只见树木不见森林，细节多、思想少，不见学科本质，可以说是当今中学数学课堂普遍存在的弊端。有的中学把做题当成整个数学教学的重心，误导学生周旋于难题、偏题和怪题之间，严重影响了学生对数学的学习兴趣，并在一定程度上扼杀了学生创造性思维和创造性能力的发展。近年来，笔者尝试在中学数学课堂教学中体现数学的特点、讲述数学的文化及其与其他学科文化的相互联系和影响，进而渗透数学发现的方法论，以提高学生的学习热情，培养学生的数学能力和数学素养，收到了良好的效果。
一、在课堂教学中展现数学的应用特点
抽象性、精确性和应用的极端广泛性是数学学科有别于其他学科的三大特点。尤其数学应用的极端广泛性，最迫切、最应该为学生在课堂中认识到。在课堂中空泛地讲“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，日用之繁，数学无处不在”是不行的，这些是学生无法切身体验的。事实上，任何问题只要能用数学加以讨论和解决，就会程度不同地发生实质性的变化。我国在优化、控制与统筹，设计与制造，质量控制，预测与管理，信息处理，大型工程，资源开发与环境保护，农业经济和数学物理[1]等方面都贯穿了数学的应用思想。在课堂教学中，教师应结合课程目标和教学内容，适当地介绍数学的应用，培养学生用数学分析、解决实际问题的能力。
比如学生在课堂上学习错位相减法有很多很好的素材，但大多与纯数列相关，和实际应用结合得较少。学生普遍认为这个方法太繁琐，而且没有实际意义。事实上，这个方法是可以有一些实用性很强的例子的。
教学建议：在计算这道题时，学生很有可能回答总额为40 000×6=240 000（元），这便是没有考虑资金的时间价值。学生之所以会回答错误，是受了长期理想化的、与实际无关的应用题的训练“熏陶”。如有必要，这时可以向学生介绍“普通年金终值”的概念，即每期期末收入或支出等额款项的复利终值之和。在解题的时候，我们可以设S为普通年金终值，A为每期的收付款项，n为记息期数，则：
两边同时乘以1+i，得：
（2）-
（1），得：iS=A（1+i）n-A 从而S=
本题A=40 000，n=6，i=10%，
故S==308624（元）。
显然，这个结果与240 000元差别很大。我们这里使用的方法便是错位相减法。课堂中也有学生直接用等比数列求和公式计算的，这当然很好，但我们应该让学生明白，等比数列前n项和公式事实上就是由错位相减法演变而来，如果学生还能体会到其中的类比和化归思想那就更好了。
需要指出的是，得到本题的答案并不意味着这个案例的结束。本例的求解过程已经建立了一个模型，即普通年金终值的计算模型：S=。以后我们可以直接利用这个模型来进行计算。事实上，财务管理就是这么做的，财务管理里把叫做普通年金终值系数，并且就i和n的不同取值编制普通年金终值系数表，使用起来很方便。实际课堂教学中，将这些应用呈现给学生，引导学生思考数学应用的广泛性，对于学生的成长是大有裨益的。
二、在课堂教学中讲述数学文化及其与其他学科的相互关联
数学与哲学、数学与艺术、数学与自然科学等等都有密切联系[3]，它们之间互相影响、相互为用。中学数学课堂教学不能割断这些联系：牛顿之所以发明微积分，是他研究物理问题的需要；爱因斯坦的广义相对论是建立在黎曼几何的数学基础上，并且其论证方法为数学中的公理化方法；伽利略用数学符号表达物理概念，并认定宇宙之书是用数学语言写就的；孟德尔从概率论的角度在数量上研究豌豆，发现了遗传学定律；意大利数学家沃尔泰拉在一战后不久创立了生物动力学；数学家琼斯在扭结理论方面工作突出，并因之获菲尔兹奖，生物学家将这一理论成果应用到DNA分析上，对认识DNA结构产生了重大影响；数学家H.Hauptman仅用古典数学就解决了难倒现代化学家的晶体结构的谜，并因之获得诺贝尔化学奖；三角形的任意两边之和大于第三边，构成了美国三权分立的政权架构的基础；马尔萨斯断言人口以几何级数增长，而生活资料以算数级数增长，声称战争等灾难是有益的；统计学家凯特勒发现人类几乎所有精神和物理特征都呈正态分布；达・芬奇说欣赏他作品的人几乎都是数学家；诺贝尔经济学奖得主应用数学的程度与物理相当，数学方法在其研究中起着相当本质的作用……总之，数学作为一门基础学科，与其他学科有着广泛的联系，且相互为用。那么，如何在课堂教学中体现这种相互关联呢？
【例】如图1，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm处，求克服弹力做功。
教学建议：对于弹簧变力做功问题，学生已经记得公式W=kx2，这里要引导学生思考公式是怎么得到的。在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需要的力F与弹簧拉伸（或压缩）的长度x成正比，即F=kx，其中k是比例系数。下面，我们分析并解决这个问题。
Wi=kxi=k=k.
