最先由一个法国科幻小说作家提出。是这样的一种情况:假设你回到过去，在自己父亲出生前把自己的祖父母杀死;因为你祖父母死了，就不会有你的父亲;没有了你的父亲，你就不会出生;你没出生，就没有人会把你祖父母杀死;但若是没有人把你的祖父母杀死，你是否会存在并回到过去且把你的祖父母杀死?
这个悖论的解决也是在物理学中，一般认为可以这样解决:世界是由无数个平行宇宙组成的，而当某人回到过去杀你的祖父母时，此人杀的其实是另一个宇宙的人，而此人的祖父或祖母的死只会使那个平行宇宙的此人不再存在，而这个平行宇宙的此人则平安无事。霍金对这个问题也有研究他把祖父悖论的结论置放在不能干预历史的层而上。这个悖论还导致了人们对时间旅行的一些深入思考
薛定谔猫是奥地利物理学者埃尔温薛定谔于1935年提出的一个思想实验，也可以说是一个物理上的悖论，实验是这样的:把一只猫关在一个封闭的铁容器里而，并且装置以下仪器:在一台盖革计数器内置入极少量放射性物质，由于物质的数量极少，在一小时内，这个放射性物质至少有一个原子衰变的概率为50%，它没有任何原子衰变的概率也同样为50%;假若衰变事件发生了，则盖革计数管会放电，通过继电器启动一个榔头，榔头会打破装有氰化氢的烧瓶。经过一小时以后，假若没有发生衰变事件，则猫仍旧存活;否则发生衰变，这套机构被触发，氰化氢挥发，导致猫随即死亡。用以描述整个事件的波函数竟然表达出了活猫与死猫各半纠合在一起的状态。
这个悖论提出一个很尖锐的问题:这系统从什么时候开始不再处于两种不同量子态共同组成的叠加态，转而坍缩为其中的一种?这就是这悖论的精华。这个悖论的提出，其实是为了说明哥本哈根诠释的不足。后者是在量子力学的诠释中最被普遍支持的。它大致说，当观察发生时，系统不再处于两种状态的叠加态，转而坍缩为其中任意一种状态。薛定谔猫悖论清楚地显露出一个事实，在这种诠释里，测量或观察的概念并没有被良好定义。目前该悖论在物理学中仍然没有被解决
随着现代科学的不断发展，又将会有不少新的悖论大量涌现。悖论并不是错误的，它的存在说明科学上还有漏洞，而消除这些漏洞则会使科学更加健全。
