逻辑后承是逻辑学的核心概念。早在1936 年以德文发表的《论逻辑后承概念》一文中，塔斯基就专门且明确地讨论了这个概念。他借助所谓的科学语义学(即模型论语义学)的技术给出了逻辑后承概念的定义，并认为他的定义最能符合我们关于通常的后承概念的直觉。尽管受到塔斯基的影响，模型论方法已经成为逻辑学家们研究各种逻辑性质的重要工具，但塔斯基对逻辑后承的模型论定义在外延上是否等价于直觉上的通常的后承概念，这一点仍然存在争议。埃彻门第批评塔斯基的定义缺乏外延恰当性，既有过度(overgeneration)问题也有不及(undergeneration)问题(Etchmendy，1990，148，150)。这两方面的问题皆归咎于该定义对逻辑后承的错误的还原，即把逻辑后承概念还原为具体论证的保真性，这致使它无法为论证的逻辑有效性提供独立的概念性保障(Etchmendy，2008，267)。本文将针对埃彻门第的批评，围绕外延的恰当性和概念分析的恰当性这两个方面为塔斯基的定义提出辩护。
一、塔斯基的模型论定义
塔斯基对逻辑后承概念的定义起点在于合乎我们关于通常的后承概念的直觉。在他看来，如果一个语句X 是从语句集K 逻辑地推出的，那么通常在直觉上，不可能K 中的语句都是真的而X 却是假的。逻辑后承的必然性决定了它是形式的，即这种关系不能以任何方式被经验知识所影响，后承关系不能因在这些语句中指称对象的指示词被指称其他对象的指示词所替换而受到影响(Tarski，1936，212)。这意味着，这种关系在前提集K 与结论X 之间成立，必须独立于K 中的所有语句和作为结论的语句X中的非逻辑常项的涵义，而仅仅依赖于其中出现的逻辑常项的涵义。只要逻辑常项被选定，无论如何对其中出现的非逻辑常项做相应的替换，都不会改变后承关系。如果语句X 是从集合K 逻辑地推出的，那么不仅要求并非K 中的所有语句都为真而X 却为假，还要求对于K 中所有语句和X 的如上替换结果也应如此。这样，塔斯基就得到了逻辑后承的必要条件：
(F)如果在集合K 的语句中和在语句X 中，(除纯粹的逻辑常项之外的)常项被其他常项所替换(类似的记号在所有地方都被类似的记号替换)，如果我们用K表示由K 得到的语句集，且用X表示由X 得到的语句，那么语句X必须是真的只要集合K中的所有语句都是真的。(Tarski，1936，212)条件(F)还不足以定义逻辑后承，因为它并不同时构成逻辑后承的充分条件，除非我们假定表达K和X 的语言包含了足够充分的非逻辑常项(符号)。但事实上这种假定并不总能成立。为此，塔斯基建议寻求其他工具，即语义学的工具。在塔斯基那里，转向逻辑后承的语义学定义很自然。因为语义学能够提供的工具就是满足概念，而这个概念在其《形式化语言中的真概念》(1933)中已经获得了严格定义。因此，通常的后承概念的直觉就可以被重新表述为：如果一个语句X 是从语句集K 逻辑地推出的，那么通常在直觉上，不可能论域中对象的所有序列都满足K 中的语句而不满足X。结合定义(F)，就可以得到如下表述：任何能够满足K* 中所有语句函数的序列也能满足X*。需要注意的是，为了避免非逻辑常项短缺的问题以及为了表达必然性，这里的K*、X*不再是对K 中所有语句以及语句X 中的非逻辑常项进行相应替换后得到的某个语句，塔斯基把它们分别规定为将非逻辑常项直接替换为相应的变元而得到的语句函数的集合和语句函数(sentential function)。其实，满足概念的定义首先就是针对一个给定语句函数被对象或对象序列满足的概念，而真概念或语句的满足概念则以此为基础。借助满足概念，我们只需要对前面的表述稍加修改就可以得到逻辑后承的一个新定义：