对n段功求和，得：
Wi=k=ki=k=kl2+kx2.
当分割足够细的时候，这个和就充分接近我们要求的克服弹力所做的功W，即
W=Wi=（kl2+kl2）=kl2. 这里的过程总结起来就是分割、近似代替、求和、取极限。利用这样的一个数学过程，变力做功的问题就得到了解决。如果学生已经学了一点简单的积分，那这里将会更精彩。
三、在课堂教学中凸显作为思维工具的数学
数学推导和演算是锻炼思维的智力操[4]，对提高学生思维水平，形成批判性思维、理性思维、创造性思维等有独到的作用。作为知识的数学，学生毕业后几乎用不上，会很快忘记；作为思维工具的数学却能伴随人的一生，它会影响人们的言行和思维方式等各个方面。抽象化、符号化、公理化、最优化和数学模型等，都是有数学特色的思维方式，这些思维方式将构成基本的数学能力，使人们更好地理解他们生活于其中的充满信息的世界。教师在课堂教学中既要注重知识的传授，更要注重对思维的训练，培养学生的创造性思维。
【例】一个和尚爬山，他早晨8点钟出发，中午时到达山顶，并在山顶上过了一夜。第二天早晨，他8点钟出发，按昨天上山时的路径下山，中午到达山脚。证明在8点和12点之间必有某一时刻，这个和尚在上下山途中到达同一地点。[5]
教学建议：题中并没有明确和尚是以怎样的速度行走的，比如，开始他可以以每小时8公里的速度行走，走累了便坐下休息一会，再继续上山；而且不要求和尚上下山的速度相同。
初次接触这样的问题，学生往往不知道该从哪里下手，甚至不相信题中的结论。在这种情况下，我们假设这个和尚可以以他自己喜欢的任意方式登山，当他第二天早晨开始下山的同一时刻，另一个和尚刚好从山下开始爬山，而其行走的过程同第一天第一个和尚上山的过程完全相同。因此，两个和尚必然在途中的某一个地点相遇，这一相遇的时间和地点就是我们要找的答案。这个解法最特别之处是引进了第二个和尚，这是最体现创造性思维的地方。经过这个分析以后，学生便毫不怀疑题中结论的正确性了。
值得注意的是，思想没有专利，数学就像一个思维宝库，任学生拿去并据为己有，教师的重要作用就是使得这个过程能够更加顺利地实现。
四、在课堂教学中渗透数学发现的方法论
近代方法论起源于培根和笛卡尔，培根提倡归纳法，笛卡尔提倡演绎法。事实上，数学学习最令人困惑也最引人入胜的环节之一，就是如何发现、怎样证明。数学的方法论主要研究数学发现和发明的原则，并由此领悟其他科学发现和发明的方法。数学上的发现，主要来源于一种冒风险的、有争议的和暂时的推理，即合情推理（或者猜想）。基本的逻辑训练必不可少，但不能过于偏向演绎论证的训练。当今的中学数学课堂，教师讲授证明过程过多，引导学生发现方法过少。前者固然重要，然而后者才是培养学生创造力的源泉。作为教师，我们既要教会学生证明，更要教会学生猜想，让学生在数学课堂上体验发现的乐趣，学习数学发现的方法，并鼓励学生将这些发现的方法用于生活实践，这必将使学生终身受益。
【例】两人坐在长方形桌旁，轮流往桌上平放一枚同样大小的硬币，条件是硬币一定要平放在桌面上，不能使后放的硬币压在先前的硬币上。这样继续下去，最后桌面上只剩下一个位置时谁放下最后一枚硬币就算谁赢，钱就都归谁。那么，是先放的人胜还是后放的胜？[6]
教学建议：波利亚在《数学与猜想》中用到了这个由来已久却值得深思的难题。如果这个桌子小到只能放下一枚硬币，那么第一个放的人必然胜。想到这个极其简单的特殊情形，剩下的问题就迎刃而解了。从这个特殊情形展开联想，我们把桌子放大，并注意到方桌是有对称中心的，这样一来，便可知先放硬币的人必胜了。
特殊化、一般化、归纳、类比等等都是合情猜想，是数学发现的方法论中的内容。在中学数学课堂中适当渗透数学发现的方法论，能激发学生的求知欲，帮助学生发现，更有益于学生的学习。
在倡导课程改革的今天，如何激发学生的数学学习兴趣，打造具有数学味的高效课堂，一直是课堂教学研究中的一个重要课题。在中学数学课堂中展现数学的特点、讲述数学与其他学科文化的相互联系、渗透数学发现的方法论，并根据教学实践不断反思、归纳、提升，应是一种有效的途径。
