【摘要】教材编写和课堂教学的开放性要求，促进了开放性教学内容的出现与“无边界学习”理念的产生，数学教师应注意提高自身的数学教学内容知识，这是教师专业发展的必然要求，也是开放性教学内容创新设计的前提。
【关键词】开放性教学内容；无边界学习；MPCK
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】1005-6009（2015）13-0023-03
【作者简介】严兵，江苏省句容市实验小学（江苏句容，212400）教科室主任，一级教师。
一、关键词的厘清
1.开放性教学内容。
教材是组织教学的重要资源，但国外很多教师根本不用教材，而是根据本班的具体情况确定教学内容。这里的开放性教学内容是指教材中没有或特别精简且具有很强开放性的教学内容，教师需要根据学生实际，对这些内容进行加工、创造，以实现《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出的“适应学生个性发展的需要，使得：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的课程基本理念。此时，“无边界学习”理念应运而生。
2.无边界学习。
“无边界学习”是试图突破既有数学教学格局的“穿越森林之旅”。它通过柔化学生难以自主建构的开放性教学内容的边界，消解知识中心的教学壁垒，打通文本、经验、情感、生活之间的联系，使学生的学习不再为知识所束缚，不再为边界所局限，不再为操练所驱使，而真正成为一种主客交融、联系纵横的综合性、整体性学习，成为一种具有深沉精神体验的自由、幸福的生活，使学生的数学学习境遇得到质的改善。“无边界学习”倡导生活与经验、游戏与学习、预设与生成的无边界，倡导师生关系、课程资源、学科以及目标评价的无边界，总之，它倡导教师对教学内容进行创新设计。
3.MPCK。
美国斯坦福大学教授、著名教育家舒尔曼最早提出了教师专业知识结构理论，其核心是学科教学内容知识（PCK）。香港中文大学黄毅英教授把数学教师从事专业教学所应具备的核心知识称为数学教学内容知识（MPCK），MPCK由数学学科知识（MK）、一般教学法知识（PK）、关于学生的知识（CK）和关于教育技术的知识（TK）融合而成，其本质是教师如何将数学知识的学术形态转化为教育形态，以促进学生的数学理解，它对数学教师的专业发展意义重大，数学教师对MPCK的掌握情况可以作为衡量他们教学水平的重要标准。“无边界学习”中对开放性教学内容的创新设计正是苏派名师MPCK水平高的表现，如王俊老师的《平面图形周长与面积的关系》、张齐华老师的《圆的认识》、华应龙老师的《你会用计算器吗？》《中括号》《审题》等。我在近几年的教学实践中也开发了《神奇的黄金比》《积的末尾有几个零？》《展开图》《分数的意义》等十多个开放性教学课例。这些设计打开了儿童“无边界学习”的大门，为学生的自主发展和终身学习奠定了坚实的基础。
二、“奇趣数学”：“无边界学习”的实践与反思
我认为，开放性教学内容的教学设计，既要无限接近学生的现有发展水平，又要为学生的长远发展奠定基础，以真正实现学生的“无边界学习”。数学内容本身和学习活动散发出的“奇”“趣”对学生非常重要。从尊重学生的年龄特征和开放性教学内容的特点出发，以“无边界学习”理念为指引，我提出了“奇趣数学”的教学主张。“奇趣数学”将读懂学生作为解读教材、设计教学的密码，这里的“奇”是指开放性教学内容的“神奇”“奇妙”“奇怪”“奇异”“奇特”“奇思妙想”；“趣”是指“无边界学习”过程中的“兴趣”“趣味”“乐趣”“情趣”“童趣”“妙趣横生”。“奇趣数学”尊重编者的意图，力求创新，设计的数学情境和问题令学生耳目一新，使学生专注于材料和学习本身，以培养学生善听、善思、善问、善辩、善练的善学品质。
