摘要 中国古代数学是一种算器型的算法体系，是一种技艺型的价值取向，中国古代数学在经历宋元时期的特定历史阶段之后走向明代实用的珠算是一种历史的必然。目前的研究评价多是暗用了西方古代数学的欧几里得模式的评价准则，因而过低地评价了珠算在中国古代数学中的历史地位。中国古代数学的研究评价应从中国文化系统的特定氛围出发，运用没有西方古代数学价值观念的评价准则，给予珠算客观的历史评判。
关键词 算器型算法，评价准则
Abstract There exist three kinds of problems on the comparative evaluation between the mathematics during the Song and Yuan Dynasties and the abacus in the Ming Dynasty.They are the tooling algorithm,the value of the concept of skill and the standards of evaluation for ancient Chinese mathematics.The use of the abacus may be regarded as a great contribution to world mathematics after the mathematics during the Song and Yuan Dynasties.
Key words tooling algorithm,standards of evaluation
在中国古代数学史的研究中，宋元数学的成就（主要指秦九韶、李冶、朱世杰、杨辉等人的数学成就）被誉为中国古代数学的顶峰，对宋元以降的明代珠算的评价颇低，人们不认为明代珠算是宋元时期之后中国古代数学的必然发展主流，珠算被认为无法与宋元数学相比。明代珠算一般被评价为“民用”数学或者“商用”数学。钱玉琮先生认为“中国古代传统数学到明代几乎失传”［（１）］。梁宗巨先生认为“朱世杰（１３０３年）之后，我国数学突然出现中断现象。从朱世杰到明程大位（１５９２年）的三个世纪，没有重要的创造……我国数学史家李俨描述这时期的情况时说：‘考试制度久已废止，民间算学大师又继起无人，是谓中算沉寂时期’，……１３１４年可以作为中断的分界线。”［（２）］梅荣照先生则进一步指出：“宋元数学在元中叶之后不仅是没有进一步发展，而且是逐步倒退，甚至倒退到几乎被人遗忘的程度。”［（３）］
笔者认为，在宋元时期出现发展并在明代得以全面应用的中国珠算，［（４）］作为中国传统算器的历史性创造以及它作为实践应用的历史地位并没有得到数学史界的充分认识。目前的评价没有把中国珠算与中国古代数学的发展规律联系起来，没有把中国珠算作为宋元数学成就之后的又一重大成就，明代珠算与宋元数学的比较评价实际上是中国古代数学史研究评价中一个很值得重视的理论问题。
在中国古代数学史的研究中，对宋元数学和明代珠算评价的反差，实际上已经带来了中西古代数学比较研究和评价方面的某些困难。客观地历史地评价明代珠算，涉及到我们如何认识和理解中国古代数学的算器型的算法体系、技艺型的价值取向和古代数学评价标准等问题。
１ 珠算与算器型算法体系
目前，许多中国数学史的学者都从中国文化与西方文化的差异中认识到，中西古代数学是两种不同风格、不同形式、不同构造体系的数学模式。许多中国学者都从中国古代数学发生发展及其流变的规律中指出中国古代数学区别于古希腊数学的特征，并且强调要在中西古代数学的差异之处体现中国古代数学的意义及其对人类数学的贡献。