(S)语句X 是由语句集K 逻辑地得出的，当且仅当如果K* 和X* 等分别是由语句集K 和语句X 得到的语句函数集和语句函数，则所有满足K* 中每个语句函数的对象序列都满足语句函数X*。塔斯基没有提到定义(S)，大概是因为这个定义还不够简洁、不够直观。正是借助语句函数以及基础的满足概念，塔斯基引入了模型概念①。如前所述，令K 为任意语句集、X 为任意语句，K* 为由K 得到的语句函数集，X* 为由X 得到的语句函数。任意满足集合K* 中每个语句函数的对象序列都被称为语句集K的模型;任意满足X* 的对象序列都被称为X 的模型。在此基础上，塔斯基给出了逻辑后承概念的更为简洁直观的模型论定义：
(M)语句X 是由语句集K 逻辑地得出的，当且仅当集合K 的每个模型都是语句X 的模型。
由模型概念的定义不难看出，(M)与(S)是等价的。在这里必须要强调的是，塔斯基的定义(M)是以(S)为基础的，前者较之后者而言仅仅在字面上更有利于体现模型论方法的特征，而对逻辑后承概念的模型论定义的实质则在定义(S)中得到了充分表达。这意味着，在塔斯基的定义中，模型概念并不是必要的，而仅仅是作为简化定义的一个工具而已。同样，也不需要借助真概念。(语句函数的)满足概念才是必不可少的，是塔斯基的定义的核心。
鉴于满足以及模型等概念均已得到严格定义，定义(M)显然不再包含任何模糊的概念，塔斯基自信地认为：每个理解上述定义之内容的人都必须承认它与[逻辑后承概念的]日常用法是相当一致的。这一点相对于它的其他后承概念而言将变得更加明显。(Tarski，1936，213)模型论方法的优势在其他逻辑性质的刻画上也得到凸显。与逻辑后承联系最为紧密的逻辑性质就是逻辑真：语句X 是逻辑地真的，当且仅当所有对象序列都是它的模型。虽然塔斯基的定义因其突出的优势已经被大多数逻辑学家所广泛接受，但批评之声依然存在。其中最具代表性的批评来自埃彻门第，他列举了塔斯基的定义面临的几个问题，以此质疑其恰当性。接下来，本文将分别针对其中两个最为关键的问题进行讨论②。
二、过度问题
尽管定义(M)被视为是模型论定义的典范，但埃彻门第还是指责塔斯基的定义会直接导致过度问题①，这是因为塔斯基的定义预设了一个固定不变的量词论域。在埃彻门第看来，这也是塔斯基的定义与标准模型论的定义的重要区别所在：现代的标准的模型论语义学考虑到了量词论域的变化及其与其他因素的解释之间的关键的依赖性，没有这种依赖性，塔斯基的定义将绝不会得到标准的结论，即使将量词处理为非逻辑常项(Etchmendy，1988，69~70)。
所谓过度指的是塔斯基的定义会把许多并非逻辑有效的论证判定为逻辑有效。为了说明这一点，我们需要借助塔斯基对逻辑真概念的模型论分析。首先，根据语句函数的形成机制，如果一个语句不包含任何非逻辑常项，那么它的语句函数就是它本身。接着，根据塔斯基的真之定义，即一个语句是真的当且仅当所有对象序列都满足它，如果这个语句是真的，它就会是逻辑地真的，因为它的语句函数(也就是它本身)被所有对象序列满足。于是可以得到这样的推论：所有以其自身为语句函数的真语句都是逻辑地真的。这样一来，我们很容易会发现，在包含全称和存在量词以及等词的一阶语言中，所有仅仅表达数量的语句都为逻辑真理，例如至少有一个对象(埚x(x=x))、至少有两个对象(埚x埚y(xy))(Etchmendy，1990，74，111);对一阶语言中的任意真语句的二阶存在概括也都是逻辑地真的，例如如果Fa是真语句，埚F*埚x(F*x)就是真的，而且还是逻辑地真的②。以这些逻辑真语句为结论，我们不难构造很多论证，无论其前提或前提集是什么，按照塔斯基的定义，这些论证都将名正言顺地归入逻辑后承概念的外延。但这些语句直觉上并不是真正的逻辑真理，它们是关于世界的实质的、非逻辑的断言(Etchmendy，2008，272)③，以它们为结论的论证直觉上也并非逻辑有效的。反例很容易找到：考虑以恰好有一个对象为前提、以恰好有两个对象为结论。根据塔斯基的定义，它是逻辑有效的，但很明显至少存在一种情形能够使得前提为真且结论为假。
