一、数学教师的语言
语言是人类特有的用以表达意思，交流思想的工具，也是人们进行思维的工具。
数学语言则是人们用以描述及表达数量关系和空间形式以及相互关系的特殊语言。数学语言包括口头的数学语言与书面的数学语言，而书面的数学语言又可以分成文字语言、图象语言和符号语言。就数学的口头语言与文字语言来讲应有文字简练、含意确切、逻辑严密等特点。数学教师准确使用数学语言进行教学是帮助学生牢固地掌握数学概念，提高计算能力、逻辑思维能力和建立准确、清晰的空间想象能力不可缺少的条件，当然也是使学生进一步学好数学和从事其他科学研究工作的必要条件。
在数学教学中，教师不仅自己要用准确、科学的数学语言进行教学：还应要求学生在正确理解数学语言的基础上，学会用准确、科学的数学语言回答各种数学问题。
（一）数学教师要在课堂教学中正确使用数学语言
数学语言是教师向学生传授数学知识的重要工具；也是学生学习数学知识的必要手段。因此，数学教师在课堂教学使用数学语言时，要注意以下三点。
1.正确使用数学语言，准确表述数学概念
苏联著名教育家克鲁普斯卡娅曾指出：“数学是许多概念组成的锁链。”数学概念是进行数学思维的细胞，进行数学判断的依据，进行数学推理的基础；因此，要求学生正确理解和牢固掌握数学概念是小学数学教学的首要任务。
根据小学生的思维特点，小学数学教材出现的概念主要通过直观演示，观察思考，然后由教师运用准确、科学、清晰的数学语言进行概括与表述，进而形成数学概念。因此，数学教师运用数学语言概括与表述数学概念时要准确、恰当、合理地使用每个“字”、“词”。因为每个字、词都有确切的含义，都直接影响学生对数学概念的理解和使用。
例如，当学生在学习“约数和倍数”概念时，对于这组概念正确的表述是：“如果数a能被数b整除，数a就叫数b的倍数；数b就叫数a的约数。”而有些教师不注意数学语言的科学性与准确性，竟把以上概念说成：“如果数a能被数b除尽，那么数a就叫倍数；数b就叫约数。”这是极端错误的，首先除尽与整除是两个具有不同内容的数学概念；其次约数、倍数是成组出现的，具有密切联系的概念。
数学概念，语言科学严谨，逻辑性强，概念中的每一个字、词既不能删减，又不能随意增加，也不能任意调换，而有些教师不明确这一点，在教学中犯科学性错误。
如“分数基本性质”是这样表述的：“分数的分子与分母同时乘以或除以相同的数（零除外），分数的大小不变。”在叙述时，这个“零除外”不能丢，丢掉了就犯了科学性错误。"
2.正确使用数学语言，明确算式的意义
数学中的算式都可以用数学语言表达。在数学教学中教师应正确使用这些数学专门用语，如四则运算中的名称、算式的具体意义、运算顺序的表达……，这是十分重要的。
例如，在学生学习“两步式题”中我们就可以训练学生用准确、科学数学语言读出下列算式：
（1）100-15×3读题：从100里减去3个15的积，差是多少？
（4）（98-33）÷5读题：98减去33的差再除以5的商是多少？
学生用准确、科学数学语言读出算式，不仅可以保证四则运算顺序的正确，而且能帮助学生在弄清数量关系的前提下，为正确解答文字叙述题打下坚实的基础。
3.正确使用数学语言，明确数量关系
使学生正确理解数量关系是正确解答应用题的基础；在数学教学中教师应引导学生通过对数学语言的理解掌握数量关系。
例如，在学生学完“简单应用题”后，我们可以紧扣以下基本应用题，概括出基本的数量关系式：
（1）一个练习本8分，买4个练习本用多少钱？
8×4=32（分）
单价×数量=总价
（2）拖拉机每小时耕地12亩，5小时耕地多少亩？
12×5=60（亩）
工效×工时=工作总量
（3）汽车每小时行60千米。7小时行多少千米？
60×7=420（千米）
速度×时间=路程
……