在论证分析中国古代数学的特征时，许多学者指出了中国古代数学不象古希腊数学那样依逻辑运演和逻辑证明为主要形式，中国古代数学主要是以筹算的运演为主，算筹的运演规律构成了中国古代数学的基本特征。换句话说，使用算筹这样一种算器，并以其为基本运演形式是中国古代数学的基本特征。
李继闵先生认为：“形数结合，以算为主，使用算器，建立一套算法体系是中国传统数学的显著特色。”［（５）］吴文俊先生在论及中国古代数学紧紧依靠算器而形成的数学模式时强调指出：“我国的传统数学有它自己的体系与形式，有着它自身的发展途径与独到的思想体系，不能以西方数学的模式生搬硬套……从问题而不是从公理出发，以解决问题而不是以推理论证为主旨，这与西方之以欧几里得几何为代表的所谓演绎体系旨趣迥异，途径亦殊……在数学发展的历史长河中，数学机械化算法体系与数学公理化演绎体系曾多次反复互为消长，交替成为数学发展中的主流。”［（６）］
中国古代数学实际上是在筹算运演基础上构成的一种算法体系。在人类的文明史中，中华民族在二千多年的时间里长期依靠一种直观的、具有符号特征的、可操作运演的算器，表明了人类古代数学的一种有代表性倾向的算法特征，它与古希腊数学代表了人类古代数学的算法和演绎的两种发展趋势。［（７）］
筹算的算法体系有两种必然的发展方向，其一，是在筹算运演基础上继续创造和发展解决问题的筹算运演规律（这一点既需要实践问题的推动也需要运演经验的积累）。其二，是筹算运演工具在运演操作中被改进或被创新（这一点同西方逻辑运演形式的改变，即严格化、形式化、符号化的改变有相类似之处）。在人类的历史中，人类对任何应用工具都有不断改进和创新的特性。筹算排摆及其运演中带有的不方便、易变动等特征必然会随着筹算运演的发展而被人们不断地改进。在宋元时代得以发展到明代得到广泛应用的珠算，正是中国古代数学对算器本身进行改进创新的一个里程碑似的成就。
中国古代数学是运用算器以算法为中心而构成的数学模式，当算法形成一定构造性的规律时（如宋元数学的成果），人们对此给予高度的赞誉，而对算器发生根本性变革（从筹算运演到珠算运演）取得的成果却评价的如此平淡，这对正确认识中国古代数学以算器为运演工具的算法体系是有很大困难的。
从中国古代数学发展的规律上分析，筹算运演到珠算运演是中国算器发展的必然趋势，是以算器为运演形式的算法体系的一个重大进展。认为宋元数学之后中国传统数学发展中断了，明代珠算只是中国古代数学发展中断时的一种民用和商用数学，那么这至少表明中国古代数学的重要特征及其发展规律没有得到理论评判的重视。
２ 珠算与技艺应用的数学价值取向
在数学的发展中，人类数学在其原始状态都具有神秘性和数量性的双重文化意义上的解释功能（或者可以称之为一种双重的文化特征），这一种现象无论是在对现有原始部落的考察中［（８）］，还是在人类数学历史的发展流变中都可以发现。在中国古文化中，以蓍草形式为代表的筮占活动实际上就兼具神秘和数量的双重解释功能。《左传·僖公十五年》写道：“龟象也。筮数也。”在中国文化中，我们很容易发现以竹棍摆排来表现数量意义的筹算与神事活动的一些共同起源。［（９）］在古希腊的文化中，数学的神秘解释功能被毕达哥拉斯以“万物皆教”的形式用来表现世间万物。
原始数学的神秘性和数量性的双重功能，在不同的民族文化中形成了不同的数学发展流变的模式。在中国文化中，始于竹棍（蓍草）而起的神秘功能和数量功能，逐渐分化为两个彼此相异的操作运演体系。一种体系是经孔子推崇而盛行的《周易》蓍草占卜运演体系（即从原始的神秘形式演化为一种具有一定理性思辨色彩的中国文化的理性解释系统）。另一种体系就是“算数事物”的应用体系——筹算体系。古希腊的数学发展与中国不同，原始的数学神秘功能与数量功能一直没有分化，反而在毕达哥拉斯之后，经柏拉图的唯心主义哲学的努力，使数学的神秘功能具有了哲学理性的色彩。古希腊数学神秘性功能与数量性功能的结合一致的共同发展，使欧洲中世纪的数学具有了基督教神学的宗教特征。罗素指出：“与启示的宗教相对立的理性主义的宗教，自从毕达哥拉斯之后，尤其是从柏拉图之后，一直是完全被数学和数学方法所支配着的。数学与神学的结合开始于毕达哥拉斯，它代表了希腊的、中世纪的以及直迄康德为止的近代宗教哲学的特征。”［（１０）］
