谈数学概念表象的深刻直觉 一、理论背景
高等数学中的概念在教与学中起着重要的作用。概念定义和概念表象之间的不同在数学认识论和教学法上具有重要意义，正如Vinner指出的当我们执行认知任务时，思维并不是诉诸于概念定义，而是受概念表象的指导。在遇到新任务的时候，学生们就需要头脑中的概念表象。
概念表象和概念定义理论最初是由VinnerHershkowitz提出的，后来由TallVinner进行了发展，再后来Morre又进行了修改。在我们的认知结构中，其实存在概念定义和概念表象两个不同的细胞。概念定义是直接描述的，它是以词语和符号的形式被教师或教科书用来定义数学概念的。TallVinner指出概念表象是个体在头脑中对概念的整个认知表征，包含思维图像、相关性质和过程等。这种思维表征是在不同水平上建立的，因此会产生不一致或者概念表象本身可能会产生混淆或不协调。Semadeni认为深刻直觉是概念表象发展的一种水平，它是概念表象发展到一定的水平结果，这也是在Tall的数学三个世界的理论框架下提出来的。
概念表象是在经验的基础上经过多年累积形成的，它是一个动态的概念实体，它是不断发展的，每个学生一般都拥有不同的概念表象，比如减法概念，首先是涉及到正整数的一个过程，在这个阶段，学生可能观察到数的减法总是减少，对他们来说这个观察就是概念表象的一部分，但后来这种理解可能会引起问题。
Tall的数学三个世界理论区分了数学思维的三个模式。这三个世界在某种意义上来说是具有层级的，第一世界称为概念感知世界，又称为具体化世界。个体利用他们对现实世界的物理感知来完成思维实验，比如儿童对现实世界物体的分类或对极限的直觉体验等。第二个世界称为程序符号世界，又称之为符号化世界，个体开始对来自于第一世界的思维想法进行程序性操作，通过符号的使用凝聚为概念，这个符号既表示过程也表示概念，比如数和和概念等。第三个世界称为形式公理化世界，又称之为形式化世界，这里关注的则是数学公理化体系理论。
二、具体案例
在20世纪，整个数学共同体中并没有形成统一的关于三角形正式的形式化定义，但却存在以下三方面的共识。
1.三角形就是一个无序的、不共线的三点A，B，C的集合{A，B，C}。他们认为点{A，B，C}其实是一个零维集合，可以形象地认为三角形就像是天空中的三颗星星。
2.三角形是一个含有三个顶点的多边形，即三条线段AB、BC、CA的一个集合，Hilbert认为三角形上的点即是ABCA上的点。这其实是把三角形看作一维图形，在他们看来，三角形就是要画出三角形的三条边。
3.三角形△ABC可以看作三个半平面相交而形成的图形。事实上，这是在二维视角下将三角形看作是一个扁平的图形。
对三角形概念的所有认知都是不同具体化理解的结果。当个体进行三角形命题的推理时，三角形的所有这些概念表象的混合可能会同时被激起，也就是说当个体能够理解简单的涉及三角形的欧几里得几何证明时，此时三角形的概念表象则达到了深刻直觉的水平。事实上，个体在执行任务时不需要知道三角形的上述图形，但是个体需要理解他们以及彼此的关系。
从形式化的观点上看，这几个图形是不同的数学对象，因此三角形会有不同的概念定义，但是在深刻直觉下他们却是同一个思维对象，因此对三角形概念的多元化认知会帮助个体灵活地运用不同的数学对象。
再比如四面体，我们可以把四面体看作是有边界的封闭固体点的集合，也可以看作是包含四个面、六个边、四个顶点的一个结构体。同时，如果把四面体可以看作一个三棱锥，这样有一个面和其他三个面不同，则称之为三棱锥的底。这些观点都是建立在具体化世界的基础上而形成的概念表象。事实上，四面体是一个度量空间，它是向量空间或仿射空间中的一个凸集。这种认知则是在公理化世界的背景下建立的，同样适用于符号化世界。
所有这些关于四面体的不同观点在Freudenthal针对数学结构的讨论中都提及到了。如果个体的概念表象包含了上述一个或更多方面，这时我们就说个体达到了概念理解的深刻直觉水平。
三、建议结论
深刻直觉，作为概念表象发展的一个特定水平，它其实是深深植根于数学三个世界的具体化世界中。尽管深刻直觉并不能直接观察到，也不能推断出，但是它却能提供一种思路来探究数学。深刻直觉可以假定为概念理解的一个台阶，在个体能够理解演绎推理之前，他们就需要事先形成一些具体特定的深刻直觉。拥有概念的深刻直觉，个体就可以把它作为一种内在思维灵活、自由地运用。同时，发展深刻直觉也是培养学生演绎推理的关键因素。