当然还可以运用“一乘带两除”的方法再得到6个新的数量关系式。这样，通过对具体应用题解答，用数学语言进行科学抽象概括，得到一般的数量关系式，为正确解答复合应用题打下坚实的基础。"
（二）数学教师要在课堂教学中正确使用三种数学语言，发展学生的思维能力
数学语言一般包括口头语言与书面语言；书面语言又可以分成文字语言、图画语言和符号语言。我们在数学教学中结合不同的教学内容，充分发挥三种语言的功能，提高学生的思维能力。
1.发挥文字语言的功能，培养学生思维能力
文字是书面语言的表达形式，是记录与传达语言的书写符号。在数学教学中教师应引导学生对应用题进行咬文嚼字的分析，深刻理解题意，正确解题。
例如：“一桶汽油，倒出40％，刚好倒出12升。这桶汽油有多少升？
我们抓住“分率句”进行以下咬文嚼字的分析，层层剖析，进而顺利进行解题。
（1）倒出40％，倒出谁的40％？
（学生回答：倒出40％，倒出这桶油的40％，这桶油重应为整体“1”。）
（2）这桶油重是整体“1”，是所求问题，怎样表示？
（学生回答：这桶油重为整体“1”，用x升表示。）
（3）倒出40％，刚好是12升，怎样列出方程？
（学生回答：设：这桶油重x升。
x×40％=12
x=12÷40％
x=30
答：这桶油30升。）
（4）谁能用语言表达12÷40％算式的意义？
这样，发挥文字语言功能，培养学生思维能力。
2.发挥图象语言的功能，培养学生思维能力
图象语言是用线条或颜色描绘事物的形象。数学教学中的表格、图画、线段图都是图象语言。
图象语言能直观、具体、形象地记录或表达数量关系，因而在数学教学中具有重要作用，我们可以借助图象语言培养学生的思维能力。
例如，我们引导学生解答思考题“一块铜和银合金重330克，其中铜重
时运用图解这种图象语言进行表述则问题可迎刃而解。
我们可以根据题意画出下列线段图17
设：银的重量为整体“1”。
应。
则可列式解答：
答：在铜银合金中银重297.5克；
铜重32.5克。
这样，运用图解可以使学生深刻理解经过“转化”可以达到“对应”，正确解题的道理。
3.发挥符号语言的功能，培养学生思维能力
符号是代表事物的记号或特殊标记。使学生掌握数学符号是学好数学重要一环，可以毫不夸张地说：不懂数学符号就无法学好数学。
美国著名数学家波利亚曾指出：“数学符号看来是一种语言，一种构造良好的语言，一种非常适合目的、简练而准确的语言。……，使用符号进行推理看来是不可少的！”
导学生，运用数学的符号语言进行下述一系列思维：
设甲为A，乙为B，则可列成下式：
用（3）式减去（2）式各对应数值可得：
∴B=25
这样，我们引导学生正确运用关系符号、运算符号与语言符号组成的一套数学语言，进行推理，求得结果。这里充分显示符号语言的极大作用；运用符号语言进行分析、推理还可以把隐蔽在数学符号中的未知数量挖掘出来导致新的发现！"
（三）数学教师在使用数学语言进行教学时应注意以下几点：
1.注意语言的准确性
数学语言必须准确——不能似是而非、含混不清、模棱两可。
例如，体积与容积是两个不同的概念。
什么叫体积？体积是指物体所占的空间大小。
什么叫容积？容积是容器所容纳物体的大小。
在解题中，二者在数值上是相同的。但本质上有所不同，在描述这两个概念时要注意严格区分，否则就会出现“求容积就是求体积”的错误概念。
2.注意语言的逻辑性
数学语言必须符合逻辑。也就是数学语言要符合同一律、矛盾律、排中律和充足理由律。
例如，把“整除”与“除尽”混为一谈，就是违背了同一律。
又例如，在教学中有的学生认为“所有的直径都相等”、“所有的半径也相等”而忽略了“在同圆或等圆”这一前提，而违背了充足理由律。
3.注意语言的科学性