按照埃彻门第的分析，造成上述过度问题的原因是，塔斯基在定义中预设量词的论域始终保持不变，即是由所有对象构成的集合。只要像现代的标准的模型论语义学那样考虑到量词论域的变化，上述过度的反例就不难被排除(Etchmendy，1990，116)。由于考虑了论域，标准模型论的模型就是由论域与对象序列构成的有序对(其中论域D 与对象序列s 都是可变的)。一个语句是逻辑真理，当且仅当所有这样的有序对都是它的模型。如果埃彻门第的观点正确，那么塔斯基使用的模型就是局限于以全域U 为论域的一类特殊的有序对，即(其中，只有对象序列f 是可变的)。由这类有序对决定的逻辑真理和逻辑后承难免会较为宽泛。
现在我们需要考虑的是塔斯基的定义是否确实预设了一个不变的全域。虽然塔斯基在《论逻辑后承概念》(1936)一文中并没有谈到论域，但在给真概念定义时，他给出了两种真概念和满足概念的定义，一种是绝对的，一种是相对的。后者需要考虑论域，即在个体论域a 中为真以及在有k 个元素的论域中为真。他认为在演绎科学的方法论中相对性特征的真概念比绝对概念起着更大的作用，并以之作为其特殊情形(Tarski，1933，199)。这说明塔斯基并没有忽视不同论域对语句真值的影响。至于他在定义逻辑后承概念的时候是否考虑到这一点，我们不得而知，但值得注意的是，塔斯基1953 年再次讨论模型论时明确考虑了论域的变化①。他将模型R 定义为由非空的论域和对象序列构成的有序组，即R=，并借助模型分别定义了逻辑后承和逻辑真：一个语句 被称之为一个语句集合A 的逻辑后承，当且仅当在每一个A 中所有语句在其中被满足的[模型]R 中，A 被满足;它被称为逻辑地真的，当且仅当它在每个可能的[模型]中被满足。(Tarski，1953，8)在这里，塔斯基并没有对U(即R 的世界(universe))做出限定，更有趣的是，塔斯基还考虑了坌x坌y(x=y)这个反例，他说：这个语句明显表达了世界只包含一个元素的事实;尽管在这个语句中没有非逻辑常项出现，它也不是逻辑公理，因为它不被所有的[模型]满足。(Tarski，1953，18)可见，即使塔斯基在1936 年所使用的模型是论域不变的，那么至少到了1953 年，塔斯基已经纠正了这个错误。何况，他并没有提到1953 年的这种定义是对早期工作的纠正或者补充，相反，他还在注释中提醒我们，关于满足、真、逻辑后承以及逻辑真概念的形式定义和细节讨论参考他的早期工作。所以，我们不能把塔斯基的定义看作是新的定义，而应该把它看作是更明确的定义或更清晰的重述。这样一来，我们完全有理由相信，塔斯基1936 年对逻辑后承以及逻辑真概念的模型论定义与1953 年的定义即标准的模型论定义是一致的。
三、不及的问题
埃彻门第认为，塔斯基的定义仅仅对于带有逻辑上独立的原子语句的命题语言而言是有用的。某些重要的修补也可以令它对一阶语言(带有逻辑上独立的谓词和函数符号)以及与它们紧密相关的特定语言有用(Etchmendy，2008，281)。这意味着，对于这些语言之外的那些论证是否真正是逻辑有效的，塔斯基的定义无法做出甄别。因而，塔斯基定义的逻辑后承概念与通常概念在外延上存在严重的分歧。前面所讨论的过度问题是外延恰当性问题的一个方面，它可以通过考虑论域的变化得到解决，而且塔斯基的定义本身包含了这种考虑。现在我们需要讨论另外一个方面，即不及问题。
所谓不及，指的是有些直觉上有效的论证却不属于塔斯基所定义的逻辑后承概念的外延。按照埃彻门第的观点，当一个推理的有效性不仅依赖于逻辑常项还依赖于一些非逻辑的、实质的表达时，就会产生不及问题(Etchmendy，2008，278)。例如，a 是哲学家，所以a 是人。这个论证是有效的，但它依赖于哲学家和人这两个实质谓词的涵义。这种反例可以被称为实质论证，但是一般我们可以将它们看作是缺少或者预设了相关前提，只要添加对于这些实质语词的相应定义或说明作为前提，它们完全可以还原为形式论证。更普遍的不及的问题与围绕一些实质的哲学概念建立起来的论证及其逻辑系统有关，例如模态逻辑、信念逻辑、认知逻辑等，在所有这些情形下，被研究的后承关系都不被看似正确的塔斯基的刻画所承认(Etchmendy，2008，280)。