利用导数解决函数的单调性和极值问题,经常需要进行分类讨论,所以导数与分类讨论结下了不解之缘,要想获得高分,必须占领这块“阵地”.我们在遇到含有参数的导数问题时往往得分率不高,主要原因就是不会分类讨论.
下面我们从一道简单例题的解答入手,看看遇到参数时应该如何进行分类讨论求解.
例 若函数[f(x)=x+2x+lnx],求函数[f(x)]的极值点.
解析 因为[f(x)=x+2x+lnx(x0)],
令[f(x)=0]得[x=-2](舍)或[x=1.]
列表如下:
[[x]\(0,1)\1\(1,+∞)\[f(x)]\―\0\+\[f(x)]\K\极小值\J\]
由上表知,[x=1]是函数[f(x)]的极小值点.
变式1 若函数[f(x)=x+ax+lnx],试讨论函数[f(x)]的极值存在情况.
令[f(x)=0],即[x2+x-a=0], [Δ=1+4a](注意这里方程根的个数需要讨论).
(1)当[Δ≤0],即[a≤-14]时,[f(x)≥0],[f(x)]在(0,+∞)上单调递增,无极值.
①若[a0],则[x20.]
列表如下:
[[x]\(0,[x2])\[x2]\([x2],+∞)\[f(x)]\―\0\+\[f(x)]\K\极小值\J\]
由上表知,[x=x2]时函数[f(x)]取到极小值,即[a0]函数[f(x)]存在极小值.
综上所述,当[a0]时,函数[f(x)]存在极值;当[a≤0]时,函数[f(x)]不存在极值.
变式2 若函数[f(x)=ax+2x+lnx],求函数[f(x)]的单调区间.
令[f(x)]=0,即[h(x)=ax2+x-2=0](注意这里方程的类型需要讨论).
①[x∈(0,2), h(x)0],即[f(x)0],所以[f(x)]在(0,2)上单调递减.
②[x∈(2,+∞), h(x)0],即[f(x)0],所以[f(x)]在(2,+∞)上单调递增.
①若[Δ≤0],即[a≤-18]时,在[(0,+∞)]上[h(x)0],即[f(x)0],所以[f(x)]在(0,+∞)上单调递减.
②若[Δ0],即[-180]时,令[h(x)=0]得,
列表如下:
列表如下:
[[x]\(0,[x2])\[x2]\([x2],+∞)\[f(x)]\―\0\+\[f(x)]\K\极小值\J\]
设[p(x)=ax2-(a+1)x+1],(注意这里方程的类型需要讨论)
(1)当[a=0]时,作出[p(x)=-x+1]的图象可知,
[x∈(0,1), p(x)0,]即[f(x)0],所以[f(x)]在(0,1)上单调递增.
[x∈(1,+∞), p(x)0],即[f(x)0],所以[f(x)]在(1,+∞)上单调递减.
(2)当[a0]时,解[p(x)=0]得,[x=1]或[x=1a.]
因为[a0],作出[p(x)=ax2-(a+1)x+1]的图象可知,
[x∈(0,1), p(x)0],即[f(x)0],所以[f(x)]在(0,1)上单调递增.
[x∈(1,+∞), p(x)0],即[f(x)0],所以[f(x)]在(1,+∞)上单调递减.
所以[f(x)]在[2,3]上单调递减,
所以[fmin(x)=f(3)=3a-13-(a+1)ln3].
(3)当[a0]时,(注意这里两根与定义域需要讨论)
[x∈(2,1a)],[p(x)0],即[f(x)0],所以[f(x)]递减.
[x∈(1a,3)],[p(x)0],即[f(x)0],所以[f(x)]递增.
所以[fmin(x)=f(1a)=1-a+(a+1)lna.]
所以[f(x)]递减,所以[fmin(x)=f(3)=3a-13-(a+1)ln3.]
小结 在利用导数求函数极值、最值及单调区间等问题时,若函数中含有参数,我们需对参数进行讨论.
①若导函数的二次项系数为参数,需对二次项系数为正、负、零进行分类讨论;
②若需考虑判别式Δ,需对Δ0,Δ=0,Δ0进行分类讨论;
③在求最值或单调区间时,由[f(x)=0]解出的根, 需与给定区间内的两个根比较大小进行分类讨论.
分类讨论的思想方法就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出第一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的解答,其实质是“化整为零,各个击破,再积零为整”.在分类讨论时,要注意:①分类对象确定,标准统一;②不重复,不遗漏;③分层次,不越级讨论.