数学语言要注意科学性就是指数学教师的语言在语法要求上是正确的；在逻辑上要经得起推敲；在科学上是有定论的。有些教师不注意这一点，只考虑学生的兴趣而损害数学语言的科学性。
不少老师在叙述分数除法计算法则时说：“颠倒相乘”，这是不科学的，不如按教材中所说：“甲数除以乙数，（零除外），等于甲数乘以乙数的倒数。”更为科学。
4.注意语言的启发性
数学语言要有启发性，就是说数学教师要通过语言启发学生思考问题。
德国著名教育家第斯多惠指出：“一个坏的教师是奉送真理；一个好的教师是教人发现真理。”这是数学语言启发性的真谛。
例如，我们在教“繁分数”时，教师不必告诉学生繁分数的定义，可以通过练习使学生自己去发现繁分数的特点，自己总结繁分数的定义。
上课要求学生把以下各式写成分数：
但对后三个算式产生了怀疑。
有的学生说：“过去学的分数，分子、分母都是整数。如果把后三个题也写成分数，那么分数的分子、分母不是整数而是分数了。那么分数的分子、分母可不可以写成分数呢？”
教师向学生提问：“这三个数是什么数呢？”
然后要求学生翻开数学课本自己阅读繁分数定义。这样经过自己观察、思考、分析，学到的数学概念记忆是牢固的。
综上所述，在数学教学中，我们教师要深钻教材，精心备课，并运用准确、科学的数学语言进行教学为数学教学最优化创造良好的条件。"
二、数学教师的板书
板书，是教师根据课堂教学的需要，提纲挈领地在黑板上写出来的文字或画出来的表格、图画。板书是一种书面语言。
板书是小学数学课堂教学中重要的教学手段。板书的特点在于把教学中的书面语言述诸于学生的视觉，这就为数学课堂教学的形象化提供了条件。
板书不仅可以概括教师上课时进行讲解（或讲述）的教学内容，补充教师上课时口头语言的不足，而且板书又有具体性与形象性的特点，可以帮助学生进一步深入理解和牢固掌握教材的重点和实破教学难点；同时，教师还可以用正确、美观、整洁、规范的板书陶冶学生爱美、欣赏美的情操，培养学生良好的学习习惯，逐步实现学生数学书写的规范化要求。
这样，有经验的数学教师总是把课堂教学中的生动讲解（或讲述）、正确、美观、规范化的板书与精心设计的课堂练习等几个方面组成一个有机的整体，做到相互渗透、互相补充、相辅相承、相得益彰成为完美的课堂教学艺术！
小学数学学科的特点是极度的抽象性、严密的逻辑性、高度的精确性和广泛的实用性，而在小学数学教学中要紧密结合小学生“从以具体形象思维为主要形式逐步过渡到以抽象逻辑思维为主要形式”的特点，就必须精心设计课堂教学的板书，才能为小学数学课堂教学最优化创造必要的条件。
（一）板书是小学数学课堂教学的重要手段，可以帮助学生正确理解和牢固掌握数学的基础知识
1.结合板书讲清数学概念
数学概念是学生进行数学思维的细胞，进行准确判断的依据，实现恰当推理的基础。在小学数学教学中应给以足够的重视，必须使学生切实学好。
在小学数学的概念教学时，我们可以根据所要讲授的具体内容，用逐步书写或绘画所需讲解的图形把学生的注意力吸引到所要讲解的知识重点上来，从而使学生由浅入深、由易及难、由表及里、由简入繁地学好数学概念。
例如，一位低年级数学教师在讲解“包含除法”的概念时，用以下三个问题，引入新课：
（2）有6支铅笔分给同学，每人分到3支。可以分给几个同学？
（3）有10把尺子，每5把捆成一捆。可以捆成几捆？
……
教师边讲解、边演示、边板书，板书如图18：
4÷2=2（个）
6÷3=2（个）
总数÷每份数=份数
这样，图式对照，井井有条，最后由算式又概括出数量关系式，从具体到抽象，从简到繁地讲解数学概念，使学生从观察中获得正确表象，从表象得到深刻的数学概念。
2.结合板书，推导数学公式、法则、定律