从中西古代数学的文化功能上比较，人们可以发现，西方文化赋予数学的是一种超越实用的宗教和哲学理性意义的价值取向。中国文化赋予筹算体系的是一种技艺应用的价值取向（中国文化中具有理性思辩功能的解释形式是《周易》的八卦体系）。［（１１）］
筹算的技艺型价值取向其实早在《九章算术》时就明确地表现出来了，中国古代数学家刘徽注释《九章算术》时开篇就写道“昔在包牺氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情，作九九之术以合六爻之变。”刘徽对筹算的理解与筹算在中国文化中的地位完全一致。在中国文化中，对“神明之德”“万物之情”给出形而上意义解释只可以由周易的八卦形式来完成。历史的演变使八卦的竹棍排演从器物层次上升为民族文化中的理性层次。同时也就在这个历史演变中，筹算从蓍草的排演中完全分化出来，成为器物层中一种只有数量操作运演的形而下意义的技艺。中国筹算与古希腊数学的根本差异在于它脱离了神秘性，当然筹算也就不能再具有表述“神明之德”“万物之情”的形式上意义的宗教或哲学的理性色彩。正如刘徽所看到的那样，此时的筹算只是八卦的形而上意义指导下的“九九之术”并且以“合六爻之变”来表现自己的技艺应用之“术”。中国原始竹棍排演变化中的神秘性（八卦）和数量性（筹算）的分离，最终导致了筹算在中国文化中只向技艺方向发展的价值取向。中国筹算的这种技艺之术的价值取向，在宋代沈括的《梦溪笔谈》中表现的极为鲜明。沈括把自己在数学上创造的隙积术和会圆术放在卷十八的技艺篇中，并把它与造弓有术、中医灸艾、散笔作书、僧医奉真等内容并列在一起。
中国文化赋予筹算的技艺型的价值取向使筹算无法与儒家的“修身、齐家、治国、平天下”的人生价值追求相一致，中国封建文人只能学经史以求闻达而实现自我的人生价值，只能“志道据德而游于艺”，对于处于技艺地位的数学只可兼明，不可以为人生之目标。中国传统的价值观念以及筹算的技艺型价值取向，就决定了中国古代数学的发展和构造模式，于是有秦汉之后的《九章算术》和盛唐时期《算经十书》的教学与传播。然而，宋元数学成就的取得却与中国传统儒家价值观念和筹算的价值取向发展相背离。
宋代的秦九韶由于战乱而仕途不畅，进而研究数学。他在《数书九章序》中认为数学“大则可以通神明，顺性命，小则可以经世务，类万物，……数与道非二本也”。李冶作为金朝亡国之吏转而从事数学研究，他在《测圆海镜细草》的序中认为数学“施之人事，则最为切务”，“苟能推自然之理，以明自然之数，则虽远而乾端坤倪，幽而神情鬼状，未有不合者矣。”宋元时期另二位著名数学家朱世杰、杨辉也是仕途上未得到发展之人。
作为宋元数学家的群体（除沈括外），我们可以发现这样两个特征，其一，这些数学家都在理性的意义上而不仅仅在技艺的层次上研究数学。其二，这些仕途没得发展的文人几乎都试图以数来实现他们的人生价值（至少是部分的价值）。
李约瑟先生论及宋元数学时指出“宋代最伟大的数学家（除沈括外）大多数是流浪的平民和小官吏，……事实上，似乎可以指出，女真人的金朝和蒙古人的元朝帝国摆脱了官僚政治的约束，加上汉族学者当时在仕途中遭受种种障碍，这些都是促使这个时期中国数学达到高潮的主要解放因素。”［（１２）］
