数学教学的根本目的是抽象思维能力的培养。然而，根据发展心理学的研究，人类在不同年龄阶段，其占主导地位的思维模式和认知能力是十分不同的。初中阶段的青少年，与其他阶段的心理发展状况相比，有着其特殊的心智（心理与认知）结构。教育工作者在了解初中生心智结构的基础上，不但能顺利地开展数学教学，而且能通过适当的数学教学设计，促进初中生心智能力的成长和成熟。
一、教育与青少年心智能力之间的辩证关系
1.教育要适应青少年心理发展阶段及其认知特质
教育的成败，很大程度上取决于教育工作者是否尊重青少年心理发展阶段及其认知特质。在青少年不同的心理发展阶段，其心理发育特征和认知特质是不同的，教育工作者要对青少年的心理发展状况有一定的把握，把握的好坏直接决定着教育效果的好坏。实验证明，在青少年某种心理发展特征即将出现的前一段时间，引导和启发的效果最好。所以，这就对教育工作者的课堂教学内容与教学方法提出了一定的要求。教学内容和教学方法不但要符合青少年的心理发展特点和认知规律，而且要对他们的心智能力形成适度挑战，这样才可以更加有效地提高教育效果，促进青少年心智能力的发展。教育对于青少年的心智能力状况不仅仅是如何适应的问题，而且是如何积极地促进和引导的问题。
2.教育促进初中生心智发展的功能
向学生传授文化知识是教育工作者的一项非常重要的任务，但更重要的是要引导和促进他们心智能力的发展。苏联著名心理学家利维维果茨基的最近发展区理论，阐释了教育能够促进青少年心智发展的问题。最近发展区指的是一种人类心理发展的差异，即学生在成人的帮助下所达到的理解问题和解决问题的水平，同在没有成人帮助下相比较，存在着非常大的差异。这个差异实际上就是由教育带来的发展，被称为人为的发展。
所谓人为的发展，就是教育工作者的责任和价值所在，它证明了教师在学生的心智发展过程中起着关键性的作用。学生心智能力的发展不是一个自然而然的、不需要任何助力的过程，而教师的辅助能够对学生的已有心智能力提出一定的挑战，并引导他们积极寻找应对挑战的方式。这对于促进学生的心智能力迈向更高的台阶，具有极其重要的作用。
二、初中生所处的心理发展阶段及其认知特质
1.皮亚杰的心理发展阶段理论
著名心理学家皮亚杰（Jean Piaget）按照主体适应环境的方式，把青少年的心理发展划分为四个阶段：在感知运动阶段（0～2岁），儿童通过感知运动方式来认知外界，协调并适应外部环境；在前运算阶段（2～6岁、7岁），儿童开始具有表象思维的能力，并能够使用符号；在具体运算阶段（7～11岁、12岁）儿童能够获得稳定的概念，可以进行一定的逻辑运算，具有了可逆性思维；在形式运算阶段（11岁、12～14岁、15岁），青少年的思维能够摆脱具体内容，提出假设，借助演绎推理、归纳推理解决抽象问题，其智力活动达到抽象逻辑思维阶段。11岁、12～14岁、15岁，基本上就是初中生所处的年龄阶段。也就是说，初中生的思维能力和心智水平，基本上处在形式运算阶段（形式运思期阶段）。这个阶段的特点是，思维在脱离对具体事物感知的情况下，能够进行抽象的形式推理。当然，这种抽象能力还处于比较初级的阶段，即还处于经验型抽象思维阶段。经验型抽象思维是相对于理论型抽象思维而言的，是抽象思维中相对较低阶段的思维能力，它更多地依赖于形象思维的支撑。
2.初中生心理发展所处阶段及其认知特质
既然初中生基本处在形式运算阶段，那么这个阶段到底是一种什么情况呢？皮亚杰引用现代代数中的四变换群和格的逻辑结构，刻画了形式运算图式。所谓四变换群（INRC group），指的是一种整体结构形式，可以有四个基本变换：正面或肯定、反面或否定、相互、相关。每一个正面运算，从分类上必对应逆反运算。四变换群可以穷尽命题的各种关系。所谓格（lattice），就是在四个变换群的基础上，通过集合论（set theory）的并集（A并B）和交集（A或B）而组合起来的命题组合系统。对于11～15岁的青少年来说，虽然他们还没有意识到这些变换组合系统，但他们已经能够运用组合、包含、比例、排除等形式运算结构来解决所面临的逻辑课题了。
