摘 要：随着新课改的深化与新高考的推进，数学课程体系发生了重大变化，教师的“教”不断地减少，学生的“学”成为主角，以学定教的理念应运而生，学生自主学习便成了不二法门。从一堂作业讲评示范课探索“认识数学问题的本质、形成数学结论”的规律，期望它能成为学生自主学习的“路径典范”。结合W・克拉夫基的“范例教学论”，浅谈案例教学对学生自主学习的示范、引领作用。
关键词：自主学习；范例教学；新课改
随着新课改的深化与新高考的推进，数学课程体系发生了重大变化，导致校本课程建设、课堂教学、教学评价等诸多方面的变革。我们面前摆着一个严峻的问题：如何在有限的时间内提高学生学习效率？显然，教师的“教”不断地在减少，学生的“学”成了主角，以学定教的理念应运而生，学生自主学习便成了不二法门。然而，学生的自主学习总是伴随着“漫无目的、不知所措、放任自由、效率低下”。本文将从一堂作业讲评示范课探索“认识数学问题的本质、形成数学结论”的规律，期望它能成为学生自主学习的“路径典范”。
一、选材与情境
本节课选材于人教A版选修2-1第49页第8题：
（1）这组直线何时与椭圆相交？
（2）当它们与椭圆相交时，证明：这些直线被椭圆截得的线段中点在一条直线上。
从作业的批改中发现，学生的困惑主要集中在第2问，无法找出中点坐标的关系，部分学生运用了联立方程、韦达定理来找出中点坐标与弦端点坐标的关系。基于学情的了解，开始了本节课的教学。此类“以学定教”的课例，符合学生的认知规律，问题情境信手拈来。
二、思考与探索
学生分别用了两种方法，一种是联立方程后用韦达定理，另一种方法是点差法。先展示学生联立方程、韦达定理来找出中点坐标与弦端点坐标关系的计算，在师生互动中点评计算关键点，易错点与思维活动过程。展示学生运用点差法的计算过程，让学生体验此法的优点，概括出此法的特点并命名之。
思考1.众所周知，分析数学问题要从已知条件与待解问题的分析入手，再寻找两者之间的关系，同学们，本题已知什么条件，要证明什么结论？
设计目的：分析数学问题的已知条件与待解问题，是学生自主学习的起点。本环节的主要目的是引导学生分析问题的目标意识、问题的转化意识，从而提高学生分析问题能力。
思考2.该题已知弦的斜率，得出弦的中点在定直线上。能否翻转这个问题的条件与已知，即如果中点P坐标已知，弦所在直线唯一确定，我们是否可以研究一下两者内在的关系？如何研究？
引导学生制订一个可行的方案，基本思路分四步：已知中点P（1，1）；已知中点P（1，n），P（m，1）；已知中点P（m，n），求弦所在直线的方程。
设计目的：深层次的自主学习总是在“产生问题”之后，变更已知条件与待解问题，有时是探索问题本质的方法，在“玩转数学”中逐步产生问题，激发探索的意愿。从无参数到有参数，从易到难，学生经历了“探索―发现”的过程
设计目的：虽然不强求记住弦的方程，但是有很多学生在推导过程中不仅记住了它，而且领略了化简的基本原则，真真切切地感受到了数学美。
到此，学生充分肯定了自己的探索、发现与证明，提高了自我效能，对今后探索新问题有方向感、有启示。
三、反思与成长
做好、说好一个数学作业，不是我们唯一的目的。引导学生回顾“玩转数学问题”的过程，总结出一般的探究思维历程，可以让一次成功的体验成为下次成功的经验，不失为引导学生自主学习的经典范例。
在我的引导、点拨下，学生形成了他们自认为一般的探究问题的过程是：
解题→找限制条件→变化条件→产生新问题→解题，不断循环以上步骤，逐步揭示数学本质。
尽管这个探究问题的基本过程是宽泛的、臆断的、有不合理因素，但是它是学生第一次有意识地回顾自己解题思维的成果，基于学生的认知水平，这份成果值得老师肯定、表扬。因为，它将促进学生对自己思维的认识，开启认识自我的历程，数学问题的产生、分析、解决仅仅是学生认识自我的载体，真正体现了“数学是思维的体操”。
四、拓展与延伸
思考6.对比圆的中点弦问题，你发现了什么？
“如果你想知道圆与椭圆的相关结论与研究方法，可以参阅选修4-2《矩阵与变换》。”
设计目的：了解了椭圆与圆的内在联系，再引导学生阅读相关书籍，自习，对学生拓展视野大有裨益。
五、教后反思
我们并不缺乏题目的“量”，也许缺少的是一双欣赏数学的眼睛、几分迎难而上的热情与若干成功探索的案例。
在学习活动中能够对学习进展、学习方法作出自我监控、自我反馈和自我调节，在学习活动后能够对学习结果进行自我检查、自我总结、自我评价和自我补救，那么他的学习是自主的。本案例中思考2的环节是生生、师生充分讨论后制订出方案，自主研讨，是互动中的自主，在“反思与成长”环节，引导学生审视自己的思维过程，提炼出一般的过程，属元认知中的自主。本案例深层次地激发了学生学习数学的内驱力，是一个好的自主学习范例。
案例中，问题的产生自然、有层次，拾级而上，分析合理，适合学生的思维发展。分析过程体现的自主性、探究问题的深度与自主反思的深刻足以成为今后学生自主学习的“路径示范”。
“范例教学论”的重要代表人物之一W・克拉夫基认为：根据根本的、基础的、本质性的教学内容，使学生借助精选的素材，通过同“范例”的接触，以训练和培养他们的独立思考能力和判断能力，掌握科学知识的同时领会科学方法。的确，教学的成功在于学生通过课堂学习后能独立地依靠自己的力量迈开步伐。因此，一个精心设计的探究案例定能让学生明白如何思考、变换、研究数学问题，对学生今后的自主学习是一个启发。本范例中学生自然形成数学问题，自主设计思路，分析、研究策略与问题解决，突出了学生的主体性，提高了自我效能感。正所谓：一次成功将是另外一次成功的基石。
参考文献：
[2]顾明远，孟繁华.国际教育新理念[M].海南出版社，2001-10.