梅荣照先生在论及宋元数学的独特发生发展的规律时，也特别指出了它与中国古代数学一般发生发展规律的差异，“在战争时期，在改朝换代的过程中，或是在统治阶级堵绝了这些儒士们的仕途，或是这些儒士们不愿为异族的统治者服务，出现了弃经史从数学的局面，宋元时期就是这样，……这种从事数学研究的兴旺局面，是封建社会的和平时期甚至是唐初提倡数学并把数学列为科举考试科目的年代无法与之相比的。当然，这不是一般规律，而是由中国封建社会所特有的性质决定的。”［（１３）］可以认为，战乱及朝代更替、失落的仕大夫群体、传统文化价值观念的紊乱和非技艺取向的理性追求等诸因素在特定历史时期的结合，才形成了宋元数学的奇异性发展。
宋元之后的明代，社会稳定、文人仕途有望、儒家传统价值观念归复和筹算的技艺型发展，使宋元数学失去了人才的来源、失去理性构造的价值追求、失去了在文人中保留和传播的意义。可以说，失去特定文化氛围的宋元数学被历史遗忘是中国文化之必然。［（１４）］
在明代，作为中国文化传统价值观念的归复和数学价值取向的归复，使在宋元时期就出现的珠算按照技艺的价值取向得到迅速发展，并取代筹算成为中国古代数学的主流。珠算的出现及发展，应当看作是中国古代数学发展的必然趋势，应当看作是筹算技艺型价值取向的必然结果，应当看作是中国古代数学经过宋元特定时期奇异发展之后的历史回归。
如果说宋元数学的成就以及它的被遗忘是一种中国传统价值体系变动的必然结果，那么技艺型价值取向的筹算在经宋、元之后走向珠算则是中国古代数学的必然的历史走向。珠算的这种成果应当是也必然是中国筹算至古以来的重大发展。从中国古代数学价值取向的意义上分析，过高地评价宋元数学而又过低地评价明代珠算，实在是悖离了中国传统数学价值观和筹算技艺型价值取向。
３ 珠算与数学评价准则
宋元数学和明代珠算评价的反差，向人们显示了这样的一个问题，即人们对表现实践应用问题的数学运演评价较低，那怕这种数学运演是算器本身重大创新也不例外。与此相反，人们对脱离实践问题的数学逻辑构造评价偏高，那怕这种构造在当时毫无实用意义也仍然如此。由此，我们应当思考的一个问题是，这种对中国古代数学的评价方式依据的是一种什么样的数学模式呢？更准确的提法是，人们在评判宋元数学和明代珠算的历史地位和数学成就时究竟依据的是一种什么样的数学评价理论体系呢？
仔细分析，可以发现不仅宋元数学和明代珠算的评价没有说明依据的评价准则，而且在中国古代数学史的许多比较评价中都没有论述其依据的理论评判准则。中国古代数学的评价实际上是运用前人的、习惯的、西方学者运用的那种价值准则。这种价值准则显然不是在对中国古代数学理性思辩的基础上形成的。这种潜在的、不自觉被人们确认的价值准则是西方数学在全世界推广而形成的。可以说，这是一种没有思辩过中国古代数学特征的西方数学价值评判准则。
应当承认，西方资本主义文明在全世界的扩展，实际上已经使西方的科学技术及其价值观念也无形中在全世界加以扩展，接受现代科技教育的人们会不自觉地接受了潜藏在科学技术之后的西方价值观念。作为现代西方数学的“一统天下”式的教学，会使人们不自觉地把西方数学的价值观作为衡量人类数学的价值尺度，西方古代数学演绎式逻辑构造的模式就会不知不觉地成为人们认识和比较其它民族古代数学的评价准则。
作为数学史的研究者，如果不自觉地被西方数学的价值观念所影响，并且不自觉地运用西方数学价值观来评价中国古代数学的成就，那就会必然带来对中国古代数学的某些误解或偏见。其实，就是具有西方数学价值观念的李约瑟先生，也对西方数学模式的价值观心有疑虑。在比较中西古代数学时，李约瑟先生明确表示：“科学史家现在已开始怀疑：希腊的科学和数学‘偏爱抽象、演绎和纯理论，而忽视具体、经验和应用’，这是不是一种进步。”［（１５）］
