构造函数是处理导数题的重要方法,也是解决导数的重要途径,通过不断地构造函数把遇到的“拦路虎”一个个地克服掉,最终解决这类问题.通过一题多解让我们打开思维的闸门,也使我们的思维得到了训练,因此我们在平时练习中要能够体会构造函数的数学价值.
例 已知函数[f(x)=lnx-a(x-1)],[a∈R].当[x≥1]时,[f(x)]≤[lnxx+1]恒成立,求[a]的取值.
令[g(x)=xlnx-a(x2-1)(x≥1),]
[∴g(x)在[1,+∞)上递增,g(x)≥g(1)=0].[f(x)≥lnxx+1.]
(2)若[00,]
(3)[若a≥12,F(x)≤0在1,+∞上恒成立,]
[∴g(x)在[1,+∞)上递减,g(x)≤g(1)=0,f(x)-lnxx+1≤0.]
[综上所述,a 的取值范围是 12,+∞].
解法2 [当x≥1时,f(x)≤lnxx+1恒成立等价于][lnx-][lnxx+1≤a(x-1)].
[令h(x)=lnx-lnxx+1=xlnxx+1, g(x)=a(x-1)],
[∵x≥1, ][∴h(x)0,即h(x)在1,+∞上是增函数.]
[g(x)=a,∵当a0时,∴g(x)在1,+∞上是增函数.]
[又∵h(1)=g(1)=0],
解法3 [当x≥1时,f(x)≤lnxx+1恒成立等价于lnx-][lnxx+1≤a(x-1)],
[(1)当x=1时,显然恒成立,∴a∈R].
[∵x1,∴h(x)0,那么h(x)在(1,+∞)上是减函数.∴h(x)
[∴g(x)0,有g(x)
[综上所述,a的取值范围是12,+∞.]