苏教版六上“你知道吗？――黄金比”的内容，教师一般都从简处理，我却被其中蕴藏着的生动的数学内涵所吸引，直觉告诉我，这一内容的开发对学生而言意义非凡，现将教学过程简录如下：
（一）引入课题：《神奇的黄金比》
让学生说说对黄金比的认识并提出质疑。引出黄金比的比值是无限不循环小数，通过找与之接近的小数、分数培养学生的数感。
（二）活动一：研究线段上的黄金分割点
1.学生凭直觉找东方明珠上黄金分割点的位置。利用维纳斯雕像揭示黄金分割的概念。
2.在1分米长的线段上估计黄金分割点的位置，引导学生通过直觉判断、估算与推理发现比值相等的两个比，培养学生的几何直观能力。
3.通过延长线段变中点为黄金分割点，创造黄金分割，引出芭蕾舞演员踮脚动作和妈妈穿高跟鞋的例子，让学生体验黄金分割点的神奇。
（三）活动二：研究黄金矩形
1.模拟心理学家选一个最匀称矩形的实验。
2.自主探究：知道一条边长94mm，创造一个黄金矩形。出示学生创造的两种黄金矩形及与之相对应的名片和明信片的样子。使学生经历发现、创造黄金矩形的过程，体验黄金矩形的神奇。
（四）活动三：研究斐波那契数列中的黄金比
组织学生进行填表（如表1）比赛，第一列要求学生先任意填两个数，第三个数是前两个数之和，以此类推。许多学生小组讨论后决定从最简单的1、1或者1、2开始填表，在比赛中完成了对斐波那契数列的创造，理解了简单就是美。通过动态演示、数形结合，学生感受到了相邻两数的比值逼近黄金比的过程，体验到了极限思想和数列的神奇。
（五）质疑解惑，课外延伸
1.学生继续质疑。讲述“毕达哥拉斯研究打铁声音得到黄金比”的故事，鼓励学生从生活小事中发现数学的奥秘。让学生针对“折扇”提出自己的问题或猜想，了解黄金比中蕴含的数学文化价值，培养学生的问题意识和创新精神。
2.感受大自然才是真正的“大师”。动画演示微观和宏观世界中自然创造出来的黄金比，如动物的体形、花瓣数、向上生长的植物叶子的排列角度等，让学生体验大自然的神奇。 “无边界学习”倡导在课堂上给学生种下快乐――收获阳光的温暖，种下好奇――收获探索的勇气，种下慧根――收获改变世界的创造力。这节课，结合学生的年龄特点，挖掘黄金比的深度与广度，甚至上升到了哲学的高度，有专家点评道：“师生共同呈现了一节神奇的数学课，学生从‘知道’黄金比到‘走近’黄金比，通过发现、感悟、尝试、创造等一系列活动，对黄金分割有了丰富多元的了解，更可贵的是，整节课引领学生探索开放性内容的深刻边界，使学生心中充满了数学的问题和好奇，让他们意犹未尽，给他们留下了无尽遐想。”
教学用书中强调：全学期大约有20%左右的教学时间留作机动，以便于教师创造性地安排教学。这个机动时间，大多数教师安排的是重复练习。从上述课例可以看出，教材呈现具有很强开放性的教学内容，是为了支持、鼓励教师创造性地开发课程资源和组织教学，引领学生进行“无边界学习”。在“无边界学习”的实践过程中，我还带学生读数学绘本、听数学故事、解数学趣题、做数学实验等，多家杂志对我带的“奇奇俱乐部”社团活动作了专题报道。我还特别重视上好开学第一课、试卷评讲课、“综合与实践”活动课、课外延伸课……在实践过程中，我真切地感受到，要实现“无边界学习”倡导的创新设计开放性教学内容，需要教师具备极高的MPCK水平。
三、MPCK：让苏派名师更好地引领儿童“会学”数学
