摘要：本课题主要以分析数学中的距离的概念为研究对象，通过对距离概念的研究，具体分析它的内涵，揭示它的本质，寻找它在分析数学的知识结构中起到的重要作用及解决问题的思想方法。在数学学习中，距离是数学中最基本的概念之一，也是贯穿了初等数学到现代数学全过程的一个概念。我们总结了数学分析中不同的极限形式中距离的表达方法，分析了它们间的内在联系及重要作用。同时又因为它所定义的距离空间连接了拓扑空间与赋范线性空间等其他空间，是学习数学首先接触的概念。我们又对泛函分析里的距离空间做了研究。
关键词：泛函分析;距离;极限;距离空间;向量
一、生活中的距离
生活中人们对距离概念的理解通常是来自所看见两个物体的相对位置关系，也就是我们所说的远近程度。在物理学中，距离是由某些媒介，如人、动物和交通工具所经过的路线的长度，由起点到终点的向量则是位移。在数学中，距离是一种标量，不具有方向，仅含量，这种量不会是负数。同时，距离也是泛函分析中最基本的概念之一，它所定义的距离空间连接了拓扑空间与赋范线性空间等其他空间，是学习泛函分析首要接触的概念，也是定义在度量空间的一种函数。
下面我们主要从数学的角度来探究距离的概念。
这是对于我们现实生活中的距离，我们能借助勾股定理将两点间的距离刻划成线段来得到他们间的数量关系。同样，对于n维线性空间上的距离，我们通过代数形式的类比，得出A，B两点的距离表达式
从上述内容中可以看出，不论是R中的点还是Rn中的点，甚至任意集合中的点，只要在其中定义了距离，我们就可以用它来衡量两点的接近程度。众所周知，极限是分析数学学习的基础，而距离又是极限定义的基础，所以，下面我们首先来考察距离与极限的关系。
二、距离与极限的关系
首先我们给出数列极限的定义。
定义1：设为数列an，a为定数，如果对任给的正数ε，都存在正整数N，使得当nN时有an-aε
则称数列an收敛于a，定数a称为数列an的极限，并记作
limn→∞an=a，或an→an→∞
读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于a或an趋于a”。
从直观上看，如果将数列看成实数轴上的一列点，任意两点间的距离等于两点差的绝对值，当n越来越大时，an与a的差越来越小（足够小），也就是说an与a之间的距离越来越小。
由此可见，距离在极限的学习中起着至关重要的作用。
定义2：若fx在点x0的某领域内有定义，且limx→x0fx=fx0，则称f在点x0连续，x0称为f的连续点。
用“ε-δ”语言即：若对任给的ε0，存在δ0，使得当x-x0δ时有f（x）-f（x0）ε， 则称函数f在点x0上连续。
由此可见，在数列和一元函数的极限中，距离都可以用两点间的差的绝对值表示出来，所以我们可以得出结论，极限和距离有着密切的关系，极限均可用距离来表示。一般n元函数极限的定义与一元函数的定义类似。
三、度量空间中的距离
定义3（度量空间定义）：设X是任意一个非空集合，x，y，z∈X，都有唯一确定的实数d（x，y）与之对应且满足
1.（非负性）dx，y≥0，d（x，y）=0x=y;
2.（三点不等式）d（x，y）≤d（x，z）+d（y，z）;
称dx，y是x，y之间距离，称X，d为度量空间（或距离空间）。
对于距离空间，我们举几个例子：
下面我们再给出几种不常见到，但又具有重要意义的特殊距离。
四、几个特殊距离定义
若二个向量或二个点p 和 q，其坐标分别为pi及qi，则两者之间的切比雪夫距离定义如下：Dchebyshev（p，q）=maxi（pi-qi）
这也等于以下Lp度量的极值：limk→∞（∑ni=1pi-qik）1k。
因此切比雪夫距离也称为L∞度量。
以数学的观点来看，切比雪夫距离是由一致范数（或称为上确界范数）所衍生的度量，也是超凸度量的一种。
2、伪双曲距离
伪双曲距离和Bergman距离在函数空间上算子理论研究中起着很重要的作用，在许多问题的讨论中需要借助于这两种距离的各种酉不变性质。
此篇文章，我们从生活中的距离，引出数学中的距离，分析抽象中的距离，这使我们愈加清楚了距离概念的重要性，也会对我们今后对数学的学习产生更加深刻的领会。（作者单位：沈阳师范大学数学与系统科学学院）
参考文献：
[3]刘玉琏，傅沛仁，林玎，苑德馨，刘宁.数学分析[M]. 北京：高等教育出版社.2002.
[4]匡继昌.实分析与泛函分析[M]. 北京：高等教育出版社.2003.
[5]A.H. 柯尔莫戈洛夫，C.B.佛明.函数论与泛函分析初步[M]. 北京：高等教育出版社.2006.
[7]夏道行，吴卓人，严绍宗，舒五昌.实变函数论与泛函分析[M]. 北京：高等教育出版社.2010.
