摘 要:几何证明在初中数学中属于较为重要的科目,严重影响着数学成绩,因此,在几何证明的学习过程中,掌握必要的解题方法与思维方式是非要有必要的。主要对几何证明中使用的三种思维进行了探讨,分别为正向思维、逆向思维、正逆结合。
关键词:初中数学;几何证明;正向思维;逆向思维;正逆结合
在初中数学学习中,最为困扰学生的难题就是几何证明,这是令很多学生都很头疼和焦虑的问题。其实,对于几何证明题目,只要认真分析题中已知条件,清楚地掌握解题的技巧与方法,几何证明并没有那么可怕,以下主要对初中数学几何证明中三种思维进行浅谈,作为今后学习的参考。
一、正向思维
在一般几何证明题中,对于一些简单题目,正向思维方式应用得比较多,求证过程相对简单、容易,从已知条件入手,向着证明结果进行逐步推理即可,比如,证明:等腰三角形两底角的角平分线相等。正向思维过程:根据题意可知在等腰三角形ABC中,AB=AC,角平分线分别为BD和CE,最终结果就是求证:BD=CE,如图1所示。
■
图1 等腰三角形ABC
求证过程:已知:AB=AC,
由等边对等角得:∠ABC=∠ACB.
已知:角平浅谈初中数学几何证明的三种思维
张祥飞
∠ACE=∠ABD
因此,角边角定理可知:三角形BEC和三角形CDB全等。
由全等三角形的对应边相等可得:BD=CE。
二、逆向思维
在解题过程中,学生在思考问题时,可以选择不同的方法、不同的角度,对解题方法进行探索,有助于学生解题思路的拓展。比如,在讲授勾股定律一课时,有这样一道证明题:
求证:■+■=■
在讲解过程中,应该利用逆向思维,从结论入手,这样可以消除不必要的运算,即,对结论进行变形,此方法简单方便。
证明如下:■+■=■
将等式左边两项进行合并:■=■,在直角三角形ABC中,有AC2+AB2=BC2
因此,原式可以变形为:■=■
交叉相乘可得:AB2・AC2=BC2・CD2
使用积的乘方的逆运算可得:(AB・AC)2=(BC・CD)2
因此,AB、BC、AC、CD均为三角形的边,都是正数,由上式可得:AB・AC=BC・CD
进而,便可求得证明结果:■+■=■
三、正逆结合
■
图2 梯形ABCD
解题过程如下:作AM平行于BD,交点M在CD的延长线上,可得到平行四边形AMDB,即AM=BD,由于三角形ADM与三角形ADB的面积相等,再加上AB平行于CD,可知三角形ABC与三角形ADB的面积相等,所以,梯形ABCD的面积等于三角形AMC的面积。
因此,在三角形AME中,ME=■=9
在三角形AEC中,EC=■=16
即,梯形ABCD的面积等于三角形AMC:S△AMC=12×(9+16)×■=150
四、在初中数学几何证明中应用三种思维方式的重要性
随着新课程标准的逐步推进,初中数学教学的重要目标就是培养学生的数学思维能力和应用能力。在实际教学中,通过实例,将三种思维方式融入解题中,充分拓展学生的思维,对几何证明题目进行观察、分析、归纳和操作。在解题过程中,体验几何证明题的挑战性和探索性,在思考过程中,感受几何证明的条理性和结论的确定性,不断培养学生思维的创造性与灵活性,进而开拓学生的逻辑思维能力。
在初中数学学习中,学生对几何证明题感到困难是普遍存在的问题,尤其对于一些较为复杂且难度较大的题目,更是无从下手。在几何证明中,不论是正向思维还是逆向思维,都需要正确的证明思路,经过不同思维方式的应用,便可对题目中的已知条件进行充分利用。正逆结合通常又称为综合法,在解题过程中应用得比较多,多数证明题目都需要正向思维与逆向思维的结合,使用单一思维方式的题目比较少。正逆结合是指从题目的已知条件出发,确定相应的定理、定义,即寻找解题的依据,进而进行逐步推理,直到得出证明的结论为止。逆向思维是指从题目的结论出发,对结论成立的条件进行探索,经过逐步推理,找出所需的条件,直到已知条件出现为止。正逆结合的缺点在于进行推理的思路过多,题目中需要的定理也比较多,学生往往感到无从下手。而逆向思维法,首先认定结论,在倒推的过程中,启发思考,针对明确的目的进行相应的推理,便可了解推理的依据,进而使人了解到整个思维过程。对于一些较为复杂的证明题,“两头凑”的思维方式应用得也比较多,首先从已知条件出发,对多种结论进行推理,再从已知题目中的结论出发,对所需的条件进行推理,进而寻找两者之间的差距,便可得到相应的证明思路,达到求解目的。
综上所述,在求证几何题目之前,对于题目给出的已知条件应该详细分析,对题目中的已知图形进行详细观察,针对题目的具体情况,选择合适的解题思维,探寻新的证明思路,不断提升自身的解题能力。
参考文献
[2]冯国平.平面几何证明的三种思维模式[J].天水师范学院学报,2014
(10).