【编者的话】亲爱的同学们,数学学习,你一定非常重视解题,希望提高自己的解题能力吧?是的,解题是数学学习的重要形式.那么,怎样学习解题呢?本刊特辟“举题说法”专栏,通过典型问题的分析与解决,让你经历解题的过程,与你分享解题的心得,共同提高解题的水平.愿本栏目成为你的好朋友.
从问题出发,要求AE・AF的最值,说明它是一个变量,谁在变?――AE是个确定的向量,AF声是变量.
AF声怎么变?在哪里变?――AF声的终点在变,在平行四边形内部变(包含边界).
如何去求它们的数量积?――求数量积要知道模长和夹角,AF的模长在变,它们的夹角也在变,AE的模长虽然确定,但目前也不易求得.
那还有什么方法求数量积?――建系用坐标表示.可行吗?可行,但要补个直角,还有终点F的坐标在平行四边形内部不好表示范围,有点复杂哦.
那怎么办?除了坐标法,我们还能想到什么,回头再来看题,题目中还有什么条件没用?――AB,AD的大小和夹角都知道,它们的数量积也易求.
这是一组不共线的已知向量,哦,一组基底,平面向量基本定理!
用AB,AD作为基底把AF,AE都表示出来,再根据数量积的运算律展开即可!
提个醒,设AF=x AB+yAD时,根据点F的不定性,x,y的范围限制要把握好.
参考答案:当x=1,y=1时取得最大值3.
3.如图3,已知△ABC中A(l,2),B(4,6),C(3,2),点D在∠BAC的平分线上,且|AD|=1,求AD的坐标.
要求AD的坐标,AD的大小知道,那只要再知道它的方向就能确定AD,所以只要找出一个与AD共线的向量即可,那就是角A的平分线.
角平分线是平面几何的知识,向量中怎么表示它?――到角的两边距离相等,可行吗?不好转化,不容易操作.
那么角平分线所在的向量与AB,AC有没有关系?――它可以用AB,AC表示.怎么表示呢?联想x AB +y AC表示的向量是以AB,AC为邻边的平行四边形的过点A的对角线所在的向量,对角线平分对角的平行四边形是菱形!