HPM视角下《高等数学》课程的教学探索 在数学教学过程中，我们一直在思考到底如何激发学生学习数学的兴趣，还给学生一个真实美丽的数学，我觉得这本书中处处体现出的HPM视角为上述问题提供了一个有效的解决途径。
所谓HPM，是指数学史与数学教育之间的关系，它作为一个学术研究领域出现于1972年。这一年，在英国Exeter召开的第二届国际数学教育大会上，成立了数学史与数学教学关系国际研究小组（International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics，简称HPM），1976年开始隶属于国际数学教育委员会。自此，数学史与数学教育关系（通常我们也称之为HPM）成了数学教育的重要学术研究领域之一。[1]近年来，随着HPM研究的深入，越来越多的研究开始关注数学史在课堂教学中的实际应用，这也是第一线的广大数学教师比较关心的问题。目前在我国，华东师范大学数学系HPM研究团队在这一方面无疑走在了最前沿，但他们的研究工作更侧重于中小学的HPM问题，我希望从HPM视角出发，在大学数学教学领域做一些有益的探索。
一、我们需要明确为何要在《高等数学》这门课程中融入数学史
1.《高等数学》课程的绝大部分知识内容在19世纪以前就已经建立起来，因此它的历史文化内涵是极为丰富的。而我们的教材，往往比较重视知识的逻辑结构，很少呈现出知识的形成过程和文化背景，这使得学生在考试、考研的压力之下，虽然对《高等数学》非常重视，但学习兴趣低下，学习动机单一，学习过程比较痛苦。数学史的融入，可以让学生感受到数学丰富的文化内涵，改变学生对数学固有的偏见，提高对数学学习的兴趣。
2.《高等数学》课程是工科院校大一新生的必修课，同时它也是其他大学数学课程的基础，比如《概率论与数理统计》、《复变函数》、《积分变换》等课程都与它密切相关。如果我们在大一基础阶段将HPM的思想方法融入数学课堂教学，帮助学生树立起正确的数学观，多元的数学学习目标，让他们意识到数学史中蕴藏着丰富的文化养料，不但可以提升他们的文化修养，也可以解决自己在数学学习过程中的理解和认知障碍，必将对其今后的数学学习产生积极的影响，将有助于改善我们整个大学阶段数学教学的效果。
二、我们要着重考虑如何在《高等数学》中融入数学史
一方面要选择适合融入数学史的教学内容，另一方面要根据不同的内容，采取恰当合理的融入方法。《高等数学》课程的内容是比较多的，我们不可能也没有必要对所有的内容都考虑其背后所蕴含的数学史，毕竟我们的主要目的不是让学生学习数学史，而是让数学史服务于数学教学，因此我们要在教材内容中加以选择。我们选择的主要依据是：（1）有丰富历史背景的重要概念、定理；（2）学生在学习和理解上容易产生困难的重要知识点；（3）蕴含重要数学思想方法的内容。
针对不同的教学内容，我们应该采取怎样的方式融入数学史呢？对此，我们查阅了一些文献资料，发现华东师范大学HPM研究团队将国内外各种分类方法进行了整合，结合我国教学特点加以改进，得到了四种形式：附加式展示数学家的图片，讲述数学家的故事，介绍数学概念、数学术语、数学符号等的来源；复制式直接采用历史上的数学问题、问题解决方法或定理证明方法等；顺应式对历史上的数学问题进行改编或根据历史资料编制数学问题；重构式借鉴或重构知识的发生、发展历史，采用发生法进行教学。[2]
这些理论成果对教学实践具有很大的启发和指导作用。我们在讲微分中值定理一节课时，里面涉及到一个费马引理，三个中值定理（分别是罗尔、拉格朗日和柯西中值定理），它们在逻辑上一环套一环，但内容比较枯燥，所以以前上这堂课的时候，讲课的教师神采奕奕，听课的学生哈欠连天。在HPM的视角下重新准备这堂课时，我们搜集了相关的背景资料后，做了如下的设计：在讲每个引理、定理之前先讲一个这位数学家的小故事，要求短小精悍、有亮点，调动一下学生的积极性，活跃一下课堂气氛，然后教师扮演数学家，将定理的提出和证明想法向学生娓娓道来。通过这种方式，提高了学生学习的兴趣和效率，也加深了其对中值定理的理解。
在具体教学的过程中，我们感觉附加式和复制式属于提供直接的历史信息，虽然运用起来比较灵活方便，但是也要注意度的把握，过分使用反而会适得其反。顺应式和重构式难度要更大一些，需要授课教师对教学内容及其背后的数学史料有更深入的理解和把握，也需要花费更多的时间精力去设计教学过程。但是这些融入方式，往往针对的是学生学习过程中的重点和难点，使用得当，将会对学生的数学学习提供更大的支持和帮助。
首先，我们从现存于罗浮宫的一张约公元前1700年的美索不达米亚泥板上描述的一个问题要多久才能使年复利为20%的本金翻倍呢？[3]入手，解释一下复利的含义，就是本金获得的利息也会产生利息，因此叫做复合型利息，简称复利。这个问题中复利的周期为一年，若假设本金为1，则每年的本息之和依次是1.2，1.22，1.23，。将此题延伸，提出新问题：假设现在你有1元钱，年利率100%，也就是1，一年结束时你有多少钱？如果现在复利周期变成半年，每半年结一次利息，一年结束时你有多少钱？如果复利周期依次为一个季度、一月、一周、一天呢？结果有什么规律吗？在学生充分讨论后，教师和学生一起将上述问题用表列出，如下。
从上表中，学生可以发现年率一定，分期复利，复利周期越短，复利期数越多，本息和越高。但是这种增加是一种缓慢增加，而且随着期数越来越大，增加的速度越来越慢。如果期数无限增大下去，这个问题就是我们本节所要讨论的重要极限■1+■■。历史上，直到1683年，瑞士著名的数学家雅各布伯努利在研究连续复利时，才意识到这个问题应该归结为上述极限加以解决，但当时他只估计这个极限在2和3之间。后来欧拉利用无穷级数计算了这个极限小数点之后18位的近似值。之后欧拉还证明了这个极限是一个无理数，至于为什么用e来表示，目前还没有定论。
新的设计，将数学史经过加工融入教学内容中，学生们似乎真正经历了一次数学发现的过程，这不但提高了他们的学习兴趣，加强了对知识的理解，更使学生了解到数学家和他们一样也会犯错、也会困惑，今天书本上呈现出来的如此严谨的数学都是经过数学家们一次次不懈的努力才变得如此美丽。
在HPM视角下，我们的《高等数学》课程不再是一个抽象的、枯燥的、高冷的存在，它与我们丰富的数学史宝库有了千丝万缕的联系，变得生动、有趣、直观、有血有肉。这使得高等数学的教学在提高学生学习兴趣、提升教学质量的同时，更有了人文教育的价值。最后需要指出的是，数学的历史是一个巨大的宝藏，从事数学教育研究的人们总是可以从中汲取有益的文化养料，希望有更多的大学数学教师参与进来，做进一步的思考和实践。