在人类文化史中，人们可以发现每一种文化系统都有一种特定的数学发展和构造模式。数学既是在某个文化系统中发生发展的必然产物，又是文化系统中一种文化的特定的表现形式。不同文化传统赋予数学不同的价值取向，给出数学构造模式的不同规范形式。数学的运演、表现形式、构造模式是一种文化系统的“特殊的结果”，“数学是一种文化体系”［（１６）］。从中西文化的差异中，我们可以深刻地体会到，西方数学的模式不会也不可能是人类数学的唯一模式，西方数学的价值标准也不应该实际上也不可能成为人类古代数学唯一的评价准则。其实我们完全可以象Ｎ·席文那样设问：“为什么评判非欧文明史总是以其是否领先或接近于欧洲早期科学或者近代科学的某些方面为试金石，为什么早期欧洲科学就无需检验呢？”［（１７）］
作为人类古代数学的比较，应从不同文化系统的数学模式中，提炼出人类古代数学的共有规律，并以此为价值尺度来客观地评价中西古代数学。笔者在比较评价《几何原本》和《九章算术》时曾试图选择五个因素（建构内容的抽象性、操作运演的转换性、概念及运演的相容性、确定意向的整体构造性、数学方法的整体规范性）作为古代数学代表著作的评价依据。［（１８）］事实上，由于中国古代数学史研究中对数学评判的价值理论体系的认识还缺乏自觉性，理解还存在模糊性，我们的一些中国古代数学的评价（关于《墨经》、关于逻辑体系、关于结构体系等）已经带来了一些理论上的混乱。［（１９）］
宋元数学和珠算的评价给人们这样一个启示：数学成就的评价是先有理论标准而后来评判史实，是一种价值准则或价值观念在先的比较研究。无论人们是否自觉地认识到，史实的比较评价都是在一定的理论框架下进行的。中国的一些数学史学者虽然感悟到了中西古代数学的差异，但是由于缺乏理论层次上对评价准则的思考，往往把自己的一些主观感悟作为一种评价标准表现出来。其结果，不仅不能让世人正确认识中国古代数学，而且还常常有民族情结之嫌。可以认为，按照中国古代数学的规律发展并且在明代发挥积极作用的珠算，应该在一种没有西方数学价值观念偏见的古代数学理论评价体系中得到公正的评判。当然这其中重要的一点是要认识西方数学价值观先入为主的影响，尤其要注意克服那些有影响的学者所持有的西方数学价值观所带来的影响。［（２０）］
４ 两点思考
宋元数学和珠算在评价问题上的差异，在两个方面给我们提出了进一步思考的问题。
其一，数学与文明进程的关系 从人类数学史的发展规律上分析，数学的大发展几乎都是与文明的大发展相同步。西方数学的理性构造，需要一个安静的社会环境使数学家沉思，中国的实用技艺数学也需要稳定的社会环境应用发展。这一点无论是从古希腊、文艺复兴、欧洲资本主义兴起，还是从中国的秦、汉、唐、宋、元、明，都可以得到佐证。现在，如果把宋元的战乱时期取得的数学成果，看作是中国古代数学的高峰，而把其后稳定环境大发展的珠算看作是数学发展中断时期的民用或商用的数学，这就不能不使人产生这样的结论，即中国古代文明与数学的发展不和谐、不同步，中国古代稳定社会状态、传统的价值系统并不能支持和推动数学的发展。显然，这样的结论是与人类文明进程中数学发展的规律不一致的。因此可以说，宋元数学和珠算的评价实际上已经涉及到了一种文化系统中数学作为一个子系统的一般发生发展规律的问题。
其二，数学史与数学哲学 数学史实的比较评价，实际上是依靠数学的理性思考——数学哲学的支持。然而，中国数学史的研究中恰恰缺乏有关数学哲学的理性思考。中国数学史中的评价往往处于两难之中，要么主观臆断随意评断，要么不自觉地暗用西方数学的价值尺度。中国古代数学的研究缺乏数学哲学的理论支持，有关古代数学的评价问题更是缺乏数学哲学意义上的理论思考。其实就是西方数学的价值观念也不断地随着西方数学哲学的改变而发生变化， 西方的数学观已经远远脱离古希腊时代。就是今天西方所奉行的唯理性主义的欧几里得式的数学价值观也在不断地受到冲击。［（２１）］由此给我们提出的一个问题是，中国数学史的研究应当改变与数学哲学相分离的局面，中国古代数学的比较评价应当接受数学哲学的理论指导。
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