青少年（包括初中生和高中生）的思维能力发展非常快，他们的抽象思维逐步处于优势地位。当然，这里的优势，并不是说初中生只有抽象思维，而是说在思维的具体成分和抽象成分的统一关系中，抽象成分日益占主要地位，与此同时，随着抽象思维的发展，具体思维也会得到不断的充实和改造。但少年期（初中生）和青年初期（高中生）的思维还是有所区别的。在初中生的思维中，抽象逻辑思维虽然开始占据优势地位，但在很大的程度上尚处于经验型阶段，他们的抽象思维需要感性经验的支持。而高中生的抽象思维，则处于理论型阶段，他们已经能够运用抽象的理论来分析各种具体事实了，从而不断扩大自己的知识领域。
三、针对初中生心理发展阶段及其认知特质的初中数学教学
1.初中数学教学的双重任务
了解初中生的心理发展阶段与认知特质，对于初中数学教学具有重要意义。一方面，我们要尊重初中生的心理，在教材选择、课堂设计和授课方式等各个环节，都要做到有的放矢，追求教学效果的最大化。另一方面，我们有责任引导学生的心智能力朝着正确的、健康的方向发展。所以，初中数学的教学任务是双重的，不但要在尊重学生心智能力的基础上传授知识，而且要通过传授知识来引导学生心智能力的发展。
2.初中数学教学的具体实施
（1）通过适当引导，从形象思维上升到抽象思维
由于初中生的抽象思维还属于经验型的，即还是一种经验型抽象思维，尤其对于初一学生来说，在脱离具体实物的情况下，让他们去了解数学中抽象的概念、法则、公式、运算等，是有一定难度的。这时，教师就要充分尊重初中生抽象思维需要直接的感性经验支持这一特点，来有效地组织教学。这是初中数学教学的第一方面要求，即尊重学生心智能力现实的要求。
例如，在讲授数轴内容时，教师可以将温度计、标尺和秤杆等实物带到课堂。因为学生对这些实物是有感性经验的，在这些感性经验的基础上，教师就可以对数轴进行抽象，并总结出数轴的三个基本要素：第一，数轴必须有一个原点；第二，数轴必须有一个正方向，数轴上数量的增减方向是固定的；第三，数轴必须有一个统一的度量单位（单位长度）。然后，再给出完全抽象的数轴定义就顺理成章了，即规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。在这一过程中，学生通过对温度计、标尺和秤杆这些具体缩减物的感性认知，就能够较容易地掌握直线和数轴这类抽象的概念了。
（2）通过探究式学习，将抽象思维再运用到具体实物中去
在课堂上，通过从具体到抽象的教学过程，初中生初步获得了某种抽象思维能力。但这种能力还不十分稳定，或者说，它还没有真正成为初中生的一种自身能力。能力是能够在实践中运用，并改造现实的力量。就像大家常说的纸上得来终觉浅，这种抽象能力的巩固，需要教师引导学生去积极地进行探究式学习，用习得的抽象数学知识解决现实问题。只有经过这个从实践中来，到实践中去的过程，课堂习得的抽象知识才能真正转换为一种内在能力。这是初中数学教学的第二方面要求，即引导学生心智能健康发展的要求。
例如，教师可以这样引导学生理论联系实际，开展探究式学习：某超市打出了打折优惠的广告，购买西瓜、苹果有以下两种优惠方法：（1）买一送一（即买一个西瓜送一个苹果）；（2）打九折（即按购买总价的90%付款），但前提是要购买3个以上西瓜。这两种方法有区别吗？到底哪一种更便宜呢？
这仿佛是一道二选一的选择题，但教师的目的是让学生将现实生活问题与所学到的数学知识（函数关系）联系起来进行思考。假定每个西瓜30元，每个苹果5元，教师要求学生对这个问题进行讨论和分析：假定你要买4个西瓜，那么买几个苹果最合算呢？
解：当然苹果不少于4个。设买苹果x个付款y元，x3，且x为自然数。
用第一种方法付款：
y1=430+（x-4）5=5x+100；
用第二种方法付款：
y2=（304+5x）90%=4.5x+108；
比较y1与y2的大小：
设d=y1-y2=（5x+100）-（4.5x+108）=0.5x-8。
讨论：
①当d0时，0.5x-80，即x16；
②当d=0时，x=16；
③当d0时，x16。
所以，当买的苹果多于16个时，方法二省钱；正好买16个苹果时，两种方法所需付款钱数一样；当买的苹果为4～16个时，方法一省钱。
学生在理论联系实际的过程中，使得他们所习得的抽象思维能力在各种现实情况中得到了应用，这个应用过程的结束，就是他们抽象思维能力的真正养成。同时，在现实生活中运用抽象数学知识，也有利于他们养成透过事物表面现象来认识其实质的习惯。