同济大学陆敬严教授深刻指出：“教师的工作，一靠说，二靠写。”说，就是讲解；写就是板书。一堂数学课上得成功与否，讲解是一个重要方面；但板书也是至关重要的。因为正确、具体、形象的板书可以帮助学生从大量的感性材料中推导出数学公式、法则、定律来，帮助学生正确理解和牢固掌握数学知识。
例如，我们在讲解“三角形面积”的计算公式时，当我们把两个全等的三角形拼成一个平行四边形，从平行四边形面积公式（旧知识）推导出三角形面积公式（新知识），边提问、边讲解边板书以下内容（见图19）：
三角形的底相当于平行四边形的底；
三角形的高相当于平行四边形的高；
三角形的面积相当于与三角形同底等高平行四边形面积的一半。
∵平行四边形面积=底×高
∴三角形面积=底×高÷2
这样，通过正确的讲解与清晰的板书，就能从平行四边形面积公式推导出三角形面积公式。
3.结合板书，帮助学生揭露隐蔽条件，正确解答复合应用题
板书是述诸视觉的，我们在小学数学课堂教学中不仅可以板书，还可以板画，运用板画可以帮助学生揭露复合应用题中隐蔽的数量关系，达到顺利解题的目的。
例如，我们要求学生解答“老师帮助同学买来3本数学书和5个练习本共用3.86元，已知每本数学书比每个练习本贵0.22元。求每个练习本和每本数学书各多少元？”在讲解时，我们可以动手进行如下板画，可以有效地揭露隐蔽的数量关系，找到解题思路，进而进行顺利解题。
从以上板画（如图20），学生可以具体、清晰、准确地观察到：
如果从3本数学书和5个练习本的总钱数中减去3个0.22元，所剩的钱数就是（5+3）个练习本的钱数，进而可以求出一个练习本的价钱。这样运用板画揭露隐蔽的数量关系，运用“转化”的思想找到解题思路。
解答：（3.86-0.22×3）÷（5+3）
=（3.86-0.66）÷8
=3.2÷8
=0.4（元）…………每个练习本的价钱。
0.4+0.22
=0.64（元）…………每本数学书价钱。
答：每个练习本0.4元，每本数学书0.64元。"
（二）板书是小学数学课堂教学的重要手段，可以激发学习兴趣，启迪学生思维，发展学生智能
1.板书可以激发学生的学习兴趣
瑞士著名儿童心理学家皮亚杰曾深刻指出：“儿童是有主动性的人，他的活动受兴趣和需要支配……，一切有成效的活动须以某种兴趣作为先决条件。”
请你比较一下怎样求圆面积比较准确？
你想一想，用什么方法能比较准确地求出圆面积呢？
学生通过观察上述板书，激发起研究圆面积求法的学习兴趣。
2.板书可以帮助学生对易混的数学知识进行比较，澄清混淆数学概念
俄国著名教育家乌中斯基曾指出：“比较是一切理解、一切思维的基础。”我们可以通过鲜明的板书，引导学生对易混淆的概念进行对照比较提高学生鉴别能力。
例如，学生学完圆周长与圆面积后，对二者很容易混淆。我们可以把圆周长与圆面积从意义、图形、公式三个方面进行对比。
首先，我们引导学生对圆周长与圆面积从图形上加以对比：圆周长是一条封闭的曲线，圆面积则是圆面的大小。
其次，引导学生对圆周长与圆面积计算公式进行对比（如图23，图24）：圆周长=半径×2×π（单位为长度单位）；圆面积=半径×半径×π（单位是面积单位）。
最后把图形、意义、公式三方面对比的结果，填入表2。
这样，通过板书可以提高学生的鉴别能力。
3.板书可以帮助学生归纳整理数学知识，形成学生的知识网络，强化学生的记忆。
苏联著名教育家克鲁普斯卡娅指出：“数学是许多概念组成的锁链。”
表2
完整清晰的板书是数学教师讲解数学知识的提纲，是学生复习数学知识的依据。我们在讲完小学数学教学中的长方形、正方形、平行四边形、梯形、圆形和扇形等七种平面图形的概念和计算公式后，引导学生对以上图形的有关知识进行系统化整理成为下述知识网络，进行以下板书，达到深刻理解，强化记忆的目的（如图25）。
