摘要:数学问题是指不能用现成的数学经验和方法解决的一种情景状态。这里所指的“问题”不是指那些与课本例题同类型的常规习题,而是指那些非常规性的或者条件不充分、结论不确定的开放性、探究性问题。这些问题不能直接套用现成公式获得解决,而要调动所学知识系统,运用一定的思维策略,通过一定的思维过程逐步指向问题目标,使问题在探究中获解。
关键词:缕析问题;求解方案;问题解答;解题过程
数学问题的解决是一个复杂而连续的心理活动过程,其一般思维过程是:缕析问题信息→确定求解方案→实施问题解答→反思解题过程,下面以实例加以分析。
一、缕析问题信息
1.理清数学问题信息。数学问题作为一种有待加工的信息系统,它主要由条件信息、目标信息和运算信息三部分构成。理解和感知数学问题中的信息元素是解决问题的第一步。这一步主要是要求实施者明确问题所提供的条件信息和目标信息。
对数学问题基本信息的感知要做到全面而完整,特别是对那些综合性强、关系复杂的问题,要注意发现问题中的隐性信息,充分挖掘有用的信息,这对问题解决的顺利实施具有重要的意义。例如,在问题“大数和小数的差是80.1,小数的小数点向右移一位,刚好与大数相等。大数和小数各是多少”中,大数和小数之间的倍数关系这一重要条件信息没给出,而隐藏在“小数点向右移”一句话中,需要学生自己去发现。
二、确定求解方案
在第一步理解分析条件信息、目标信息的前提下,在头脑中已初步形成了数学问题的初始状态,及要解决的问题的目标状态。这时,解决者的思维就要进一步深入,提炼数学问题中存在的显性的或隐性的有用信息,链接各信息间的运算信息,选择解题方法,制定合理的求解计划,这是实现问题解决的最关键一步。这一过程由一组复杂的心理活动组成,一般要连续完成以下几方面的任务。
1.类化问题信息。一切数学问题的解决过程总是将未知的新问题不断地转化成已知的问题的过程,这是解决数学问题的基本策略。在这一环节就是把数学问题中呈现的主要信息同解决者原有认知结构中的相关知识和方法连接起来,并以这些已认知的知识和方法作为解决新问题的依据和基础,重新组合演化成解决新问题所需的新策略。
2.寻找解题起点。解决问题的切入点往往有所不同,具有因人而异的相对灵活性。如在解决例1时,学生一般都会想到从求科技书入手,求出前后科技书本数之差即可;另外,学生想到问题中隐含着文艺书的本数是一个稳定的不变量,只要抓住文艺书这一拐棍,求出前后总本数的差,此问题就能顺利获解。这一思路的解题起点就要从求出原来文艺书有多少本开始。如果学生只能顺着已知信息的思路,顺向思维来解决问题,这时学生的思维起点就会想到设出未知数,用方程解。具体从什么地方入手去解决问题,要根据不同数学问题的性状和学生擅长的思维习惯及个体思维能力而定,不能定式地一概而论。
3.确定解题步骤。确定解题步骤是指学生在头脑里整理出解决问题的详细操作程序,即确定先求什么,再求什么,最后求什么,这里只要求学生能在头脑中初拟即可,无需写出书面的解题计划。这一环节,放在整个解决问题的思维过程中来审视,主要是完成如何确定解题思维发展脉络的问题,在前面已确定的解题起点的基础上,进一步理清完善整个解题思维沿着什么方向进展下去,以保证解题时思维能朝着数学问题目标信息的方向顺利进行,而不至于偏离思维的主航道,影响目标信息的最后获解。
三、实施问题解答
实施问题解答就是将前面制定的解题计划付诸实施,使问题达到目标状态。这里提倡学生能用不同的方法来解决问题,数学新课标中提及:“学生要能探索出解决问题的有效办法,并试图寻找其他方法。”所以,这一环节学生承接第二步骤的思考,运用已类化的策略,从某一思维起点出发,按照既定的解题思路,对数学问题实施有序地推导、运算,直到得出正确的问题目标结果为止。
这一步既是一个执行解题计划的过程,同时也是一个检验和修正解题计划的过程。解题时若发现前面制定的求解方案和解题思路不当或不简便,在实施解答的过程中要及时加以修正,尽量靠近合理的路子,以减少解题过程的失误,使问题能较顺利地达成目标状态。
四、反思解题过程
数学问题获得求解,并不代表整个解题过程的终结,还需对上述整个解决问题的过程作明晰的反思,看解题过程是否合理、简便,结果是否正确。更要从解决问题的策略方面来整理思路、提升认识,让合理、有效的解题策略丰富自身解决问题的策略库。这一环节,可做好下面两方面内容。
1.检验求解结果。将数学问题的求解结果返回到实际问题中去进行检验,看它是否与实际问题情形相吻合,从而更加确定求解结果的准确性。
2.评价解题策略。《数学新课标》提出:“学生要具有回顾与分析解决问题过程的意识。”所以在问题解决以后,还要主动对求解过程进行反思,特别是对问题解决过程中的思维策略进行评价,分析甑别多种策略中较为合理的方法,提炼解决同类问题常用的一般策略。如果解决过的问题是一个具体问题(如例1),就可引导学生通过归纳、类比和演化,得到普遍的思维方式,形成解决问题的新策略,以期成为解决其它数学问题的又一源动力。
解决问题的过程,是从条件信息应用一定的运算信息寻求目标信息的过程,由于问题解决中的问题是学习者从未遇到过的新问题,在学生看来,数学信息间的内在联系是错综复杂的,所以必须依据一定的思维路径,有序地探寻新的问题解决的方法与途径,至少要对已知的解题方法、途径重新组合,即要寻求合适的新策略。问题一旦得到解决,学生又可以通过问题解决的过程学到新的解决问题的策略,这些新的策略又成为解决其它新问题的已知策略,在这一解决问题的过程中,学生的潜能无形中得到了充分发挥。