不难看出，这些逻辑中的论证的有效性除了依赖于通常的真值函数的逻辑联结词之外，还依赖于必然、相信以及知道等概念的涵义。例如，根据埃彻门第的举例，判定Bela ( )是否逻辑地推出埚x(xBelx ( ))，取决于 是否被唯一一个人相信。造成上述不及问题的原因主要在于，塔斯基提供的模型概念被认为是只适用于外延性的语言，它无法为这些内涵性的概念提供恰当的刻画，甚至按照外延性的标准，像可能这样内涵性的概念根本不能被当作逻辑常项。因此，无论□ 还是□，塔斯基的模型论定义都无法分辨其是否有效。
埃彻门第认为塔斯基的定义只局限于使用外延性的模型，但他忽视了塔斯基的定义有两个核心特征：(1)强调逻辑后承的形式特征;(2)强调保真性，确切地说是保模型性。无论哪一个特征都适用于描述模态语言中的有效论证。塔斯基在定义中引入模型概念目的在于刻画这两个特征，他并没有将模型概念限定为外延的或内涵的。由于塔斯基考察的都是一阶语言中的论证，所以他作为例子给出的模型都是外延性的，它直接由论域和对象序列构成，即R=。当刻画命题语言中的论证时，模型RP的论域就是真值集合，而对象序列就是各个真值的有序排列;当刻画谓词语言中的论证时，模型RQ 的论域就是个体对象的集合，而对象序列就是对象的排列。模型概念同样可以扩展到内涵性的语言。Gmez-Torrente 指出：对这样一种语言，存在某种关于模型和关于在模型中为真的标准的克里普克式的定义，因而就可将模型论的逻辑真定义为在所有模型中为真。(Gmez-Torrente，2008，345)为了能够刻画必然概念，克里普克引入了可能世界和可及关系。于是，针对命题模态语言的模型被定义为三元组：RM=，其中W 是可能世界的集合，R哿WW 是可及关系，V 是赋值，它是从原子语句集合到(W)的一个函数。如果原子语句的顺序是p1，p2，，pn，，对于每个原子语句的赋值V(pi)就是一些可能世界的集合，令其为Wi哿W，那么模型RM 则可以被写为或者。这个标准的内涵性的模型除了比外延性的模型多了可及关系以及将论域理解为可能世界而非对象的集合之外，没有其他本质的区别，它们都是模型，外延性的模型也可以看作是R 为空关系的情形。借助可能世界的模型，命题模态语言中的逻辑后承以及逻辑真概念的定义则可以具体化为：命题模态语言的语句X 是由命题模态语言的语句集K 逻辑地得出的，当且仅当集合K 的每个标准的克里普克模型都是语句X 的标准的克里普克模型;命题模态语言的语句X 是逻辑地真的，当且仅当所有标准的克里普克模型都是X 的模型。信念逻辑、认知逻辑等都是模态逻辑的近亲，适用于它们的模型都可以借助对可能世界语义学的适当修改来刻画。这些刻画仅仅改变了模型的类型，而没有改变塔斯基对于逻辑后承的定义，即没有改变形式的和保模型的这两个特征。
四、概念分析的恰当性
通过对模型概念的讨论，我们能够发现，塔斯基的定义在外延的恰当性并没有面临什么严重的问题。但是埃彻门第对这种定义依然不满意，他认为即使上述塔斯基的定义在修正之后能够避免上述反例，修正后的说明依然遭受相同的概念性缺陷的困扰。它还是无法提供概念性的保障使得所有满足定义的论证实际上是有效的(Etchmendy，2008，273~274)。所谓的概念性的错误是指无法为论证的保真性提供概念性的保障。之所以无法做到，是因为塔斯基将逻辑后承关系(逻辑有效性)还原为了每个具体论证的后承关系(即具体的保真性)，即如果相关的论证类中的每个论证都是保真的，一个论证就是逻辑上有效的(Etchmendy，2008，265)。埃彻门第将塔斯基的定义称为对逻辑后承和逻辑真概念的还原性分析(reductive analysis)，并论证说这种概念分析缺乏恰当性。