这样经过整理的数学知识恢复原有知识的系统，形成知识网络，可以达到强化记忆，便于检索的目的。
（三）板书是小学数学课堂教学的重要手段，可以通过板书培养学生良好的学习习惯，逐步达到数学计算、解题书写格式的规范化
《小学数学教学大纲》早就指出：“要通过数学的训练，使学生养成严格认真的学习习惯。”
教师对学生的书写加强指导，严格要求，这是培养学生良好学习习惯的重要内容。要求学生作业书写符合规范；数字符号要写得清楚、整齐；等号要对齐；列方程解应用题要写解和设。作业本不许乱勾和乱抹，这不仅是为了好看，更重要的是培养学生耐心、细致、严肃认真、一丝不苟的学习态度和良好的学习习惯。为此，教师要通过板书言传身教地进行教育并作出示范；这就是说教师板书要注意规范化，这是为学生临摹用的。
（四）板书的种类
一般说来，数学课堂上的板书大体上有五种：
1.纲要式板书
这种板书是教师讲解本节数学课的提要，要把写的内容板书得清晰、醒目、端庄，用的词语要准确恰当；行款格式要符合规范；纲要式板书往往是为课堂教学总结时用。
2.图示性板书
这种板书是为教师讲解某个数学概念；归纳数学中法则、公式、规律时用。可以运用图表、图形、演示教具进行讲解。这种板书应精心设计，摆好图表、图形在黑板上的位置，使学生便于归纳、总结，一目了然。
3.对比式板书
这种板书要把易混概念、法则、公式进行对比，可以采用上、下对比或左右对比，在对比中分清正误，在对比中进行辨析，在比较中使用彩粉笔及时勾出重点。
4.串联式板书
这种板书是要把有联系的概念、公式、法则进行归类整理成为知识系统。在板书过程中图文并重，相辅相成。在关键处、重点处应及时强调；在知识发生转化处应进行讲解；只有这样才能起到串联作用。"
5.零星板书
在采用纲要式板书、图示性板书、对比式板书与串联式板书时教师随时把不易理解词语、易写错的字词，写在黑板一侧，随写随擦。
在数学课堂教学时，教师在教学中可以选用一种板书为主，其他种板书为辅，有主有次，有主有从，精心设计才能获得较好的教学效果。
（五）好的板书应具有以下几点要求
1.板书应反映出教学内容的系统、重点和层次
有经验的教师认为，板书应有明确的目的，主次分明，重点突出。
一般说来板书的内容要紧紧围绕教学目的，教学上的重点就是板书的重点，板书内容要为教学内容服务。经验告诉我们：只有那些有条理、有系统、重点突出的材料才利于学生的记忆，板书内容必须条理清晰，层次分明，重点突出才能便于学生记忆。
2.板书内容要少而精
板书与讲解一样，贵乎“少而精”。
古人说：少则得，多则惑。板书要做到“少书”、“精书”；板书要书在点子上，书在关键处，才能起到“画龙点睛”，“提纲挈领”的作用。
3.板书要有计划性
板书之前，要对板书内容有一个大致的安排，通盘考虑。最好在书写时把黑板分成三部分，重要内容写在黑板中央。书写时要注意先上后下，先左后右，先标题、后内容，再小结。千万不要横七竖八，杂乱无章。
书写时要注意字迹书写正确，注意笔画顺序，间架结构，不要写不规范的简化字，更要杜绝“自造字”的出现，更不能多一笔少一笔，不能在写字时“倒插笔”。总而言之，书写要规范。
4.板书要注意简洁，扼要，便于归纳，总结，概括
好的板书是数学课堂教学内容的深化和浓缩，而不是讲解内容的简单重复，而应把讲解内容经过分解、综合、归纳、演绎，使板书内容更加提纲化、系统化、形成知识网络。
5.板书要设计小样
不少有经验的数学教师在深入钻研教材，认真备课基础上，结合本班学生情况，在上课前要设计一个切实可行的“板书提纲”——小样，贴在教案的后面。上课时，由于对板书内容心中有数，使讲解与板书相互配合得更加井井有条，效果更佳。
综上所述，数学教师上课前精心设计板书，上课时进行恰当板书，是教好数学不可少的重要条件。