教师有探索黄金比的意愿和策略，才能去引领儿童探究；教师具备浓厚的兴趣和自信，掌握相关知识和先进的教学理念，了解学生的需求和思考方法，知道如何调动学生探究的欲望，能利用网络收集素材并创设好学生自主学习的情境，才能帮助学生进行“无边界学习”，获得成功的体验。
1.MK：苏派名师，怎可缺少对数学的热爱？
MK包括数学观念、学科内容知识、数学思想方法以及数学史知识。
苏派名师都热爱数学，华应龙老师深度钻研前沿数学、蔡宏圣老师潜心研究数学史、张齐华老师热心关注数学文化……他们都对大量的开放性内容进行了教学设计，例如：华应龙老师《台湾长什么样？》一课设计的灵感就源于一本旅游攻略，整节课不断引领学生寻找文字中的数学信息，如此睿智非凡的创造力源于他对数学的热爱与积淀。课尾有一个环节：大家直观感觉到“台湾的海岸线比长方形的周长小”，但实际上并不是。很自然就引发了学生进一步思考与探究的愿望，随后出示雪花曲线等图形，拓展值得进一步研究的课题，这正是对“无边界学习”的最佳诠释。历史上就是通过追问“英国的海岸线有多长”引出了新的数学分支――分形几何学。华老师的课引起了我的思考：MK是影响教师专业发展水平的重要因素，教师精通数学并对MK充满兴趣，是学生进行“无边界学习”的前提。
2.PK：苏派名师，怎能没有独特的教学观？
PK包括教育观念、教育理论知识、课程知识及教学知识。
并非对学科本身有兴趣、有研究的教师都可以成为优秀教师。1953年秋，陈景润被分配到北京的一所中学，事实证明他不适合当老师。PK作为数学教师知识结构的核心，是区别数学教师与数学家或其他学科教师的重要特征，是数学教师专业成长的重要体现。某一特定的数学内容该如何进行表述、呈现和解释，以使学生更容易接受和理解，是苏派名师关注的重点。强震球老师《角的度量》一课的教学彻底打破了传统的教学思路，他根据建构主义的教学理论对课进行了创新设计――通过创设问题情境设置矛盾，不断激发学生学习的需求，引导学生深入思考、逐步探索，最终使学生实现了对量角工具的再创造，较好地把握了量角器的原理，是“无边界学习”的又一典范。
3.CK：苏派名师，怎能没有正确的儿童观？
CK包括学生发展的知识、学生学习的认知因素与非认知因素知识以及学习环境的知识。
“无边界学习”特别重视对学生的关注。魏洁老师十分注重研究学生，听课时喜欢坐在学生身边，观察并反思他们的思考过程。她自己教学时更关注每一位学生，课前注重调查学情；课中关注数学思想的渗透以及学生对数学知识本身的理解；课后及时收上作业纸，不断反思教学过程中存在的问题。她最大限度地关注每个学生，满足他们的学习需求，开启他们的智慧与潜能，这和“无边界学习”的追求是完全一致的。
4.TK：苏派名师，岂会缺乏过硬的教育技术？
TK包括传统教学媒体的知识以及有关现代教育技术的知识。
开放性教学内容的设计，需要教师具备借助网络收集、整合信息的能力，并能制作与教学思想相统一的课件或微课，营造现实又富有吸引力的学习环境，苏派名师往往都注重传统媒体与现代技术的综合运用，使技术为学生服务，以有效地激发学生的兴趣，同时演绎过程、启发思维。
综上所述，就开放性教学内容而言，并非教得越简单越直白越好，任何一个数学问题都可以用合适的方式传达给儿童。弥尔顿说：“儿童引导成人，如同晨光引导白昼。”教学过程是儿童和教师进行互动、生成的过程，在“无边界学习”理念的指导下，开放性教学内容的教学设计应把关注儿童的发展作为首要目标，以知识教学为载体，通过各种教具、学具和网络、多媒体等现代化的手段，创造有利于儿童的生动、活泼、自主的学习环境，促使儿童在主动探索的过程中全面发展。
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