概念分析的不恰当性体现为：(1)真正有效的论证其保真性得不到独立的保障(Etchmendy，1990，93)，没有对保真性的独立保障，逻辑后承将会是一种完全松散的关系(Etchmendy，2008，270)。如果一个论证的有效性在于它的前提和结论之间具有保真性，而这又取决于所有具有相同形式的具体论证都是保真的，那么这就等于说一个论证自己需要为自己的保真性提供保障。显然，这不是一个论证的有效性的真正的保障。(2)由于缺乏独立的保障，这种概念性分析将使模型论的逻辑后承概念无法满足人们的认知要求。也就是说，一个真正有效的论证，根据其前提的真实性，我们能够预见结论的真实性，而且我们寻求有效论证的目的往往正是为了达到对结论的真实性的认知。还原性论证使得我们实现目的前就要认识到结论的真实性。埃彻门第还进一步地分析说，还原性分析的错误体现为混淆了逻辑后承的外部特征和它们的内在原因(Etchmendy，2008，264)。具体有效的论证是逻辑后承关系的外部特征，它之所以是有效的，还是因为它的前提和结论之间具有逻辑后承关系，导致它们具有逻辑后承关系的因素才是真正的内在原因。
埃彻门第的批评基于一个错误的观念，即认为塔斯基的模型论定义是以真概念为基础的，它预设了一个语句在一个模型中或一个解释中为真(Etchmendy，1988，68;2008，265)。塔斯基实际上并没有将任何逻辑性质还原为关于真概念的良好理解(Etchmendy，2008，265)。埃彻门第产生这种误解很可能是受定义(F)的影响。在这个定义中，塔斯基的确将从语句集K 到语句X 的论证的逻辑有效性还原为K到X的保真性，但他已经因为非逻辑常项的不足问题而放弃了这种定义。就定义(S)或者(M)而言，真概念并没有在定义中发挥作用。塔斯基绕过了真，而直接诉诸满足①。从K 到X 的论证是不是逻辑有效的，取决于所有K 的模型是不是X 的模型，而这又取决于所有满足语句函数集合K* 的序列是否满足语句函数X*。严格来说，如果塔斯基的定义包含了某种概念性的还原，那么情况也刚好与埃彻门第的看法相反，具体论证的保真性被还原为它的保模型性，最终又被还原为相应的论证形式的保满足性。塔斯基的还原路径图示如下(令K 到X 的论证为KX， 为还原关系)：
KX 的逻辑有效性KX 的保真性KX 的保模型性K*X* 的保满足性
第一步还原是对通常的后承概念的直观。按照这种直观，塔斯基做了后面两步的还原。由于塔斯基的定义关注的是论证的逻辑形式，为了明确一个论证是否逻辑有效，不是要考察别的具体论证，而是要将具体的论证转变为论证形式。根据塔斯基的真之理论，只有语句才有意义因而才有真假，语句函数是没有真假的，这样一来就不可能存在埃彻门第所谓朝向具体论证的真实性的还原。埃彻门第认为塔斯基对逻辑后承以及逻辑真概念的还原性分析失败了，而事实是，塔斯基的定义其实根本没有采取埃彻门第所理解的那种还原。
五、结论
塔斯基对逻辑后承概念的定义奠定了模型论方法研究逻辑性质的基础。虽然埃彻门第对模型论定义的外延恰当性和概念分析的恰当性提出了质疑，但本文也证明了塔斯基的定义与标准的模型论定义没有本质的区别，它也考虑到论域的改变以及模型的不同类型，因此可以很好地处理过度和不及的问题。本文还证明了埃彻门第的批评乃是基于误解。塔斯基的定义并没有将逻辑后承概念还原为真概念而是将之还原为模型以及满足概念，因而即使该定义是对逻辑后承概念的分析性还原，它也并非埃彻门第所指责的那种还原。塔斯基的定义是对逻辑后承概念的恰当刻画。当然，还需要提醒的是，它的恰当性隐含一个预设，即人们关于通常的后承关系的直觉是，一个论证是有效的，当且仅当它是保真的。如果保真性的后承概念并非通常的后承关系的本质特征，或者说，人们关于逻辑后承一词的通常使用已经超出了保真性①，那么塔斯基的定义就不再是恰当的。这时大概只能说：塔斯基的通常概念虽不是某种普遍的、无所不包的后承概念，但它毕竟是清晰的，即是在公理理论中得到应用的概念(Jan，2006，3)。如果我们承认塔斯基对通常的后承关系的描述，那么塔斯基的定义就是逻辑后承概念的恰当刻画。
