一、协调性和足道性
协调性是逻辑学中重要的概念。我们可以从不同角度表述协调性这一概念的内涵:一个演绎系统是协调的，当且仅当没有两个矛盾的公式A和非A在该系统中都是可推导出的公式的一个集合X，如果有X作为它的公理系统是协调的，根据明显或不明显的假定可导出性规则，没有矛盾是由X可证的，那么该集合就是协调的。 说在语言L中的一个理论△是对于一个特定的证明演算是协调的，如果该演算没有给出由在△中的假设获得上的证明的话。而一个理论T是不协调的，如果T的每个公式都是T的一个定理的话，或者说对于某公式A，如果A和非A二者都是T的定理，那么T就是不协调的。
设S表示理论T的语言中全部语句所形成的集合，如果S中的语句都是T的定理，那么就称T为不足道的，否则T就是足道的。如果一种理论是足道的而且又是不协调的，那么就说该理论是弗协调的。不足道的不协调理论并无研究的必要，但是并非不足道的不协调理论就不一样了。并非不足道的不协调理论被称为弗协调理论，能用作弗协调理论的基础的逻辑就是弗协调逻辑。非形式地说，弗协调逻辑是这样的一个系统，它致力于某些矛盾理论逻辑基础的研究，在这样的系统中尽管存在着矛盾，但并不能证明所有一切是，而且它是足道的。简言之，弗协调逻辑是能够容纳矛盾但却不能从矛盾推出一切的逻辑理论。否则，一个逻辑系统就是扩散性的、没有意义的或者说是平庸的、平凡的。于是弗协调逻辑允许限制矛盾的作用，减少矛盾在一些场合的破坏力。
二、弗协调逻辑的缘起
弗协调逻辑这一名称是在1976年第三届拉丁美洲数理逻辑讨论会上由秘鲁哲学家奎萨达提出的。它的真正开创者是巴西逻辑学家科斯塔。现在弗协调逻辑领域的研究正蓬勃发展，它在哲学和方法论科学，在数学、语言学和计算机科学诸多领域找到了应用。
弗协调逻辑的出现是源于对矛盾律的质疑。众所周知，矛盾律又叫禁止矛盾律，尽管人们对它的解释有所不同，但都把它看作经典逻辑的重要规律，而传统逻辑把它跟排中律和同一律并称为人类思维的三大基本规律，有人甚至把无矛盾性跟逻辑性视为同一。矛盾律通常有两种表述形式:(1)对于所有x和所有属性P，不能x是P又x不是P; (2)对于所有命题A，不能同时断定A和非A。这跟亚里士多德最初的表述相一致，他提出的关于矛盾律的表述是:同样属性在同一情况下不能同时属于又不属于一个主体。许多作者倾向于在认识论或心理学方面解释亚氏的话，但我们从逻辑方面可以看出，亚氏的表述是从两个层次上，即对象语言层次和元语言层次上来陈述矛盾律，对矛盾律的质疑也来自两个方面。
但是，很早就有人怀疑矛盾律和协调性原则的普遍有效性。在上世纪初，人们开始讨论亚里士多德的三段论推理形式和矛盾律的关系。在1906年赫塞克写道:即使从逻辑中排除矛盾律，三段论也能保存。赫塞克依据亚里士多德的原文的研究得出这样的结论:亚里士多德本人曾表述过被后人称作三段论公理的原则，而同时也没有谈到肯定和否定的相容或不相容。赫塞克并没有进一步去寻找新的事实证据，而在1910-1912年间，卢卡西维茨和瓦西里耶夫各自独立地得出一个结论修正亚里士多德逻辑基本规律，导致构建非亚里士多德逻辑，而且他们都援引构建非欧几何的例子。瓦西里耶夫从逻辑的和无矛盾的两个概念的差别出发，得出这样的看法:判断和推理的规律一般是极小的逻辑。而如果判断和推理完整无缺，也就是说，判断规律和推理规则是完全自足的，不需要依赖矛盾律，矛盾律即丧失了自己的权利。瓦西里耶夫转向矛盾律表述形式，考查与判断x是p和x不是p一起的x是p和x不是p判断形式，并且认为，所有有意义的思想总是表达为判断。因此，矛盾的思想就形成特殊矛盾判断或带有肯定和否定的冷漠的判断。带有冷漠判断的推理被他称作全差别的和部分差别的，例如，非亚里士多德的模式:
所有M是P和不是P
所有x是M
所有x是P和不是P
拒绝具有形式(1)的作为部分的矛盾律时，他承认具有形式(2)的矛盾律，称它为真和假绝对差别律、不自相矛盾律。不难看出，矛盾律和真假绝对差别律或不自相矛盾律不是同一规律的两种表达形式，而是两种完全不同的规律。一个规律转向世界，转向客体，即不能在那里有矛盾，而他认为可以设想一个有矛盾的世界，在那里可以存在具有矛盾属性的客体。而另一条规则禁止内部矛盾，没有它任何逻辑都不可能，于是它允许运作于内部矛盾判断的思维规律。瓦西里耶夫的研究属于弗协调逻辑前史。
卢卡西维茨从研究亚里士多德三段论开始，他注意到三段论不依赖于矛盾律。于是，根据亚里士多德意见，矛盾原则至少在下述意义上不是最高规律:它为所有其他逻辑公理给出必要前提。由于三段论不依赖于矛盾律，所以，卢卡西维茨试图证明，矛盾律不是像上世纪初认为那样的基本规律。构造无矛盾律的逻辑问题，首先被卢卡西维茨的学生雅斯科夫斯基所解决。被称作司各脱律的规则在经典逻辑中成立，它表明:从一个论断和它的否定能得出任何论断。例如，如果司各脱在此并且不在此，那么你在罗马。从语义上说，在绝对矛盾的系统中，所有断定都是真理，直观地说就是矛盾蕴涵一切。雅斯科夫斯基把具有这样性质的系统称作超完备的，他精确地表述了矛盾的形式系统都应当满足的要求，即提出找到这样的命题演算的任务:(1)它适用于矛盾的系统不总是从其导出它们的超完备性，为此，司各脱律不应成立;(2)为确保所需的规则，如分离规则，它应当是足够丰富的;(3)它具有直观的可证明性。
雅斯科夫斯基把以构建雅斯科夫斯基逻辑为基础的非形式的思想称作议论的逻辑，这个思想就在于命题真理性的相对化，即对于讨论的参加者而相对化。雅斯科夫斯基著作《矛盾演绎系统的命题演算》于1948年用波兰文发表，到1969年才译成英文。完全独立于雅斯科夫斯基，科斯塔于1963年的博士论文《不协调形式系统》中构建了称作弗协调逻辑系统，真正的弗协调逻辑就此诞生了。
三、结语
弗协调逻辑是一种非经典逻辑，是现代逻辑中非经典逻辑方向的一个比较发达的分支，并具有广阔的应用前景。今天，弗协调逻辑在数学、人工智能领域和计算机方面的应用研究己经引起了学者们的广泛重视，在法律、政治、经济方面的应用也逐渐被人们所关注。
